高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

考試要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2

能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.

知識診斷?基礎(chǔ)夯實

知識梳理

1.直線與圓的位置關(guān)系

222

設(shè)圓C：（X—a）+（y—Z>）=r>直線/：Ax+5y+C=0,圓心C（〃，力）到直線/的

（工一。）2+（廠方）2=戶,

距離為以由消去y（或x）,得到關(guān)于M或y）的一元

4+8y+C=0

二次方程，其判別式為/.

位置關(guān)系相離相切相交

圖形

方程觀點先0/三（）J>0

量化

幾何觀點d>rd三rd<r

2.圓與圓的位置關(guān)系

已知兩圓Ci：(X—xi)2+(y—yi)2=rr,

C2：(x—%2)2+(y—J2)2=r?,

則圓心距d=TClC2、=7（XI—X2）?+（y］一V2）2,

則兩圓Cl,。2有以下位置關(guān)系：

位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切

圓心距

與半徑1=1門一］d=ri+f2

±22

的關(guān)系

圖示勤0砂究

公切線條數(shù)40213

常用結(jié)論

1.圓的切線方程常用結(jié)論

(1)過圓上一點P(忒,yo)的圓的切線方程為xox+yoy=i2.

(2)過圓(x—〃)2+(y—6)2=/上一點P(XQ,yo)的圓的切線方程為(xo—〃)(x—a)+(yo

—b)(y—b)=r2.

(3)過圓/+產(chǎn)=戶外一點M(m,州)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為

觸+)夢=，.

2.直線被圓截得的弦長的求法

(1)幾何法：運用弦心距乩半徑〃和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形，計算弦長忸用

=2y[P^.

(2)代數(shù)法：設(shè)直線丁=丘+加與圓/+產(chǎn)+6+￡>+產(chǎn)=0相交于點M,N,將直

線方程代入圓的方程中，消去y,得關(guān)于x的一元二次方程，求出XM+XN和刈?必,

則|肪V|=y/l+By](XM+XN)2—4WXM

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)ak=\f,是“直線不一丁+%=0與圓f+)，2=l相交”的必要不充分條件.()

(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.()

(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()

(4)過圓O：外一點P(xo,和)作圓的兩條切線，切點分別為A,B,則O,

P,A,8四點共圓，且直線48的方程是和)，=戶.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)“k=l”是“直線x-y-￥k=O與圓/+V=1相交”的充分不必要條

件；(2)除外切外，還有可能內(nèi)切；(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含.

2.(多選)直線x—y+m=0與圓x2+9一Zr—1=0有兩個不同交點的一個充分不必

要條件是()

A.0</n<lB.-l</n<0

C./n<lD.-3<w<l

答案AB

解析聯(lián)立直線與圓的方程得

if+v—ZE—]：。，消去y’

得2%2+（2加一2口+m2—1=0,

根據(jù)題意得4=（2加一2）2—8（，層-1）=-4（m+1>+16>0,得一3〈加VI.

V{/n|0</n<1}{/n|—3</w<1),{/n|—1</M<0}{/n|—3<W<1},

：.0<m<\和一IVmVO都是直線與圓相交的充分不必要條件.

3.(多選)(2021?新高考H卷)已知直線/：奴+刀一，=0與圓C：x2+y2=r2,點4(m

b),則下列說法正確的是()

A.若點4在圓。上，則直線,與圓。相切

B.若點4在圓。內(nèi)，則直線/與圓。相離

C.若點A在圓。外，則直線/與圓。相離

D.若點A在直線/上，則直線/與圓。相切

答案ABD

解析圓心C(0,0)到直線I的距離0=y

若點A(a,b)在圓C上，則/+廬=/，所以du、2+1=內(nèi)則直線/與圓。

相切，故A正確;

若點A(m份在圓C內(nèi)，則M+b2V產(chǎn)，所以d=+爐>H，則直線/與圓。相

離，故B正確;

若點A(〃，。)在圓C外，則爐+廬〉，，所以d=詬不"<?1,則直線/與圓。相

交,故C錯誤:

若點4(a,份在直線/上，則耕+戶一產(chǎn)=。即/+廬=，，所乂d=—[外C=1%

7出+b-

直線/與圓C相切，故D正確

4.兩圓f+9一2y=0與f+丁一4=0的位置關(guān)系是.

