2025年春新湘教版七年級數(shù)學下冊全冊教學課件

新湘教版數(shù)學七年級下冊全冊教學課件2025年春季新版教材同底數(shù)冪的乘法湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入aaa2aa3＝a·a＝a·a·a23a4a5a6an＝a·a·a·a＝a·a·a·a·a＝a·a·a·a·a·a＝a·a········an個有理數(shù)naan＝a·a········an個求n個相同因數(shù)的乘積的運算，叫作乘方.復習導入底數(shù)指數(shù)乘方冪≈n個相同的因數(shù)乘積的簡便記號，叫作冪.公元1607年，利瑪竇和徐光啟合譯歐里幾得的《原本》時，對“冪”字做了注解：“自乘之數(shù)曰冪.”拓展知識探究新知22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________(m是正整數(shù)).觀察22aaaa同底數(shù)冪相乘.22×24＝（2×2）×（2×2×2×2）＝2×2×2×2×2×2＝26.2個24個2（2＋4）個2a2·a4＝（a·a）·（a·a·a·a）＝a·a·a·a·a·a＝a6.2個a4個a（2＋4）個aa3·am＝(a·a·a)·(a·a·····a)＝a·a·a·····a＝a3+m.3個am個a（3＋m）個a通過觀察，你發(fā)現(xiàn)上述式子的指數(shù)和底數(shù)是怎樣變化的？222aaaaaa2462463m3+m底數(shù)不變，指數(shù)相加.26a6a3+m探究新知22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________（m是正整數(shù)）;觀察22aaaa同底數(shù)冪相乘.22×24＝（2×2）×（2×2×2×2）＝2×2×2×2×2×2＝26.2個24個2（2＋4）個2222246a2·a4＝（a·a）·（a·a·a·a）＝a·a·a·a·a·a＝a6.2個a4個a（2＋4）個aaaa246a3·am＝（a·a·a)·(a·a·

····a）＝a·a·a·····a＝a3+m.3個am個a（3＋m）個aaaa3m3+m抽象我們把上述運算過程推廣到一般情況（即am·an），即猜想am·an

am+n.＝26a6a3+m26a6a3+m24243m我們把上述運算過程推廣到一般情況（即am·an），即am·an

am+n.＝觀察抽象猜想論證am·an＝（a·a·····a）·（a·a·····a）m個an個a＝a·a·a·····a（m＋n）個a＝am+n（m，n都是正整數(shù)）.證明：

am+n←乘方的意義←乘法結合律←乘方的意義22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________（m是正整數(shù)）;22aaaa26a6a3+m26a6a3+m24243m探究新知同底數(shù)冪相乘.探究新知我們把上述運算過程推廣到一般情況（即am·an），即觀察抽象猜想論證am·an＝

am+n（m，n都是正整數(shù)）.也就是am·an＝（a·a·····a）·（a·a·····a）m個an個a＝a·a·a·····a（m＋n）個a＝am+n（m，n都是正整數(shù)）.證明：

am+n于是，我們得到：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________（m是正整數(shù)）;22aaaa26a6a3+m26a6a3+m24243m同底數(shù)冪相乘.“特殊”“一般”嚴格的證明乘法法則探究新知例1計算:（1）105×103；（2）x3·x4.解：

105×103=105+3=108.解:

x3·x4=x3+4=x7.[教材P3例題1]下列計算對不對？如果不對，應該怎樣改正？(1)a2·a5=

a10.(2)a3·a3=

2a6.(3)a

·a4=

a4.(1)a2·a5=

a7.(2)a3·a3=

a6.(3)a

·a4=

a5.×××探究新知（1）-a·a3;解:

-a·a3=(-1)·a1+3=﹣a4（2）-y

n·y

n+1

(n為正整數(shù)).解：

-yn·yn+1=(-1)·yn+n+1=-y2n+1.例2計算:[教材P3例題2]探究新知思考：當三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘時，怎樣用公式表示運算的結果呢？am·an·ak＝（a·a·····a）·（a·a·····a）·（a·a·····a）m個an個a＝a·a·a·····a（m＋n＋k）個a＝am+n+k(m，n，k都是正整數(shù)).證明：

am+n+kam·an·ak=?(m，n，k都是正整數(shù)).k個a也就是am·an·ak＝am+n+k同理可知，若三個以上的同底數(shù)冪相乘，底數(shù)______，指數(shù)______.不變相加探究新知例3計算：（2）(-x)×(-x2)×(-x3)；

