2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第6節(jié)雙曲線教學(xué)案含解析新人教A版

PAGE1-第6節(jié)雙曲線考試要求了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡潔的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).知識(shí)梳理1.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c＞0)的距離差的肯定值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：(1)若a<c，則集合P為雙曲線；(2)若a＝c，則集合P為兩條射線；(3)若a>c，則集合P為空集.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2[常用結(jié)論與微點(diǎn)提示]1.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為eq\f(2b2,a).2.離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3.等軸雙曲線的漸近線相互垂直，離心率等于eq\r(2).4.若漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).5.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.6.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦點(diǎn)三角形的面積：P為雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為eq\f(b2,tan\f(θ,2)).診斷自測1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的肯定值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.()(4)雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(5)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝1.()解析(1)因?yàn)閨|MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的軌跡為兩條射線.(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.(3)當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，而m＜0，n＜0時(shí)則表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(老教材選修2－1P62A6改編)經(jīng)過點(diǎn)A(3，－1)，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為________________________________.解析設(shè)雙曲線方程為：x2－y2＝λ(λ≠0)，把點(diǎn)A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求雙曲線方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.答案eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝13.(老教材選修2－1P61A1改編)已知雙曲線x2－eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于________.解析設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又雙曲線上的點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離的最小值為c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.答案64.(2024·北京卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的離心率是eq\r(5)，則a＝()A.eq\r(6) B.4 C.2 D.eq\f(1,2)解析由雙曲線方程eq\f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).結(jié)合a>0，解得a＝eq\f(1,2).答案D5.(2024·全國Ⅲ卷)已知F是雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2) C.eq\f(7,2) D.eq\f(9,2)解析由F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝3，,\f(xeq\o\al(2,0),4)－\f(yeq\o\al(2,0),5)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＝\f(56,9)，,yeq\o\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OF|·y0＝eq\f(1,2)×3×eq\f(5,3)＝eq\f(5,2).答案B6.(2024·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________.解析因?yàn)殡p曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，所以9－eq\f(16,b2)＝1(b>0)，解得b＝eq\r(2)，即雙曲線方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.答案y＝±eq\r(2)x考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用【例1】(1)(2024·合肥質(zhì)檢)eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲線方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≤－2) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2) D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≥2)(2)(2024·長春質(zhì)檢)雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(2\r(3),3)x，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，－eq\r(7))，點(diǎn)A(eq\r(2)，0)，點(diǎn)P為雙曲線第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P的位置改變時(shí)，△PAF周長的最小值為()A.8 B.10 C.4＋3eq\r(7) D.3＋3eq\r(17)解析(1)eq\r(x2＋（y－3）2)的幾何意義為點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F1(0，3)的距離，eq\r(x2＋（y＋3）2)的幾何意義為點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F2(0，－3)的距離，則eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F1(0，3)的距離與到點(diǎn)F2(0，－3)的距離的差為4，且4<|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且該雙曲線的實(shí)半軸長a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，則eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2)，故選C.(2)由已知得雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，則|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，當(dāng)F′，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF′|＋|PA|有最小值，為|AF′|＝3，故△PAF的周長的最小值為10.答案(1)C(2)B規(guī)律方法1.利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而依據(jù)要求可求出曲線方程；2.在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，常常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|，|PF2|的聯(lián)系.【訓(xùn)練1】(1)(2024·鄭州一模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長為6，漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上，點(diǎn)N為圓E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1上一點(diǎn)，則|MN|＋|MF2|的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.11(2)(2024·濟(jì)南調(diào)研)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為____________.解析(1)由題意知2a＝6，則a＝3，又由eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)得b＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(10)，則F1(－eq\r(10)，0).依據(jù)雙曲線的定義知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝eq\r(（\r(10)）2＋（－\r(6)）2)＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)F1，M，N，E共線時(shí)取等號(hào)，故選B.(2)如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.依據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.又依據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1).