2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專題重組卷第一部分專題二十二數(shù)學(xué)文化文含解析

PAGE專題二十二數(shù)學(xué)文化本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分80分，考試時間60分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2024·攀枝花一模)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則小滿日影長為()A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺答案C解析設(shè)從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{an}，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝31.5，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝85.5，))解得a1＝13.5，d＝－1，∴小滿日影長為a11＝13.5＋10×(－1)＝3.5(尺)．故選C.2．(2024·郴州一模)如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明，圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影)．設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(大小忽視不計，取eq\r(3)≈1.732)，則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A．134B．67C．200D．250答案B解析設(shè)大正方形的邊長為1，則小直角三角形的直角邊長為eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，則小正方形的邊長為eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)，小正方形的面積S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))2＝1－eq\f(\r(3),2).則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為eq\f(1－\f(\r(3),2),1×1)×500＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))×500≈(1－0.866)×500＝0.134×500＝67.故選B.3．(2024·全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618，稱為黃金分割比例)).聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿意上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至頸項下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm答案B解析設(shè)某人身高為mcm，頸項下端至肚臍的長度為ncm，則由腿長為105cm，可得eq\f(m－105,105)>eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，解得m>169.890.由頭頂至頸項下端的長度為26cm，可得eq\f(26,n)>eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，得n<42.071.所以頭頂?shù)蕉悄毜拈L度小于26＋42.071＝68.071.所以肚臍到足底的長度小于eq\f(68.071,\f(\r(5)－1,2))≈eq\f(68.071,0.618)≈110.147.所以此人身高m<68.071＋110.147＝178.218.綜上，此人身高m滿意169.890<m<178.218.所以其身高可能為175cm.故選B.4．(2024·四川省自貢市第一次診斷)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為63,36，則輸出的a＝()A．3B．6C．9D．18答案C解析由a＝63，b＝36，滿意a>b，則a＝63－36＝27，由a<b，則b＝36－27＝9，由a>b，則a＝27－9＝18，由a>b，則a＝18－9＝9，由a＝b，則退出循環(huán)，輸出a＝9.故選C.5．(2024·四川省綿陽市一診)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”其意為：有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從其次天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一月織了九匹三丈，問每天比前一天多織多少尺布？已知1匹＝40尺，1丈＝10尺，若一月按30天算，則每天織布的增加量為()A.eq\f(1,2)尺B.eq\f(8,15)尺C.eq\f(16,29)尺D.eq\f(16,31)尺答案C解析依據(jù)題意知，該數(shù)列為等差數(shù)列，則設(shè)公差為d，由于a1＝5，所以30a1＋eq\f(30×30－1,2)d＝9×40＋30，解得d＝eq\f(16,29).故選C.6．(2024·榆林模擬)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)文化的優(yōu)秀遺產(chǎn)，數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時，發(fā)覺當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形的面積可無限靠近圓的面積，為此他創(chuàng)立了割圓術(shù)．利用割圓術(shù)，劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后四位3.1416，后人稱3.14為徽率．如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計的程序框圖，則結(jié)束程序時，輸出的n為()(eq\r(3)≈1.7321，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A．6B．12C．24D．48答案C解析n＝3，S＝eq\f(1,2)×3×sin120°＝eq\f(3\r(3),4)<3.1，不滿意條件，進(jìn)入循環(huán)；n＝6，S＝eq\f(1,2)×6×sin60°＝eq\f(3\r(3),2)≈2.5982<3.1，不滿意條件，接著循環(huán)；n＝12，S＝eq\f(1,2)×12×sin30°＝3<3.1，不滿意條件，接著循環(huán)；n＝24，S＝eq\f(1,2)×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056>3.1，滿意條件，退出循環(huán)，輸出n的值為24.故選C.7．(2024·北京高考)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1答案A解析設(shè)太陽的星等為m1，天狼星的星等為m2，則太陽與天狼星的亮度分別為E1，E2，由條件m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－1.45＋26.7＝25.25.∴l(xiāng)geq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，∴eq\f(E1,E2)＝1010.1，即太陽與天狼星的亮度的比值為1010.1.故選A.8．(2024·百校聯(lián)盟聯(lián)考)我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步靠近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越靠近圓周長．這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項重大成就，現(xiàn)作出圓x2＋y2＝2的一個內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為()A．x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0B．(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0C．