2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE1-第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用[考綱解讀]1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長特征，駕馭求解函數(shù)應(yīng)用題的步驟．(重點(diǎn))2．了解函數(shù)模型及擬合函數(shù)模型；在同一坐標(biāo)系中能對不同函數(shù)的圖象進(jìn)行比較．3．建立函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍運(yùn)用的)，要正確地確定實(shí)際背景下的定義域，將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．(難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是高考中的一個(gè)冷考點(diǎn)．預(yù)料2024年高考將主要考查現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)經(jīng)營、工程建設(shè)、企業(yè)的贏利與虧損等熱點(diǎn)問題中的增長或削減問題，以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)及對勾函數(shù)模型為主，考查考生建模實(shí)力和分析解決問題的實(shí)力.1.七類常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)“對勾”函數(shù)模型f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)2．指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)eq\o(□,\s\up1(01))遞增單調(diào)eq\o(□,\s\up1(02))遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的改變隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與eq\o(□,\s\up1(03))y軸平行隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與eq\o(□,\s\up1(04))x軸平行隨n值改變而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax3．解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)學(xué)問，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如下：1．概念辨析(1)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xα(α>0)的增長速度．()(2)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決改變較快，短時(shí)間內(nèi)改變量較大的實(shí)際問題．()(3)對數(shù)函數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度平緩的改變規(guī)律．()答案(1)√(2)√(3)√2．小題熱身(1)(2024·湖北八校聯(lián)考)有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案B解析依據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y＝x2－1.(2)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特殊是菜價(jià)，某部門為盡快穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)料，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)料的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()答案B解析B中，Q的值隨t的改變越來越快．故選B.(3)某市出租汽車的車費(fèi)計(jì)算方式如下：路程在3km以內(nèi)(含3km)為8.00元；達(dá)到3km后，每增加1km加收1.40元；達(dá)到8km后，每增加1km加收2.10元．增加不足1km按四舍五入計(jì)算．某乘客乘坐該種出租車交了44.4元車費(fèi)，則此乘客乘該出租車行駛的路程可以是()A．22km B．24kmC．26km D．28km答案A解析設(shè)乘客坐車行駛了xkm，依據(jù)題意，得8＋(8－3)×1.4＋(x－8)×2.1＝44.4.8＋7＋2.1x－16.8＝44.4.2．1x＝46.2，x＝22.所以，此乘客乘該出租車行駛的路程是22km.(4)有一批材料可以建成200m長的圍墻，假如用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場地的最大面積為________m2.(圍墻厚度不計(jì))答案2500解析設(shè)圍成的矩形的長為xm，則寬為eq\f(200－x,4)m，則S＝x·eq\f(200－x,4)＝eq\f(1,4)(－x2＋200x)＝－eq\f(1,4)(x－100)2＋2500.當(dāng)x＝100時(shí)，Smax＝2500m2.題型一用函數(shù)圖象刻畫改變過程1．高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是()答案B解析當(dāng)h＝H時(shí)，體積為V，故解除A，C；由H→0過程中，削減相同高度的水，水的體積從起先削減的越來越快到越來越慢，故選B.2．如圖，矩形ABCD的周長為8，設(shè)AB＝x(1≤x≤3)，線段MN的兩端點(diǎn)在矩形的邊上滑動，且MN＝1，當(dāng)N沿A→D→C→B→A在矩形的邊上滑動一周時(shí)，線段MN的中點(diǎn)P所形成的軌跡為G，記G圍成的區(qū)域的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()答案D解析由題意可知點(diǎn)P的軌跡為圖中虛線所示，其中四個(gè)角均是半徑為eq\f(1,2)的扇形．因?yàn)榫匦蜛BCD的周長為8，AB＝x，則AD＝eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以y＝x(4－x)－eq\f(π,4)＝－(x－2)2＋4－eq\f(π,4)(1≤x≤3)，明顯該函數(shù)的圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4－eq\f(π,4)∈(3,4)，故選D.推斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題中兩變量改變過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)依據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．如舉例說明2.(2)驗(yàn)證法：當(dāng)依據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則依據(jù)實(shí)際問題中兩變量的改變特點(diǎn)，結(jié)合圖象的改變趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中解除不符合實(shí)際的狀況，選擇出符合實(shí)際狀況的答案．如舉例說明1.1．(2024·安陽模擬)如圖是張大爺晨練時(shí)所走的離家距離(y)與行走時(shí)間(x)之間的函數(shù)關(guān)系圖，若用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置，則張大爺漫步行走的路途可能是()答案C解析依據(jù)圖象可知在第一段時(shí)間張大爺離家距離隨時(shí)間的增加而增加，在其次段時(shí)間內(nèi)，張大爺離家的距離不變，第三段時(shí)間內(nèi)，張大爺離家的距離隨時(shí)間的增加而削減，最終回到始點(diǎn)位置，對比各選項(xiàng)，只有C正確．2．一水池有兩個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下3個(gè)論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水，則肯定正確的是()A．① B．①②C．①③ D．①②③答案A解析由甲、乙兩圖知，進(jìn)水速度是出水速度的eq\f(1,2)，所以0點(diǎn)到3點(diǎn)不出水，3點(diǎn)到4點(diǎn)也可能一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水口出水，但總蓄水量降低，4點(diǎn)到6點(diǎn)也可能兩個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水口出水，肯定正確的是①.題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題某校學(xué)生探討學(xué)習(xí)小組發(fā)覺，學(xué)生上課的留意力指標(biāo)隨著聽課時(shí)間的改變而改變，老師講課起先時(shí)，學(xué)生的愛好激增；接下來學(xué)生的愛好將保持較志向的狀態(tài)一段時(shí)間，隨后學(xué)生的留意力起先分散．