（1）y·y2·y4.解:

y·y2·y4=(y·y2)·y4=y7.=y3·y4或:

y·y2·y4=y1+2+4=y7.解:

(-x)×(-x2)×(-x3)=-(x·x2·x3)=-x6或:

(-x)×(-x2)×(-x3)=-x1+2+3=-x6.=-(x3·x3)[選自教材P3例題3]冪的乘方湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入冪：＝ana·a········an個n個相同的因數(shù)乘積的簡便記號，叫作冪.同底數(shù)冪的乘法法則：am·an＝

am+n（m，n都是正整數(shù)）.同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.an冪乘方≈求n個相同因數(shù)的乘積的運算，叫作乘方.乘方：“自乘之數(shù)曰冪.”（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整數(shù)）.探究新知觀察求冪的乘方.（22）3＝22·22·22＝22×3＝26.（a2）3＝a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6.（a2）m＝（a2·a2·····a2）＝a2+2+···+2＝a2×mm個a2m個2通過觀察，你發(fā)現(xiàn)上述式子的指數(shù)和底數(shù)是怎樣變化的？2aaa232362m底數(shù)不變，指數(shù)相乘.26a6a2m＝a2×3＝a2ma2m262aa23232m26a62m26a6a探究新知（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整數(shù)）.觀察求冪的乘方.（22）3＝22·22·22＝22×3＝26.（a2）m＝（a2·a2·····a2）＝a2+2+···+2＝a2×mm個a2m個2＝a2m（a2）3＝a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6.＝a2×32aa23232m26a6a2ma2m26a6抽象同樣，我們把上述運算過程推廣到一般情況，即（am）n＝猜想amn探究新知（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整數(shù)）.觀察求冪的乘方.2aa23232m26a6a2ma2m26a6抽象同樣，我們把上述運算過程推廣到一般情況，即猜想論證（am)

n＝am·am·····amn個am＝am+m+···+mn個m（m，n都是正整數(shù)）.證明：（am）n＝amn＝amn

amn←乘方的意義←同底數(shù)冪的乘法法則（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整數(shù)）.觀察求冪的乘方.2aa23232m26a6a2ma2m26a6抽象同樣，我們把上述運算過程推廣到一般情況，即猜想論證探究新知（am)

n＝am·am·····amn個am＝am+m+···+mn個m（m，n都是正整數(shù)）.證明：＝amn

amn于是，我們得到：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.“特殊”“一般”嚴格的證明(am)n＝

amn(m，n都是正整數(shù)).也就是冪的乘方乘法法則探究新知（am）n＝

amn（m，n都是正整數(shù)）.冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.am·an＝

am+n（m，n都是正整數(shù)）.同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.同底數(shù)冪的乘法法則與冪的乘方法則的區(qū)別與聯(lián)系.m+nn

mmnn

maaaaa底數(shù)不變底數(shù)不變議一議下列計算對不對？如果不對，應該怎樣改正？(1)(a2)5=a7(2)(a3)2=a9(1)(a2)5=a2×5=a10(a3)2

=a2×3

=a6××[教材P5議一議]探究新知例4計算：（1）(105)2；（2）﹣(a3)4.解：(105)2＝105×2＝1010.解：﹣(a3)4＝﹣a3×4＝﹣a12.[教材P5例4]探究新知探究新知例5計算：（1）(xm)4(m是正整數(shù))；（2）(a4)3·a3.解：(xm)4＝xm×4＝x4m.解：(a4)3