答案(1)B(2)x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】(1)(一題多解)(2024·東北三省四校聯(lián)考)經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(y2,\f(11,3))－eq\f(x2,11)＝1 D.eq\f(y2,11)－eq\f(x2,\f(11,3))＝1(2)(2024·洛陽二模)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(2，eq\r(3))在雙曲線上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為()A.x2－y2＝1 B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1C.x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1解析(1)法一設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切可得圓心(0，2)到漸近線的距離等于半徑1，由點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|k×0－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3).因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，將(2，1)代入可得eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(11,3)，,b2＝11，))故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1.法二設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，將(2，1)代入方程可得，4m－n＝1.①雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(\f(m,n))x，圓x2＋(y－2)2＝1的圓心為(0，2)，半徑為1，由漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，可得eq\f(2,\r(1＋\f(m,n)))＝1，即eq\f(m,n)＝3，②由①②可得m＝eq\f(3,11)，n＝eq\f(1,11)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1，故選A.(2)∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c.∵點(diǎn)P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝eq\f(4c2＋（2c－a）2－（2c＋a）2,4c（2c－a）)＝eq\f(c－2a,2c－a)，又點(diǎn)P(2，eq\r(3))在雙曲線上，∴sin∠PF2F1＝eq\f(\r(3),2c－a)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－2a,2c－a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,（2c－a）2)＝1，化簡得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即c2－a2＝b2＝1，又eq\f(4,a2)－eq\f(3,b2)＝1，∴a2＝1，∴雙曲線的方程為x2－y2＝1，故選A.答案(1)A(2)A規(guī)律方法1.用待定系數(shù)法求雙曲線的方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，假如焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再依據(jù)條件求解.2.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時(shí)可設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).【訓(xùn)練2】(1)(2024·昆明調(diào)研)“0<n<2”是“方程eq\f(x2,n＋1)＋eq\f(y2,n－3)＝1表示雙曲線”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y＝0，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(eq\r(6)，2)，則雙曲線的方程為________________.解析(1)若方程eq\f(x2,n＋1)＋eq\f(y2,n－3)＝1表示雙曲線，則(n＋1)·(n－3)<0，解得－1<n<3，則0<n<2的范圍小于－1<n<3，所以“0<n<2”是“方程eq\f(x2,n＋1)＋eq\f(y2,n－3)＝1表示雙曲線”的充分不必要條件.故選A.(2)由雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)P(eq\r(6)，2)，所以eq\f(6,9)－eq\f(4,4)＝λ，λ＝－eq\f(1,3)，故所求雙曲線方程為eq\f(y2,\f(4,3))－eq\f(x2,3)＝1.答案(1)A(2)eq\f(y2,\f(4,3))－eq\f(x2,3)＝1考點(diǎn)三雙曲線的性質(zhì)多維探究角度1求雙曲線的漸近線【例3－1】(2024·廣州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.eq\r(3)x±y＝0 B.2x±eq\r(7)y＝0C.eq\r(3)x±2y＝0 D.2x±eq\r(3)y＝0解析∵F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，∴由雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推論可得cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(（3a）2＋a2－4c2,2×3a×a)，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),2)x，即eq\r(3)x±2y＝0，故選C.答案C規(guī)律方法雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.漸近線的斜率也是一個(gè)比值，可類比離心率的求法解答.角度2求雙曲線的離心率【例3－2】(2024·全國Ⅱ卷)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn).若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0).則c＝eq\r(a2＋b2)，如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).答案A規(guī)律方法求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)干脆求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.角度3雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3－3】(1)已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))(2)(2024·太原模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，則eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析(1)因?yàn)镕1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).(2)如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因?yàn)椤螰1AF2＝eq\f(2,3)π，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以△BAF2為等邊三角形，邊長為4a，所以S△ABF2＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，所以eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).故選B.答案(1)A(2)B規(guī)律方法1.雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用涉及學(xué)問較寬，如雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的學(xué)問，在解決此類問題時(shí)要留意與平面幾何學(xué)問的聯(lián)系.2.與雙曲線有關(guān)的取值范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系干脆變換轉(zhuǎn)化求解.(2)若條件中沒有不等關(guān)系，要擅長發(fā)覺隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決.【訓(xùn)練3】(1)(角度1)(2024·鄭州模擬)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為()A.y＝±eq\f(1,2)x B.y＝±eq\f(\r(2),2)xC.y＝±eq\r(2)x D.y＝±2x(2)(角度2)(2024·石家莊模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值為8a，則該雙曲線離心率e的取值范圍是()A.(0，2) B.(1，3]C.[2，3) D.[3，＋∞)(3)(角度3)(2024·長沙統(tǒng)一考試改編)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點(diǎn)，P是其一條漸近線上的一點(diǎn)，且以F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，則△PF1F2的面積為________.解析(1)因?yàn)?b＝2，所以b＝1，因?yàn)?c＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.(2)由雙曲線定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a＋|PF2|，∴eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(（2a＋|PF2|）2,|PF2|)＝eq\f(4a2＋|PF2|2＋4a|PF2|,|PF2|)＝eq\f(4a2,|PF2|)＋|PF2|＋4a≥2eq\r(|PF2|·\f(4a2,|PF2|))＋4a＝8a，當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|＝eq\f(4a2,|PF2|)，即|PF2|＝2a時(shí)，等號(hào)成立.