設(shè)f(t)表示學(xué)生留意力指標(biāo)．該小組發(fā)覺f(t)隨時(shí)間t(分鐘)的改變規(guī)律(f(t)越大，表明學(xué)生的留意力越集中)如下：f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100a\f(t,10)－600≤t≤10，,34010<t≤20，,－15t＋64020<t≤40))(a>0且a≠1)．若上課后第5分鐘時(shí)的留意力指標(biāo)為140，回答下列問題：(1)求a的值；(2)上課后第5分鐘和下課前第5分鐘比較，哪個(gè)時(shí)間留意力更集中？并請說明理由；(3)在一節(jié)課中，學(xué)生的留意力指標(biāo)至少達(dá)到140的時(shí)間能保持多長？解(1)由題意得，當(dāng)t＝5時(shí)，f(t)＝140，即100·aeq\f(5,10)－60＝140，解得a＝4.(2)因?yàn)閒(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上課后第5分鐘時(shí)比下課前第5分鐘時(shí)留意力更集中．(3)①當(dāng)0<t≤10時(shí)，由(1)知，f(t)＝100·4eq\f(t,10)－60≥140，解得5≤t≤10；②當(dāng)10<t≤20時(shí)，f(t)＝340>140恒成立；③當(dāng)20<t≤40時(shí)，f(t)＝－15t＋640≥140，解得20<t≤eq\f(100,3).綜上所述，5≤t≤eq\f(100,3).故學(xué)生的留意力指標(biāo)至少達(dá)到140的時(shí)間能保持eq\f(100,3)－5＝eq\f(85,3)分鐘．求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)依據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問題．1．某市家庭煤氣的運(yùn)用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿意關(guān)系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0<x≤A，,C＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2024年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m4元二月份25m14元三月份35m19元若四月份該家庭運(yùn)用了20m3A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元答案A解析依據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x>5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)×(20－5)＝11.5，故選A.2．某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與貯存溫度x(單位：℃)滿意函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是________小時(shí)．答案24解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2)，))所以該食品在33℃的保鮮時(shí)間是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小時(shí))．題型三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題角度1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型1．(2024·商丘二中檢測)如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．解(1)如圖，作PQ⊥AF于點(diǎn)Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，所以eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2)，所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}．(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，則S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x＝10，所以當(dāng)x∈[4,8]時(shí)，S(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝8時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米．角度2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型2．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，支配逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2024年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年答案B解析依據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以從2024年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個(gè)等比數(shù)列{an}，其中首項(xiàng)a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，兩邊同時(shí)取對數(shù)，得n－1>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)，又eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，則n>4.8，即a5起先超過200，所以2024年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元，故選B.3．已知一容器中有A，B兩種菌，且在任何時(shí)刻A，B兩種菌的個(gè)數(shù)乘積均為定值1010，為了簡潔起見，科學(xué)家用PA＝lgnA來記錄A菌個(gè)數(shù)的資料，其中nA為A菌的個(gè)數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：①PA≥1；②若今日的PA值比昨天的PA值增加1，則今日的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多10；③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)限制為5萬，則此時(shí)5<PA<5.5(注：lg2≈0.3)．則正確的說法為________．(寫出全部正確說法的序號)答案③解析當(dāng)nA＝1時(shí)，PA＝0，故①錯(cuò)誤；若PA＝1，則nA＝10，若PA＝2，則nA＝100，故②錯(cuò)誤；設(shè)B菌的個(gè)數(shù)為nB＝5×104，∴nA＝eq\f(1010,5×104)＝2×105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又lg2≈0.3，∴PA≈5.3，則5<PA<5.5，即③正確．角度3構(gòu)造分段函數(shù)模型4．某景區(qū)供應(yīng)自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃運(yùn)用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．依據(jù)閱歷，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必需高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？解(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，∵x為整數(shù)，∴3≤x≤6，x∈Z.當(dāng)x>6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，結(jié)合x為整數(shù)得6<x≤20，x∈Z.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156<x≤20，x∈Z.))(2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，明顯當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185；對于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)(6<x≤20，x∈Z)，當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.∵270>185，∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．角度4構(gòu)造y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)型函數(shù)5．