·a3

＝a4×3·a3

＝a12+3

＝a15.[教材P5例5]積的乘方湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入冪乘方≈an??同底數(shù)冪的乘法冪的運算am·an＝

am+n（m，n都是正整數(shù)）.同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.m+nn

maaa冪的乘方（am）n＝

amn（m，n都是正整數(shù)）.冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.mnn

maa積的乘方探究新知（3x）2＝______；

（ab）3＝_______.觀察(3x)2＝3x·3x＝（3×3）·（x·x）＝9x2.(ab)3＝（ab）·（ab）·（ab）＝（a·a·a）·（b·b·b）通過觀察，你發(fā)現(xiàn)上述式子的指數(shù)和底數(shù)是怎樣變化的？9x2a3b3＝a3b3抽象猜想論證（乘方的意義）(乘法交換律和結合律)積的乘方.觀察抽象猜想論證探究新知(3x)2＝______；

(ab)3＝_______.通過觀察運算過程，你能推導出下面的公式嗎？9x2a3b3求積的乘方.（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）anbn（3x）2＝______；

（ab）3＝_______.通過觀察運算過程，你能推導出下面的公式嗎？9x2a3b3（ab）n＝觀察抽象猜想論證(ab)n＝（ab）·（ab）·····（ab）n個abn個b＝（a·a·····a）·（b·b·····b）n個a＝anbn（n都是正整數(shù)）.證明：

anbn←乘方的意義←乘法分配律和結合律←乘方的意義（ab）n＝

anbn（n都是正整數(shù)）.于是，我們得到：積的乘方，求積的乘方.探究新知等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.abnbann（n是正整數(shù)）探究新知(abc)n＝anbncn(n是正整數(shù))成立嗎？試說明理由.(abc)n＝(abc)·(abc)·····(abc)n個abcn個b＝(a·a·····a)·(b·b·····b)·(c·c·····c)n個a＝anbncn（n是正整數(shù)）.證明：anbncnn個c←乘方的意義←乘法分配律和結合律←乘方的意義探究新知積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.（ab）n＝anbn（n都是正整數(shù)）.積的乘方同底數(shù)冪的乘法冪的運算冪的乘方（am）n＝

amn（m，n都是正整數(shù)）.mnn

maa冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.am·an＝

am+n（m，n都是正整數(shù)）.m+nn

maaa同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.正整數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪探究新知（am）n＝

amn（m，n都是正整數(shù)）.mnn

maa冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.am·an＝

am+n（m，n都是正整數(shù)）.m+nn

maaa同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.（ab）n＝anbn（n都是正整數(shù)）.底數(shù)相等指數(shù)相等逆用例6計算：（1）(﹣2x)3;（2）(xy2)5;解：（1）(﹣2x)3＝(﹣2)3·x3＝﹣8x3.（2）(xy2)5＝x5·y2×5＝x5y10.[教材P6例題6]（3）(-xy)2;（3）(-xy)2＝(-x)2·y2＝x2y2.做一做下列計算對不對？如果不對，請改正(1)(ab3)2=ab6(2)(2xy)3=6x3y3(3)(-3a2b)2=9a4b(4)(-x3y)5=x15y5(1)(ab3)2=a2b6××(2)(2xy)3=8x3y3×(3)(-3a2b)2=9a4b2(4)(-x3y)5=-x15y5×[教材P7做一做]例7計算：（1）(3x5)4－(2x4)5解：(3x5)4－(2x4)5＝81x20－32x20＝49x20[教材P7例7]（2）(-x2y2)3－(4x3y3)2解：(-x2y2)3－(4x3y3)2＝-x6y6－16x6y6＝

-17x6y6鞏固練習1.計算：（2）(﹣xy)4解：(﹣xy)4＝

（﹣1）4·

x4·

y4＝

x4y4.（3）(﹣5x3y)3

解：(﹣5x3y)3＝(﹣5)3·(x3)3·(y)3＝﹣125x9y3.