∵eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值為8a，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.∵點(diǎn)P在雙曲線右支上，∴|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)共線且點(diǎn)P為右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即6a≥2c，∴e≤3，又∵e>1，∴e∈(1，3]，故選B.(3)設(shè)P(x0，y0)，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的過一、三象限的漸近線x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，eq\r(2))，F(xiàn)2(0，－eq\r(2))，所以|F1F2|＝2eq\r(2)，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝2，又以F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝0，,xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2))得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|x0|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2).答案(1)B(2)B(3)eq\r(2)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.(2024·浙江卷)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D.(0，－2)，(0，2)解析由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，(2，0).答案B2.(2024·全國Ⅱ卷)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A.y＝±eq\r(2)x B.y＝±eq\r(3)xC.y＝±eq\f(\r(2),2)x D.y＝±eq\f(\r(3),2)x解析由題意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，即eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.答案A3.(2024·全國Ⅰ卷)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A.2sin40° B.2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D.eq\f(1,cos50°)解析由題意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°).故選D.答案D4.(一題多解)(2024·全國Ⅲ卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為()A.eq\r(2) B.2 C.eq\f(3\r(2),2) D.2eq\r(2)解析法一由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).法二離心率e＝eq\r(2)的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，∴點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).答案D5.已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(－1，3) B.(－1，eq\r(3))C.(0，3) D.(0，eq\r(3))解析∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故選A.答案A6.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析由x2－y2＝2，知a＝b＝eq\r(2)，c＝2.由雙曲線定義知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4eq\r(2)，|PF2|＝2eq\r(2)，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(3,4).答案C7.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，過F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|－|MT|等于()A.4 B.3 C.2 D.1解析連接PF2，OT，則有|MO|＝eq\f(1,2)|PF2|＝eq\f(1,2)(|PF1|－2a)＝eq\f(1,2)(|PF1|－6)＝eq\f(1,2)|PF1|－3，|MT|＝eq\f(1,2)·|PF1|－|F1T|＝eq\f(1,2)|PF1|－eq\r(c2－32)＝eq\f(1,2)|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－4))＝1，故選D.答案D8.(2024·沈陽模擬)已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，eq\r(2))，則△APF周長的最小值為()A.4＋eq\r(2) B.4(1＋eq\r(2))C.2(eq\r(2)＋eq\r(6)) D.eq\r(6)＋3eq\r(2)解析由題意知F(eq\r(6)，0)，設(shè)左焦點(diǎn)為F0，則F0(－eq\r(6)，0)，由題意可知△APF的周長l為|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l(xiāng)＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝eq\r(（0＋\r(6)）2＋（\r(2)－0）2)＋eq\r(（\r(6)－0）2＋（0－\r(2)）2)＋2×2＝4eq\r(2)＋4＝4(eq\r(2)＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)0，P三點(diǎn)共線時(shí)取得“＝”，故選B.答案B二、填空題9.直線l：y＝2x＋10過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)一個(gè)焦點(diǎn)且與其一條漸近線平行，則雙曲線方程為_________________________.解析由題意得一個(gè)焦點(diǎn)為F(－5，0)，c＝5，eq\f(b,a)＝2，又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，所以雙曲線方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.答案eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝110.(多填題)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(eq\r(5)，0)，則a＝________；b＝________.解析由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2.又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.答案1211.設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的肯定值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.解析由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則||PF1|－|PF2||＝8.由雙曲線的定義知，a＝4，b＝3.故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝112.設(shè)雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________.解析a2＝9，b2＝16，故c＝5.∴A(3，0)，F(xiàn)(5，0)，不妨設(shè)直線BF的方程為y＝eq\f(4,3)(x－5)，代入雙曲線方程解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).∴S△AFB＝eq\f(1,2)|AF|·|yB|＝eq\f(1,2)·2·eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案eq\f(32,15)B級(jí)實(shí)力提升13.(2024·長沙雅禮中學(xué)模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在點(diǎn)P滿意2|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.(1，2] B.[2，＋∞)C.(1，eq\r(2)] D.[eq\r(2)，＋∞)解析當(dāng)P不是雙曲線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，連接OP，因?yàn)镺P為△PF1F2的邊F1F2上的中線，所以eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))；當(dāng)P是雙曲線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，同樣滿意上述等式.因?yàn)殡p曲線上存在點(diǎn)P滿意2|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|，所以4|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤2c，由|eq\o(PO,\s\up6(→))|≥a，可知4a≤2c，則e≥2，選B.答案B14.(2024·石家莊模擬改編)已知雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線l分別交C的左、右支于點(diǎn)A，B，且|AF1|＝|BF1|，則|AB|的值為________.解析由雙曲線定義知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以兩式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，∴|AB|＝4a，由雙曲線方程知a＝4，∴|AB|＝16.答案1615.(2024·南昌聯(lián)考)點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)和雙曲線eq\f(x2,aeq\o\al(2,2))－eq\f(y2,beq\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則eq\f(b1,b2)的值是_______