某企業(yè)每年須要向自來水廠繳納水費(fèi)約4萬元，為了緩解供水壓力，確定安裝一個(gè)可運(yùn)用4年的自動污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)(單位：萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水，安裝后采納凈水裝置凈水和自來水廠供水互補(bǔ)的用水模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年向自來水廠繳納的水費(fèi)C(單位：萬元)與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)＝eq\f(k,50x＋250)(x≥0，k為常數(shù))．記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)4年共將消耗的水費(fèi)之和．(1)試說明C(0)的實(shí)際意義，并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡；(2)當(dāng)x為多少平方米時(shí)，y取得最小值，最小值是多少萬元？解(1)C(0)表示擔(dān)心裝設(shè)備時(shí)每年繳納的水費(fèi)為4萬元，∵C(0)＝eq\f(k,250)＝4，∴k＝1000，∴y＝0.2x＋eq\f(1000,50x＋250)×4＝0.2x＋eq\f(80,x＋5)(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋eq\f(80,x＋5)－1≥2eq\r(0.2x＋5×\f(80,x＋5))－1＝7，當(dāng)0.2(x＋5)＝eq\f(80,x＋5)，即x＝15時(shí)，ymin＝7，故當(dāng)x為15平方米時(shí)，y取得最小值7萬元．1．解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；其次步：(建模)將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)學(xué)問建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：(解模)求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：(還原)將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：(反思)對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必需驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性．2．建模的基本原則(1)在實(shí)際問題中，若兩個(gè)變量之間的關(guān)系是直線上升或直線下降或圖象為直線(或其一部分)，一般構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．(2)實(shí)際問題中的如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題或其圖象為拋物線(或拋物線的一部分)等一般選用二次函數(shù)模型，依據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式．結(jié)合二次函數(shù)的圖象、最值求法、單調(diào)性、零點(diǎn)等學(xué)問將實(shí)際問題解決．(3)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．1．國家對某行業(yè)征稅的規(guī)定如下：年收入在280萬元及以下部分的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p＋2)%征稅．有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是()A．560萬元 B．420萬元C．350萬元 D．320萬元答案D解析設(shè)該公司的年收入為x萬元，納稅額為y萬元，則由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x·p%，x≤280，,280·p%＋x－280·p＋2%，x>280，))依題有eq\f(280·p%＋x－280·p＋2%,x)＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故選D.2．(2024·福建三明聯(lián)考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010)()A．3 B．4C．5 D．6答案B解析設(shè)至少要洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，因此至少須要洗4次，故選B.3．某人打算購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚四周均是寬為1米的小路(如圖陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，則y＝________.答案45解析由題可得，xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋3＝3∴S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)eq\f(y－3,3)＝1808－3x－eq\f(8,3)y.解法一：S＝1808－3x－eq\f(8,3)×eq\f(1800,x)＝1808－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4800,x)))(x>0)，≤1808－2eq\r(3x×\f(4800,x))＝1808－240＝1568.當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(4800,x)，即x＝40時(shí)取等號，S取得最大值．此時(shí)y＝eq\f(1800,x)＝45.所以當(dāng)x＝40，y＝45時(shí)，S取得最大值．解法二：設(shè)S＝f(x)＝1808－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4800,x)))(x>0)，f′(x)＝eq\f(4800,x2)－3＝eq\f(340－x40＋x,x2)，令f′(x)＝0得x＝40，當(dāng)0<x<40時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>40時(shí)，f′(x)<0.所以當(dāng)x＝40時(shí)，S取得最大值．此時(shí)y＝45，所以當(dāng)x＝40，y＝45時(shí)，S取得最大值．組基礎(chǔ)關(guān)1．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售100臺，其次個(gè)月銷售200臺，第三個(gè)月銷售400臺，第四個(gè)月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100答案C解析對于A中的函數(shù)，當(dāng)x＝3或4時(shí)，誤差較大．對于B中的函數(shù)，當(dāng)x＝4時(shí)誤差較大．對于C中的函數(shù)，當(dāng)x＝1,2,3時(shí)，誤差為0，x＝4時(shí)，誤差為10，誤差很?。畬τ贒中的函數(shù)，當(dāng)x＝4時(shí)，據(jù)函數(shù)式得到的結(jié)果為300，與實(shí)際值790相差很遠(yuǎn)．綜上，只有C中的函數(shù)誤差最小．2．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)近似地滿意關(guān)系y＝alog3(x＋2)，視察發(fā)覺2024年(作為第1年)到該濕地公園越冬的白鶴數(shù)量為3000只，估計(jì)到2024年到該濕地公園越冬的白鶴的數(shù)量為()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只答案C解析當(dāng)x＝1時(shí)，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000，故選C.3．如圖所示的四個(gè)容器高度都相同，將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用容器下面所對的圖象表示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系，其中正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)答案C解析將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系可以從高度隨時(shí)間的增長速度上反映出來，①中的增長應(yīng)當(dāng)是勻速的，故下面的圖象不正確；②中的增長速度是越來越慢的，正確；③中的增長速度是先慢后快，正確；④中的增長速度是先快后慢，也正確，故②③④正確．選C.4．汽車的“燃油效率”，是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率狀況．