答案內(nèi)切

5.直線I：3x~y~6=0與圓x2+y2—2x—4y=0相交于4,B兩點，則|A8|=

答案回

解析由f+y2-2工-4y=0得(x—iy+(y—2/=5,所以該圓的圓心坐標為(1,

2),半徑r=y[5.

又圓心(1,2)到直線3x—y—6=0的距離為>=；蒜8=乎,由(怨)=/一

出,得.邢=10,即|4陰=9.

6.(2020?浙江卷)己知直線>="+仇&>0)與圓r+Vn和圓(%-4)2+尸=1均相

切，則左=,b=.

放安立2^3

解析如圖，直線分別與兩個半徑相等的圓相切，由對稱性可知，直線與x軸的

交點為A(2,0).

由A8=2,BM=T,N4M8=90。，得NMAB=30。，

可得直線的斜率％=tan300=竽，

直線方程為y=、§(x—2)=監(jiān)一羋，因此b=-2乎.

考點突破?題型剖析

［考點一直線與圓的位置關(guān)系

1.已知點M(a,3在圓O：f+y2=i外，則直線以+外=1與圓。的位置關(guān)系是

()

A.相切B.相交

C.相離D.不確定

答案B

解析因為M(a,b)在圓。：f+)2=1外，

所以a2+〃>i,而圓心。到直線雙+切=1的距離

ko+^o-i|1

4g2+廣L

所以直線與圓相交.

2.(多選)已知圓C：(x-l)2+(y-2)2=25,直線/：(2機+1)工+(m+1))，-7加一4=

0.則以下幾個命題正確的有()

A.直線/恒過定點（3,1）

B.直線/與圓。相切

C.直線/與圓C恒相交

D.直線/與圓C相離

答案AC

解析將直線/的方程整理為x+y—4+m（2x+y-7）=0,

x+j-4=0,x=3,

由,-：rC解得

..J=L

則無論用為何值，直線/過定點（3,1）,故直線/與圓C恒相交，故AC正確.

3.若圓/+產(chǎn)二戶?！?。）上恒有4個點到直線/：x—y—2=0的距離為1,則實數(shù)r

的取值范圍是（）

A.（V2+1,+8）B.（V2-1,也+1）

C.（0,啦一1）D.（0,巾+1）

答案A

解析計算得圓心到直線/的距離為左=也＞1,如圖.

直線J：冗一y一2=0與圓相交，/1,/2與/平行，且與直線/的：X

距離為1,故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線/2的跑

離啦+1.

感悟提升判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

（1）幾何法：利用d與〃的關(guān)系.

⑵代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

（3）點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

［卷點二圓的切線、弦長問題

角度1圓的弦長問題

例1（1）（多選）已知圓M的一般方程為f+y2—8x+6y=0,則下列說法中正確的

是（）

A.圓M的圓心為（4,-3）

B.圓M被x軸截得的弦長為8

C.過原點的最短弦長為8

D.圓M被)，軸截得的弦長為6

答案ABD

解析圓M的一般方程為f+y2—8x+6y=0,則(x—4)2+°,+3)2=25.圓的圓心

坐標為(4,-3),半徑為5.過原點的最短弦長為6,選項C不正確.ABD均正確.

(2)(2020?天津卷)已知直線x-V§y+8=0和圓f+尸=戶(廠>0)相交于A,B兩點.

若|AB|=6,則，?的值為.

答案5

10—正義0+8|

解析由題意知圓心為0(0,0),圓心到直線的距離d=:乒=4.取.

的中點連接OM(圖略)，則OM_L

在Rt/XOMA中，+才=5.

感悟提升弦長的兩種求法

(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在

判別式/>0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長.

(2)幾何方法：若弦心距為乩圓的半徑長為乙則弦長/=2爐二2.

角度2圓的切線問題

例2⑴過點P(2,4)引圓C：。-1)2+。-1)2=1的切線，則切線方程為.

答案x=2或4x—3y+4=0

解析當直線的斜率不存在肘，直線方程為x=2,此時，圓心到直線的距離等

于半徑，直線與圓相切，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為)，一4

=女。-2),即收一)，+4—22=0,???直線與圓相切，???圓心到直線的距離等于半

『+4-2必13Tl.4

徑，即4=解得k=y

(-1)2許

44

工所求切線方程為1x—y+4—2X§=0,

即4x—3y+4=0.

綜上，切線方程為x=2或4x—3y+4=0.

