2014年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點37 立體幾何中的向量方法

高考試題分類解析.7.（2014·福建高考理科·Ｔ17）17.（本小題滿分12分）在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面平面，如圖.求證：；若為中點，求直線與平面所成角的正弦值.【解題指南】⑴由面面垂直性質(zhì)定理先推得線面垂直,再進而推得線面垂直．⑵建立坐標系，由線面角公式求解即可．【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BCD，且兩平面的交線為BD，平面ABD，AB⊥BD，………2分∴AB⊥平面BCD，又平面BCD，∴AB⊥CD；…………4分(2)過點B在平面BCD內(nèi)作，如圖，由(1)知AB⊥平面BCD，平面BCD，平面BCD，∴，…………6分以B為坐標原點原點，以QUOTEQUOTEQUOTE分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意，得，.……………8分則，………………9分設(shè)平面MBC的法向量，則，即，取，得平面MBC的一個法向量，………10分設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，則，……12分即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.…………………13分8.（2014·山東高考理科·Ｔ17）如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是線段的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.【解題指南】(1)本題考查了線面平行的證法，可利用線線平行，也可利用面面平行，來證明線面平行；.(2)本題可利用空間幾何知識求解二面角，也可以利用向量法來求解.【解析】（Ⅰ）連接為四棱柱，又為的中點，,,為平行四邊形又（Ⅱ）方法一：作,連接則即為所求二面角在中，在中，,.方法二：作于點以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間坐標系，設(shè)平面的法向量為顯然平面的法向量為顯然二面角為銳角，所以平面和平面所成角的余弦值為9.(2014·陜西高考理科·T17)(本小題滿分12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,過棱AB的中點E作平行于AD,BC的平面分別交四面體的棱BD,DC,CA于點F,G,H.(1)證明:四邊形EFGH是矩形.(2)求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值.【解題指南】(1)先證得四邊形EFGH為平行四邊形,再證得此平行四邊形的鄰邊相互垂直,注意從三視圖中推得已知.(2)利用已知正確建立空間直角坐標系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因為BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.又由三視圖可知AD⊥面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG,所以四邊形EFGH是矩形.(2)如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),DA→=(0,0,1),BC→=(-2,2,0),BA→=(-2設(shè)平面EFGH的法向量n=(x,y,z),因為EF∥AD,FG∥BC,所以n·DA→=0,n·得z取n=(1,1,0),所以sinθ=|cos<BA→,n>|=BA→·10.（2014·湖北高考理科·Ｔ19）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點分別在棱,上移動，且.當時，證明：直線平面;是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解題指南】（Ⅰ）建立坐標系，求出，可得BC1∥FP，利用線面平行的判定定理，可以證明直線BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）求出平面EFPQ的一個法向量、平面MNPQ的一個法向量，利用面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，建立方程，即可得出結(jié)論．【解析】以為原點，射線分別為軸的正半軸建立空間直角坐標系,由已知得（Ⅰ）證明：當時，因為，所以，即而，且，故直線平面。（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，則由可得，于是可取同理可得平面的一個法向量為若存在，使得平面與面所成的二面角為直二面角，則，即解得故存在，使平面與面所成的二面角為直二面角。11.（2014·重慶高考文科·Ｔ20）如題(20)圖,四棱錐中,底面是以為中心的菱形,底面,為上一點,且(1)證明:平面;(2)若求四棱錐的體積.【解題提示】(1)在平面內(nèi)可以找到與垂直從而得出結(jié)論.(2)直接利用體積公式求解即可.【解析】（1）如答(20)圖,因為菱形,為菱形中心,連接則因故又因且在中,所以故又底面,所以.從