下列敘述中正確的是()A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同的路程，三輛汽車中，甲車消耗汽油量最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該城市用丙車比用乙車更省油答案D解析依據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故A錯(cuò)誤；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故B錯(cuò)誤；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故C錯(cuò)誤；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故D正確．5．(2024·瀘州診斷)某位股民買入某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)驗(yàn)了3次漲停(每次上漲10%)又經(jīng)驗(yàn)了3次跌停(每次下降10%)，則該股民這支股票的盈虧狀況(不考慮其他費(fèi)用)為()A．略有盈利 B．無法推斷盈虧狀況C．沒有盈利也沒有虧損 D．略有虧損答案D解析由題意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此該股民這只股票的盈虧狀況為略有虧損．6．(2024·南充模擬)某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%，經(jīng)過x年后，綠化面積與原綠化面積之比為y，則y＝f(x)的圖象大致為()答案D解析設(shè)某地區(qū)起始年的綠化面積為a，因?yàn)樵摰貐^(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%，所以經(jīng)過x年后，綠化面積g(x)＝a(1＋18%)x，因?yàn)榫G化面積與原綠化面積的比值為y，則y＝f(x)＝eq\f(gx,a)＝(1＋18%)x＝1.18x，因?yàn)閥＝1.18x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，故可解除A，C，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，可解除B，故選D.7．某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間滿意函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每臺產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，全部生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能賣完，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A．100臺 B．120臺C．150臺 D．180臺答案C解析設(shè)利潤為f(x)萬元，則f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，得x≥150，所以生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量為150臺．故選C.8．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，其次年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為________．答案eq\r(1＋p1＋q)－1解析設(shè)年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.9．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m.答案20解析設(shè)矩形花園的寬為ym，則eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花園的面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，當(dāng)x＝20m時(shí)，面積最大．10．某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行計(jì)價(jià)，該地區(qū)電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表低谷時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量(單位：千瓦時(shí))高峰電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))低谷月用電量(單位：千瓦時(shí))低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過50至200的部分0.598超過50至200的部分0.318超過200的部分0.668超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元．(用數(shù)字作答)答案148.4解析據(jù)題意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)．組實(shí)力關(guān)1．國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅方法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的11%納稅．若某人共納稅420元，則這個(gè)人的稿費(fèi)為()A．3000元 B．3800元C．3818元 D．5600元答案B解析由題意可建立納稅額y關(guān)于稿費(fèi)x的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤800，,0.14x－800，800<x≤4000，,0.11x，x>4000，))明顯稿費(fèi)應(yīng)為800<x≤4000，則0.14(x－800)＝420，解得x＝3800.2．在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[OH－])的乘積等于常數(shù)10－14.已知pH值的定義為pH＝－lg[H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以為(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.30，lg3＝0.48)()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,10)答案C解析∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴eq\f([H＋],[OH－])＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg[H＋]<7.45，∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<eq\f([H＋],[OH－])＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝eq\f(1,100.9)>eq\f(1,10)，lg(100.7)＝0.7>lg3>lg2，∴100.7>3>2,10－0.7<eq\f(1,3)<eq\f(1,2)，∴eq\f(1,10)<eq\f([H＋],[OH－])<eq\f(1,3).故選C.3．物體在常溫下的溫度改變可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過肯定時(shí)間t(單位：min)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期，現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的速溶咖啡，放在21℃的房間中，假如咖啡降到37℃須要16min，那么這杯咖啡要從37℃降到29℃，還須要________min.答案8解析由題意知Ta＝21℃.令T0＝85℃，T＝37℃，得37－21＝(85－21)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(16,h)，∴h＝8.令T0＝37℃，T＝29℃，則29－21＝(37－21)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,8)，∴t＝8.4．候鳥每年都要隨季節(jié)的改變進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，探討某種鳥類的專家發(fā)覺，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是實(shí)數(shù))．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？解(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0.當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，所以－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位．組素養(yǎng)關(guān)1．(2024·江西七校聯(lián)考)食品平安問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來肯定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的