(2)點尸為射線x=2(y20)上一點，過P作圓x2+)2=3的兩條切線，若兩條切線

的夾角為90。，則點。的坐標為()

A.(2,1)B.(2,2)

C.(2,的D.(2,0)

答案C

解析如圖所示.,門2

設(shè)切點為4,B,則。A_LAP,OB_LBP,OA=OBfAP=BP,P

4PJ_BR一

故四邊形。AP8為正方形，則|。尸|=加，I

又xp=2,則P(2,啦).

感悟提升求過某點的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求切

線方程.若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該

點的切線有兩條，此時注意斜率不存在的切線.

訓(xùn)練1(1)(2022?鄭州調(diào)研)已知圓C：(x—1)2+(>，+1>=1與直線依+>+1=0相

交于4,B兩點，若△C4B為等邊三角形，則女的值為()

A土3B.±2C.±^yD.±^

答案A

解析圓C：(x-l)2+(>-+l)2=l的圓心為C(L-1),半徑為1,故|C8|=|CA|

=1,又△CA5為等邊三角形，所以點。到直線依+y+l=0的距離為坐，即

q='解得左=力。，故選A.

(2)在圓f+y2-2%—6丁=0內(nèi)，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BQ,

則四邊形A8CD的面積為.

答案

解析圓的標準方程為。-1)2+。-3)2=10,則圓心(1,3),半徑r=回，圓心

(1,3)與E(0,1)距離N(1-0)2+(3-1)2=小,由題意如AC_L5O,且

=2-710,田/)|=2410—5=2\5所以四邊形ABCD的面積為S=*ACHBD同

X2710X275=10>/2.

(3)若一條光線從點(一2,—3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+。-2產(chǎn)=1相切，

則反射光線所在直線的斜率為.

答案一號或一(

解析點4-2,—3)關(guān)于y地的對稱點為4(2,-3),

故可設(shè)反射光線所在直線的方程為

丁+3=2(%—2),

化為kjc—y—2k—3=09

;反射光線與圓。+3)2+。-2)2=1相切，

???圓心(-3,2)到直線的距離

\-3k~2-2k~3\

4-訪一=L

化為24^+50)1+24=0,

k=或k=

[,考點三圓與圓的位置關(guān)系

例3已知兩圓f+y2—2r—6y—1=0和f+y2—10x—12y+加=0.求：

(1)加取何值時兩圓外切？

(2)求加=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.

解兩圓的標準方程分別為

(%—1產(chǎn)+0—3)2=11,(X—5)2+(y—6)2=61—m,

圓心分別為M(l,3),N(5,6),

半徑分別為[不和

(1)當兩圓外切時，

7(5—1)2+(6-3)2=yj~\\+勺61一團.

解得加=25+10/11.

(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為

(x^+y2—2r—6j—1)—(^r+y2-10x—12y+45)=0,即4x4-3>—23=0.

由圓的半徑、弦長、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長為

I~.14+3X3—23IY

2義、(E)2-[7+32卜2a

感悟提升1.判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與

兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.

2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項

得到.

訓(xùn)練2⑴己知圓M：x2+產(chǎn)-2"=0(〃>0)截直線x+y=O所得線段的長度是

2吸，則圓M與圓M(x-l)2+(y-l)2=l的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

答案B

解析由題意得圓M的標準方程為a)』/,圓心(0,a)到直線x+y=0

的距離d=

所以2寸〃2_1=2y[2

,解得a=2,圓M,圓N的圓心距|MN|=也，小于兩圓

半徑之和1+2,大于兩圓半徑之差1,故兩圓相交.

(2)已知圓。1：/+9+左+2)，-8=0與圓C2：f+y2—2x+10)，-24=0相交于A,

B兩點.公共弦|A8|的長為,經(jīng)過A,B兩點且面積最小的圓的方程為

答案2小。+2)2+。-1>=5

解析兩圓的方程作差可得x—2y+4=0.

???圓。與圓C2的公共弦圻在的直線方程為工-2)，+4=0,

聯(lián)立尸+4=0,

[x2+y2+2x+2^-8=0,

x=—4,fx=0,

解得V八或，c

U=0,ly=2,

不妨設(shè)4(-4,0),5(0,2),

/.\AB\(-4-0)2+(0-2)2=2小,

以A8為直徑的圓即為面積最小的圓.

A(x+2)2+(y-l)2=5.

拓展視野/阿波羅尼斯圓

到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.點A,3為兩定點，動點P

滿足照|=/狎.