（4）(﹣3ab2c3)4解：(﹣3ab2c3)4

＝(﹣3)4·a4·(b2)4·

(c3)4

＝81a4b8c12（1）(x)3

解：

(x)3＝()3·x3＝

x3.[教材P7練習第1題]單項式的乘法湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入同底數(shù)冪的乘法冪的運算冪的乘方am·an＝

am+n（m，n都是正整數(shù)）.同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.m+nn

maaa底數(shù)不變（am）n＝

amn（m，n都是正整數(shù)）.冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.mnn

maa底數(shù)不變積的乘方積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.（ab）n＝anbn（n都是正整數(shù)）.復習導入=(-a3)·a2=﹣a5=x·x2=

x3=x2·(-x3)=﹣x5=(-a3)·a2·(-a)=a6探究新知怎樣計算單項式4xy與單項式﹣3xy2的乘積？4xy·(﹣3xy2)＝[4×(-3)](x·x)(y·y2)＝_______________________﹣12x2y3一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘.（利用乘法交換律及結合律）單項式的乘法法則思考各因式系數(shù)的積作為積的系數(shù)相同字母指數(shù)的和作為積中這幾個字母的指數(shù)探究新知例8計算：（1）(﹣2xy2)·3x2y（2）(4x)3·(-5xy3)解：（1）(﹣2xy2)·3x2y=[(﹣2)·3](x·x2)(y2·y)=﹣6x3y3.（2）(4x)3·(-5xy3)=[43·(﹣5)](x3·x)·y3=-320x4y3.[教材P8例8]只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式。探究新知例8計算：解：(n是正整數(shù))做一做計算，并將結果與同學交流解[教材P9做一做]例9計算：2xy2·x3y3+(-5x3y4)·(-3xy)2xy2·x3y3+(-5x3y4)·(-3xy)解：=2x1+3y2+3+15x3+1y4+1=2x4y5+15x4y5=17x4y5[教材P9例9]步驟:(1)應先確定積的符號，再計算積的絕對值；(2)相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；(3)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里，注意不要把這個因式遺漏。探究新知例10

天文學上計算天體之間的距離常用“光年”作為單位，1光年就是光在真空中沿直線傳播一年所經過的距離.光在真空中的速度約為3×108m/s，1年約為3.15×107s.計算1光年約多少米.解：根據題意得3×108×3.15×107＝（3×3.15）×（108×107

）＝9.45×1015(m)答：1光年約9.45×1015米.分析：距離=速度×時間；即（3×108）×（3.15×107）.[教材P9例10]鞏固練習1.計算：解：[教材P9練習第1題]鞏固練習2.計算（其中n是正整數(shù)）：解：[教材P9練習第2題]鞏固練習3.下面的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？××[教材P9練習第3題]習題1.1湘教版·七年級數(shù)學下冊①1.填空(1)a2·a3=______(2)x·x3·x4=______(3)(-x)2·(-x)3=______(4)(-a)3·(-a)2·(-a)

=______a5x8-x5a62.計算(1)(a2)4(2)(-xm)5(m是正整數(shù))(3)-(3xy3)2(4)(p2q)n(n是正整數(shù))解(1)(a2)4=a8(2)(-xm)5=-x5m(3)-(3xy3)2=-9x2y6(4)(p2q)n=p2nqn3.計算(1)(2×105)×(3×106)(2)(1.2×104)×(-2.5×107)解(1)(2×105)×(3×106)=(2×3)×(105×106)=6×1011(2)(1.2×104)×(-2.5×107)=1.2×(-2.5)×(104×107)=-3×10114.從太陽系外距地球最近的一顆恒星(比鄰星)發(fā)出的光，大約需要4.2年時間才能到達地球。光的速度約為3×108m/s,1年以3.15×107s計算，求這顆恒星與地球的大概距離。解：路程=時間×速度3.15×107×4.2×3×108=3.969×1016(m)答：這顆恒星與地球的大概距離3.969×1016m。5.計算(1)2x3·3xy(2)4x2y·(-5xy2)(3)axn-1y·axyn-1(其中a是非零常數(shù)，n>1，且n是正整數(shù))解：2x3·3xy=6x4y4x2y·(-5xy2)=-20x3y3axn-1y·axyn-1=a2xnyn6.計算(1)(2x2y-xy)·3xy(2)解：(2x2y-xy)·3xy=2x2y·3xy-xy·3xy=6x3y2-3x2y2(3)3x2·(-2xy)2-x3·(xy2-2)(4)4x·(x2y-xy2)-3y·(5x3+x2y)3x2·(-2xy)2-x3·(xy2-2)解：=3x2·4x2y2-x3·xy2+2x3=12x4y2-x4y2+2x3=11x4y2+2x34x·(x2y-xy2)-3y·(5x3+x2y)=4x·x2y-4x·xy2-3y·5x3-3y·x2y=4x3y-4x2y2-15x3y-3x2y2=-11x3y-7x2y27.計算(1)(3x+2y)(7x-6y)(2)(2x-5y)(2xy-3y2)解：(3x+2y)(7x-6y)=3x(7x-6y)+2y(7x-6y)=3x·7x-3x·6y+2y·7x-2y·6y

