2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練11等差數(shù)列與等比數(shù)列理含解析

專題實力訓(xùn)練11等差數(shù)列與等比數(shù)列專題實力訓(xùn)練第28頁

一、實力突破訓(xùn)練1.在等差數(shù)列{an}中,a4+a10+a16=30,則a18-2a14的值為()A.20 B.-20 C.10 D.-10答案:D解析:因為a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故選D.2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a8a9a10=-a132=-1000,則a10a12=(A.100 B.-100 C.10010 D.-10010答案:C解析:∵{an}為等比數(shù)列,∴a8a9a10=-a132∴a9=-10,a132=又a10a12=a102q2>0,∴a10a12=|a9a13|=3.(2024全國Ⅲ,理5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16 B.8 C.4 D.2答案:C解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則a1(所以a3=a1q2=1×22=4.故選C.4.已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則()A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0答案:B解析:設(shè){an}的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比數(shù)列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=-53d2<0,且a1=-53d.∵dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+35.已知數(shù)列{an}滿意an+1an+1+1=12,且a2A.-12 B.23 C.12 D.答案:D解析:由已知得an+1+1an+1=2,則{an+1}是公比為2的等比數(shù)列,所以a4+1=(a2+1)·22=12.所以a46.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S10=40,則a3·a8的最大值為.

答案:16解析:因為S10=10(a1+a10)2=40?a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以a3·a8≤a3+7.中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一題:今有男子善走,日增等里,九日走1260里,第一日、第四日、第七日所走之和為390里,則該男子第三日走的里數(shù)為(注:里是我國古代計量單位,1里=500米).

答案:120解析:男子每天走的里數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)為{an},其公差為d,前n項和為Sn.依據(jù)題意可知,S9=1260,a1+a4+a7=390,(方法一)∵S9=9(a1+a9)2=9a5又a1+a4+a7=3a4=390,∴a4=130,∴d=a5-a4=10,∴a3=a4-d=120.(方法二)由題意,得S解得a1=100,d=10,所以a3=a8.設(shè)x,y,z是實數(shù),若9x,12y,15z成等比數(shù)列,且1x,1y,1z成等差數(shù)列答案:34解析:由題意知(12y)2=9x×15z,2y=1從而xz+zx=x2+9.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(n∈N*).(1)求證:{an-2n}為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.答案：(1)證明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).又a2=3a1-2,則S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,則a1-21=3≠0.故{an-2n}為等比數(shù)列.(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴an=2n+3n,∴Sn=2(1-2n)10.(2024全國Ⅰ,理17)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項和.解:(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比為-2.(2)記Sn為{nan}的前n項和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=1-(-2)n3-n×所以Sn=111.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.設(shè)a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+…+a2n=t(a12+a22+…+an2),n(2)若在1a1與1a4之間插入k個數(shù)b1,b2,…,bk,使得1a1,b1,b2,…,bk解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)∵a1+a2+…+a2n=t(a12+a2∴a1(1-q2n)1-q=t·a12((2)∵1a1=且1a1,b1,b2,…,bk,1∴公差d=1a5-1a4=-116,且即18-1=(k+1)×-116,二、思維提升訓(xùn)練12.(2024全國Ⅱ,理4)北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊答案:C解析:由題意可知,從上到下,從內(nèi)到外,每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項,9為公差的等差數(shù)列,設(shè)為{an}.設(shè)上層有n環(huán),則上層扇面形石板總數(shù)為Sn,中層扇面形石板總數(shù)為S2n-Sn,下層扇面形石板總數(shù)為S3n-S2n,三層扇面形石板總數(shù)為S3n.因為{an}為等差數(shù)列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列,公差為9n2.因為下層比中層多729塊,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+27×262×9=3402.故選13.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1=1,q=2,則Tn=1a1a2+1a2A.1-14nC.1-12n答案:B解析:因為an=1×2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以1所以1an故Tn=1a1a214.已知等比數(shù)列{an}的首項為43,公比為-13,其前n項和為Sn.若A≤Sn-1Sn≤B對n∈N*恒成立,則答案:59解析:易得Sn=1--1因為y=Sn-1Sn在區(qū)間89,4所以y∈-1772,712?[A15.無窮數(shù)列{an}由k個不同的數(shù)組成,Sn為{an}的前n項和.若對隨意n∈N*,Sn∈{2,3},則k的最大值為.

答案:4解析:要滿意數(shù)列中的條件,涉及最多的項的數(shù)列可以為2,1,-1,0,0,0,…,所以最多由4個不同的數(shù)組成.16.已知數(shù)列{an},{bn}滿意:an+1+1=2an+n,bn-an=n,b1=2.(1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解：(1)因為bn-an=n,所以bn=an+n.因為an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),即bn+1=2bn.又b1=2,所以{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,bn=2×2n-1=2n.(2)由(1)可得an=bn-n=2n-n,所以Sn=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=2(1-2n)1-17.(2024天津,理19)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿意c1=1,cn=1,2k<n<①求數(shù)列{a2n(c②求∑i=12naici(n∈解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得6q=6+2d,6q2=12+4d,解得d=3,q=2,故an=4+(n-1)×3=3n+所以,{an}的通項公式為an=3n+1