則2=1時，動點P的軌跡為直線；當人>0且；1#1時，動點P的軌跡為圓，后

世稱之為阿波羅尼斯圓.

例(1)己知點“與兩個定點0(0,0),A(3,0)的距離之比為受，求點”的軌跡方

化簡得/+產(chǎn)+級一3=0,

即(x+l)2+y2=4①，

則方程①即為所求點M的軌跡方程，它表示以。(一1,0)為圓心，2為半徑的圓.

(2)在平面直角坐標系xQy中，點A(0,3),直線/：y=2x—4.設(shè)圓C的半徑為1,

圓心在/上.若圓C上存在點M,使|M4|=2|MO|,求圓心C的橫坐標。的取值范

圍.

解點C在直線/：y=2x-4上，故設(shè)。的坐標為(。，2a-4).

因為半徑n=1,所以圓。的方程是(x—a)2+[y-(2a—4)]2=[.

設(shè)點M(x,y)9則由|MA|=2|MO|可得點M的軌跡正是阿波羅尼斯圓，

即(y-3)2=242+R

化簡整理得f+U+l)2=4.

所以點M(x,y)在以。(0,—1)為圓心，9=2為半徑的圓上.

又點M(x,y)在圓C上,所以兩圓有公共點的條件是出一回WIOCJW歷+川,

1?

即lW5a2-12a+9W9,解得OWQW5.

「121

即。的取值范圍是0,y.

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

A級基礎(chǔ)鞏固

1.直線/：wit—y+1—〃2=0與圓C：1>=5的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

答案A

解析由題意知，圓心(0,1)到直線/的距離1=<1<^5,故直線/與圓

y/fn2-b1

相交.

2.圓。：/+.儼一版=0和圓Q：/+y2—4y=0的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切

答案B

解析圓01的圓心坐標為（1,0）,半徑長門=1,圓。2的圓心坐標為（0,2）,半

徑長鹿=2,所以兩圓的圓心距d=小，而建一門=1,ri+n=3,則有廢一門<〃

<ri+r2,所以兩圓相交.

3.過點（3,1）作圓1>+9=戶的切線有且只有一條，則該切線的方程為（）

A.2x+y—5=0B.2x+y-7=0

C.x—2y—5=0D/—2y—7=0

答案B

解析過點（3,1）作圓（X—1）2+9=戶的切線有且只有一條，

，點（3,1）在圓（X—1）2+丁2=產(chǎn)上，

連接圓心與切點連線的斜率為人「=木

???切線的斜率為一2,則圓的切線方程為y—1=-2（x—3）,

即2x+y-7=0.

4.（2022?濟南外國語學(xué)校高三測試）已知圓Cd+y2—2x+4y=0關(guān)于直線3x~2ay

—11=0對稱，則圓C中以便一￡為中點的弦長為（）

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析依題意可知直線過圓心（1,-2）,即3+4〃-11=0,a=2,故g,一野即

為（1,-1）,

圓方程配方得（X—1）2+。+2）2=5.

（1,一1）與圓心距離為1,故弦長為2后7=4.

5.（多選）（2022?福州調(diào)研）已知直線/與圓C：x2+）2+統(tǒng)一4y+〃=0相交于4,B

兩點，弦A8的中點為M（0,1）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.實數(shù)a的取值范圍為a<3

B.實數(shù)a的取值范圍為a<5

C.直線/的方程為x+y-1=0

D.直線I的方程為x—y+1=0

答案AD

解析若弦A8的中點為M(0,1),則點/(0,1)一定在圓內(nèi)，且方程表示圓,

5—〃>0,

即得a<3故A正確;

l-4Xl+d<0t

由圓的方程得，圓心坐標為。(一1,2),

又M(0,1),則-1,貝！公5=1,

由點斜式得，直線/的方程為5一1=心

即x—y+l=0,故D正確.

6.(多選)已知圓C：(X—1)2+。-2)2=25,直線/：y-l=%a—3).則以下幾個命題

正確的有()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長為4加

C.直線/與圓。相交或相切

D.直線/被圓。截得弦長最短時，直線/的方程為2x-y-5=0

答案ABD

解析直線/：》一1=&。-3)恒過0(3,1),A正確；

對于B,令x=0,則。-2>=24,解得y=2±2%,故圓C被y軸截得弦長為4班,

故B正確；

對于C,因為(3—1/+(1—2)2=5<25,則點。在圓C內(nèi)部，直線/與圓C相交,

故C不正確；

對于D,圓心C(l,2),半徑為5,\CD\=y[5,當截得的弦長最小時，/LCD,由

于人=一/則/的斜率為2,此時直線的方程為>一1=2(工一3),即右一)，一5

=0,故D正確.