=21x2-18xy+14xy-12y2

=21x2-4xy-12y2

(2x-5y)(2xy-3y2)=2x(2xy-3y2)-5y(2xy-3y2)=2x·2xy-2x·3y2-5y·2xy+5y·3y2

=4x2y-6xy2-10xy2+15y3

=4x2y-16xy2+15y3

(3)(4x+3y)(x-2y)-(3x-2y)·x(4x+3y)(x-2y)-(3x-2y)·x解：=4x(x-2y)+3y(x-2y)

-(3x-2y)·x=4x·x-4x·2y+3y·x-3y·2y-3x·x+2y·x=4x2-8xy+3xy-6y2-3x2+2xy=x2-3xy-6y2(4)2x·(x2-4x)-(x2+1)(2x-3)2x·(x2-4x)-(x2+1)(2x-3)=2x·(x2-4x)-x2(2x-3)-(2x-3)=2x·x2-2x·4x-x2·2x+3x2-2x+3=2x3-8x2-2x3+3x2-2x+3=-5x2-2x+38.(1)計算(2x-y)(3x+2y)-(4x-3y)(2x-5y)(2x-y)(3x+2y)-(4x-3y)(2x-5y)解：=2x(3x+2y)-y(3x+2y)-4x(2x-5y)+3y(2x-5y)=2x·3x+2x·2y-y·3x-y·2y-4x·2x+4x·5y+3y·2x-3y·5y=6x2+4xy-3xy-2y2-8x2+20xy+6xy-15y2=-2x2+27xy-17y2(2)當x取,y取1時，求(1)中多項式的值解：將x=，y=1,代入算式得-2x2+27xy-17y2=-319.一個長方體的長是2.4×104cm，寬是1.5×103cm，高是0.6×103cm，求這個長方體的體積及表面積。解：V=2.4×104×1.5×103×0.6×103=2.16×1010(cm3)S

=2×2.4×104×1.5×103+2×2.4×104×0.6×103+2×1.5×103×0.6×103=1.026×108(cm2)答：這個長方體的體積為2.16×1010cm3,表面積為1.026×108cm2。10.填空(1)()·(-3xy)=-15x2y3(2)2ab·()=-8a2bc(3)(-x2)·()=7x2y(4)(a2)2·()=-2a5b5xy2-4ac-7y-2ab11.下列計算對不對？如果不對應該怎樣改正？(1)[(a+b)2]3=(a+b)5(2)-[-(x+y)3]2=(x+y)6解：(1)[(a+b)2]3=(a+b)6(2)-[-(x+y)3]2=-(x+y)6××單項式與多項式相乘湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入單項式的乘法整式的乘法冪的運算多項式的乘法某街道為美化環(huán)境，對街道進行了大整治。其中一項就是把一塊矩形的空地補上了彩色地磚，成為市民休閑健身的場所。你能夠表示出這塊矩形空地的面積嗎？mambmcmabcm(a+b+c)ma+mb+mc你能解釋一下這個式子是怎么來的嗎？m(a+b+c)=ma+mc+mb=乘法分配率怎樣計算單項式2x與多項式3x2－x－5的乘積？探究新知可以運用乘法對加法的分配律.2x·（3x2－x－5）＝2x·3x2＋2x·(－x)＋2x·(－5)＝6x3－2x2－10x