x－(eq\r(2)＋1)y＋eq\r(2)＝0D．(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0答案C解析如圖所示，可知A(eq\r(2)，0)，B(1,1)，C(0，eq\r(2))，D(－1,1)，所以直線AB，BC，CD的方程分別為y＝eq\f(1－0,1－\r(2))(x－eq\r(2))，y＝(1－eq\r(2))x＋eq\r(2)，y＝(eq\r(2)－1)x＋eq\r(2)，整理成一般式為x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0，(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0，(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0，分別對應(yīng)題中的A，B，D選項．故選C.9．(2024·南昌二模)在《周易》中，長橫“__”表示陽爻，兩個短橫“__”表示陰爻，有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有23＝8種組合方法，這便是《系辭傳》所說：“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”，有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的狀況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有4種不同的狀況，有放回地取陽爻和陰爻三次有8種不同的狀況即為八卦，在一次卜卦中，恰好出現(xiàn)兩個陽爻一個陰爻的概率是()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)答案C解析由題意知，全部可能出現(xiàn)的狀況有：(陽，陽，陰)，(陽，陰，陽)，(陰，陽，陽)，(陰，陰，陽)，(陰，陽，陰)，(陽，陰，陰)，(陽，陽，陽)，(陰，陰，陰)，共8種，恰好出現(xiàn)兩個陽爻、一個陰爻的狀況有3種，利用古典概型的概率計算公式，可得所求概率為eq\f(3,8).故選C.10．(2024·合肥質(zhì)檢)我國古代的《九章算術(shù)》中將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為“芻童”．如圖所示為一個“芻童”的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長分別為2和4，高為2，則該“芻童”的表面積為()A．12eq\r(5) B．40C．16＋12eq\r(3) D．16＋12eq\r(5)答案D解析易得側(cè)面梯形的高為eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以一個側(cè)面梯形的面積為eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(5)＝3eq\r(5).故所求為4×3eq\r(5)＋2×(2×4)＝12eq\r(5)＋16.故選D.11．(2024·桂林一模)如圖所示的是歐陽修的《賣油翁》中講解并描述的一個好玩的故事，現(xiàn)仿照銅錢制作一個半徑為2cm的圓形銅片，中間有邊長為1cm的正方形孔．若隨機(jī)向銅片上滴一滴水(水滴的大小忽視不計)，則水滴正好落入孔中的概率是()A.eq\f(2,π)B.eq\f(1,π)C.eq\f(1,2π)D.eq\f(1,4π)答案D解析利用面積型幾何概型公式可得，圓形銅片的面積S＝4π，中間方孔的面積為S＝1，水滴正好落入孔中的概率為正方形的面積與圓的面積的比值，即水滴正好落入孔中的概率為P＝eq\f(1,4π).故選D.12．(2024·商丘二模)祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r期的宏大數(shù)學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，假如截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積肯定相等．現(xiàn)有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體，圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿意祖暅原理的兩個幾何體為()A．①②B．①③C．②④D．①④答案D解析設(shè)截面與底面的距離為h，則①中截面內(nèi)圓的半徑為h，則截面圓環(huán)的面積為π(R2－h(huán)2)；②中截面圓的半徑為R－h(huán)，則截面圓的面積為π(R－h(huán))2；③中截面圓的半徑為R－eq\f(h,2)，則截面圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(h,2)))2；④中截面圓的半徑為eq\r(R2－h(huán)2)，則截面圓的面積為π(R2－h(huán)2)．所以①④中截面的面積相等，故其體積相等，故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共20分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·廣東茂名綜合測試)《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題，今年超強(qiáng)臺風(fēng)“山竹”登陸時再現(xiàn)了這一現(xiàn)象(如圖所示)，不少大樹被大風(fēng)折斷．某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后(沒有完全斷開)，樹干與地面成75°角，折斷部分與地面成45°角，樹干底部與樹尖著地處相距10米，則大樹原來的高度是________米(結(jié)果保留根號)．答案5eq\r(2)＋5eq\r(6)解析如圖所示，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(AB,sin75°)＝eq\f(10,sin60°)，所以O(shè)A＝eq\f(10\r(6),3)(米)，AB＝eq\f(15\r(2)＋5\r(6),3)(米)，得大樹高為OA＋AB＝5eq\r(2)＋5eq\r(6)(米)．14．(2024·溫州市高考適應(yīng)性測試)我國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖所示的“勾股圓方圖”，四個相同的直角三角形與邊長為1的小正方形拼成一個邊長為5的大正方形，若直角三角形的直角邊分別記為a，b，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝25，,\f(1,2)ab＝6，))則a＋b＝________，其中直角三角形的較小的銳角θ的正切值為________．答案7eq\f(3,4)解析(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝25＋24＝49，所以a＋b＝7，不妨設(shè)a＜b，由a＋b＝7，a2＋b2＝25，可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝4，))所以tanθ＝eq\f(3,4).15．(2024·四川六市聯(lián)考)中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一題：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日、第四日、第七日所走之和為390里，則該男子第三日走的里數(shù)為________．答案120解析依據(jù)“男子善走，日增等里”，可知每天走的里數(shù)符合等差數(shù)列，設(shè)這個等差數(shù)列為{an}，其公差為d，前n項和為Sn.依據(jù)題意可知，S9＝1260，a1＋a4＋a7＝390，解法一：S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝1260，∴a5＝140，a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120.解法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S9＝1260，,a1＋a4＋a7＝390，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a1＋\f(9×8,2)d＝1260，,a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝390，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\