7.圓x2+)2—4=0與圓/+產(chǎn)一41+4)，-12=0的公共弦長為.

答案2冊

4=0,

解析由2.上，s八得兩圓公共弦所在直線方程工一)，+2=0.又圓f

iy+y2—4x+4y—12=0

+9=4的圓心到直線x—y+2=0的距離為表=也.由勾股定理得弦長的一半為

^^工二也，所求弦長為2啦.

8.(2021?海南三模)已知點尸(1,2)和圓C：/+產(chǎn)+依+2)，+女2=0,過點p作圓。

的切線有兩條，則實數(shù)化的取值范圍是.

答案(一羋,明

解析因為C：/+丁+丘+2)，+3=0為圓，所以F+4—4必>0,解得一斗^

又過點P作圓。的叨線有兩條，所以點尸在圓的外部，故1+4+A+4

+F>0,解得&￡R,綜上可知一琴.故2的取值范圍是(一苧，空

9.若4為圓G：/+9=1上的動點，B為圓C2：。-3)2+。+4)2=4上的動點，

則線段AB長度的最大值是.

答案8

解析圓G：/+V=1的圓心為Ci(0,0),半徑力=1,圓。2：(x—3)2+。+4)2

=4的圓心為。2(3,-4),半徑相=2,

???|。?=5.

又A為圓Ci上的動點，8為圓C2上的動點，

???線段48長度的最大值是|。。|+內(nèi)+力=5+1+2=8.

10.已知圓C(x—l)2+(y+2)2=10,求滿足下列條件的圓的切線方程；

(1)與直線東x+y—4=0平行;

⑵與直線/2：x—2y+4=0垂直；

(3)過切點A(4,-1).

解(1)設(shè)切線方程為x+y+力=0(bW—4),

則［二^"加二回'.,?6=1±2小，

，切線方程為x+y+1±2^5=0.

(2)設(shè)切線方程為2r+y+m=0,

則？一才噠=?,/.^=±572,

9

???切線方程為2x+y±5&=0.

、..，—2+1I

(3)，?，Mc=-4=至

???過切點44,一1)的切線斜率為一3,

.??過切點44,-1)的切線方程為)，+1=—3。-4),

即3x+y-l\=0.

11.(2022?重慶調(diào)研)已知A(2,0),直線4x+3y+l=0被圓C：。+3)2+。一機產(chǎn)

=13(加〈3)所截得的弦長為4小，且尸為圓C上任意一點.

(1)求|以|的最大值與最小值；

(2)圓。與坐標軸相交于三點，求以這三個點為頂點的三角形的內(nèi)切圓的半徑.

解(I)二?直線4x+3y+l=0

被圓。:。+3)2+。一機產(chǎn)=13四<3)所截得的弦長為4小,???圓心到直線的距離

”=|一2芋〃+l|=q(立)-(2g2=1.

*/m<3,?,?根=2,

\AC\=yj(-3-2)2+(2-0)2=^29,

，|以I的最大值與最小值分別為

V29+VT5,亞一也

(2)由(1)可得圓C的方程為。+3)2+。-2)2=13,令x=0,得y=0或4；令y=0,

得x=0或一6,

，圓。與坐標軸相交于三點M(0,4),。(0,0),M-6,0),???△WON為直角

三角形，斜邊|MN|=24B,??.△MON內(nèi)切圓的半徑為讓與H亙=5一回.

B級能力提升

12.(多選)(2021?新高考I卷)已知點P在圓。-5)2+。-5)2=16上，點A(4,0),

8(0,2),則()

A點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當NPB4最小時，|P陰=3啦

D.當NPB4最大時，\PB\=3^2

答案ACD

Y

解析設(shè)圓5>+(y—5)2=16的圓心為M(5,5),由題意知直線45的方程為彳

15+2X5-4111

即％+2y—4=0,則圓心M到直線4B的距離d=

所以直線AB與圓M相離’所以點P到直線A8的距離的最大值為4+4=4+上'

又4+臺5+寸中=10,

故A正確;

易知點P到直線48的距離的最小