一般地，單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加.多項式的乘法法則要將3x2-x-5看作各項的代數(shù)和。探究新知例11計算：解：[教材P10例11]運算時要注意的問題：1.不能漏乘：即單項式要乘遍多項式的每一項；2.去括號時注意符號的確定。下列計算對不對？如果不對，應怎樣改正？(1)(2)(3)(1)(2)××√探究新知例12(1)計算解：探究新知(2)當x取2，y取-1時,求(1)中多項式的值解：將x用2代入，y用-1代入,(1)中多項式的值為2×23×(-1)+3×22×(-1)2=-16+12=-4鞏固練習1.計算：[選自教材P11練習第1題]多項式與多項式相乘湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入我們學了“冪的運算性質”有哪些？同底數(shù)冪的乘法：am·an

=am+n冪的乘方：(am)n=amn（m、n都是正整數(shù)）積的乘方：(ab)n=anbn單項式乘以多項式的法則是什么？m(a+b+c)=ma+mb+mc復習導入一般地，單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加．(1)設a,b,c都是正數(shù)，計算(a+b)(a+c)的值(2)一個長方形的長為a+b，寬為a+c，試著畫出這個長方形，并利用這個長方形解釋(1)的結果。解：(1)(a+b)(a+c)=a2+ac+ba+bc(2)abcaa2acbabc怎樣計算多項式x-2y與多項式3x+y的乘積？探究新知可以運用乘法對加法的分配律.(x-2y)

·（3x+y）＝x·(3x+y)+(-2y)·(3x+y)

＝x·3x+x·y+(-2y)·3x+(-2y)·y＝3x2+xy-6xy-2y2

＝3x2-5xy-2y2

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.多項式的乘法法則

(a+n)(b+m)=ab+

am+

nb+nm歸納總結例13計算(1)(2x+y)(x-3y)(2)(5x-2)(3x2-x-5)解：(1)(2x+y)(x-3y)=2x·x+2x·(-3y)+y·x+y·(-3y)=2x2-6xy+xy-3y2=2x2-5xy-3y2(2)(5x-2)(3x2-x-5)=15x3-5x2-25x-6x2+2x+10=15x3-5x2-6x2-25x+2x+10=15x3-11x2-23x+10例14計算(1)(x-y)(x2+xy+y2)(2)(x+y)(x2-xy+y2)解：(1)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3(2)(x+y)(x2-xy+y2)=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3從同一面積的不同表達式入手，借助分配律得到多項式的乘法法則。由法則可知:(1)多項式與多項式相乘的結果仍是多項式；(2)結果的項數(shù)應該是原兩個多項式項數(shù)的積(沒有合并之前)，檢驗項數(shù)常常作為檢驗解題過程的有效方法；(3)多項式與多項式相乘的結果中，要把同類項合并。思考：多項式乘以多項式，展開后項數(shù)有什么規(guī)律？鞏固練習1.計算(1)(x-2y)(4x+3y)(2)(x-5y)(3x-y)解：(x-2y)(4x+3y)=x·4x+x·3y-2y·4x-2y·3y=4x2+3xy-8xy-6y2=4x2-5xy-6y2(x-5y)(3x-y)=x·3x-x·y-5y·3x-5y·(-y)=3x2-xy-15xy+5y2=3x2-16xy+5y2[教材P13練習第1題]平方差公式湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.符號表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.兩項式乘以兩項式，結果可能是兩項嗎？請你舉例說明.探究新知計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：(x+2)(

x–2)=x2-2x+2x

-22=

，(x+1)(

x

-1)=x2-

x+x

-12=

，(x+3)(

x

-3)=x2-3x+3x-32=

，(x+4)(

x

-4)=x2–4x+4x

-42=

.x2-12x2-22x2-32x2-42(x+y

)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y

)(

x

-

y)=x2-y2

即多項式x+y與x-y的乘積，等于多項式x2-y2由此我們可以得到平方差公式(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差.設a,b都是正數(shù)，且a>b，將平方差公式中的x用a代入，y用b代入可得平方差公式適用條件：括號前后有兩項相同括號前后有兩項相反(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2前提：兩多項式相乘結果：(同)2-(反)2使用條件：①兩多項式相乘。②前后出現(xiàn)兩項相同，兩項相反。(a+b)(a-b)=a2-b2應用平方差公式時應注意些什么呢？(1)注意平方差公式的適用范圍;(2)字母

a、b可以是數(shù)，也可以是整式;(3)注意計算過程中的符號和括號.如圖(1)，將邊長為a

的大正方形剪去一個邊長為b

的小正方形，則剩余部分面積為多少？將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖(2).此時新圖形的面積為多少？(1)的剩余面積：a2-b2(2)的面積：(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2幾何背景分析(1)(2)（1）(2x+1)(2x-1)；

（2）(x+2y)(x-2y).計算：分析:(1)(2)中兩個多項式的乘法都滿足平方差公式的特征，因而可以利用該公式進行計算。解（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2與不用平方差公式計算相比，哪種方法更簡便？(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2運用平方差公式計算：例3運用平方差公式計算：(4a+b)(-b+4a)解：由平方差公式得(4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2=16a2-b2將括號內的式子轉化為平方差的形式。計算：1002×998.解：由平方差公式得

1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=1000000-4=999996.例4因此：1002×998=999996.運用平方差公式可以簡化一些運算。1.運用平方差公式計算：（1）(3x+y)(3x-y)；（2）解：(3x+y)(3x-y)=(3x)2-y2=9x2-y2[教材P127練習第1題]（3）(-1+5x)(-1-5x)；（4）(-4a-b)(4a-b).解：(-1+5x)(-1-5x)=(-1)2-(5x)2

=1-25x2

(-4a-b)(4a-b).=(-b-4a)(-b+4a)

=(-b)2–(4a)2=b2–16a2（1）202×198；（2）49.8×50.2.2.計算：解:

202×198=(200+2)(200-2)=40000–4=39996

49.8×50.2=(50-0.2)(50+0.2)=2500-0.04=2499.96[教材P17練習第2題]3.下面各式的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－2；（2）(－2x－1)(2x－1)＝4x2－1．解：（1）不對，(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－4；（2）不對，(－2x－1)(2x－1)＝(-1-2x)(-1+2x)＝1-4x2

.隨堂練習(x+6)(x-6)=_________.1.填空題：(-x+)(-x-)=_________.(-2a2-5b)()=4a4-25b2.x2-36-2a2+5b2.下列式中能用平方差公式計算的有（）

①

②

(3a-bc)(-bc-3a)

③

(3-x+y)(3+x+y)

④

(100+1)(100-1)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個(x-y)(x+y)D完全平方公式湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入

同學們，前面我們學習了多項式乘多項式法則和合并同類項法則，你會計算下列各題嗎？(x+3)2=______________________，(x-3)2=_______________________,(x+3)(x+3)=x2+6x+9(x-3)(x-3)=x2-6x+9這些式子的左邊和右邊有什么規(guī)律?(2m+3n)2=________________________________,(2m-3n)2=______________________________.(2m+3n)(2m+3n)=4m2+12mn+9n2(2m-3n)(2m-3n)=4m2-12mn+9n2探究新知計算:

(x+y)2由多項式與多項式相乘的法則可得(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+yx+y2=x2+2xy+y2得到完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2即多項式x+y的平方等于x與y的平方加上x與y的積的2倍(x+y)2=

x2+2xy+y2若將完全平方公式1中的y用-y代替，則可得(x-y)2=x2+2x·(-y)

+(-y)2=x2-2xy+y2得到完全平方公式2：(x-y)2=x2-2xy+y2即多項式x-y的平方等于x與y的平方減去x與y的積的2倍(x+y)2=x2+2xy+y2設a,b都是正數(shù)，將完全平方公式1、2中的x用a代入，y用b代入可得(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2完全平方公式兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.

公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減。

(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b24.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.1.積為二次三項式.2.首項、末項為兩數(shù)的平方和.3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與乘式中間的符號相同.如圖，把一個邊長為a＋b

的正方形分割成4部分，觀察圖形的面積你能發(fā)現(xiàn)什么？(a+b)2

a2+ab+ab+b2分割前的面積分割后的面積abb2a2ab(a+b)2=a2+2ab+b2幾何背景分析運用完全平方公式計算(1)解:將完全平方公式1中的x用a代入，y用代入,可得（2）(3m+n)2;

(3m+n)2=(3m)2+2·3m·n+n2=9m2+6mn+n2解:將完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入,可得（3）(2x-3y)2

(2x-3y)2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=4x2–12xy+9y2解:將完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入,可得填表(2a+b)2(5a-4b)22ab4a2+4ab+b25a4b25a2-40ab+16b2請你閱讀課本“說一說”至““例5”的內容。思考:當?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時，完全平方的結果有什么關系?1.算一算(1)(a-b)2=_________；(b-a)2=_________(2)(a+b)2=_________；(-a-b)2=_________比較每一組算式中的兩個等式,等號左邊的底數(shù)有什么關系?結果有什么關系?2.比一比等號左邊的底數(shù)互為相反數(shù)，右邊的結果相等。a2-2ab+b2b2-2ab+a2a2+2ab+b2a2+2ab+b2怎樣計算解法一：解法二：計算(1)1042(2)1982解：由于1042=(100+4)2運用完全平方公式1得1042=(100+4)2=1002+2×100×4+42=10000+800+16=10816解：由于1982=(200-2)2運用完全平方公式2得1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40000-800+4=392041.運用完全平方公式計算：(1)(2x+3)2(2)解：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9[教材P19練習第1題](3)(5x-2y)2(4)(-4a-3b)2解：(5x-2y)2=(5x)2-2·5x·

2y+(2y)2=25x2-20xy+4y2(-4a-3b)2=(-4a)2-2·(-4a)·3b+(3b)2=16a2+24ab+9b22.計算：[教材P19練習第2題](1)1032(2)29721032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10000+600+9=10609解：2972=(300-3)2=3002-2×300×3+32=90000-1800+9=882093.試利用右圖解釋(a-b)2=a2-2ab+b2[教材P19練習第3題]abbab2由圖可知把一個邊長為a

的正方形分割成4部分則(a-b)2為圖中黃色部分的面積黃色部分的面積=總面積-紅色部分的面積-藍色部分的面積可得:(a-b)2=a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+2b2-b2=a2-2ab+b2所以(a-b)2=a2-2ab+b2解：隨堂練習1.下面各式的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？（1）(

x＋2

)

2＝

x2＋4；（2）(－a－b

)2＝a2－2ab＋b2

.解：（1）不對，應為(

x＋2

)

2＝

x2＋4x+4；（2）不對，應為(－a－b

)2＝(a+b)2=a2＋2ab＋b2

.2．運用完全平方公式計算：（1）(x＋4)2；（2）(2a－3)2；（3）(5m-)2解：（1）(x＋4)2

=

x2+8x+16（2）(2a－3)2

=

(2a)2-2·2a·3+32=4a2-12a+9（3）(5m-)2=(5m)2-2·5m·+()2=25m2-5m+3.填空題：(x+3y)2=_____________;x2+6xy+9y2________=y2–y+;(y

–)2

(______)2=9a2-______+16b2;3a-4b24abx2+10x+____=(x+_____)2;255(-x-y)_______=x2+2xy+y2.(-x-y)4.下列各式中哪些可以運用完全平方公式計算（）

A.(a+b)(a+c)B.(x+y)(－y+x)C.(ab－3x)(－3x+ab)D.(－m－n)(m-n)C5.計算：(x

–2y)2

（2）(2xy

+x)2

（1）解：原式=(x)2-2(x)(2y)+(2y)2=x2-2xy+4y2解：原式=(2xy)2+2(2xy)(x)+(x)2=4x2y2+x2y+x2利用乘法公式進行計算和推理湘教版·七年級數(shù)學下冊①復習導入完全平方公式(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減.(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式

注意：

公式中的

a與b既可以是數(shù)，又可以是單項式和

多項式.探究新知運用乘法公式計算：(x+1)(x2+1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x-1)利用多項式的乘法的交換律和結合律以及平方差公式，可得=[(x+1)(x-1)](x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1運用乘法公式計算：(1)(a+b+c)2解:將完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入,可得(a+b+c)2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2將(a+b)看作一個整體提示：遇到多項式的乘法時，我們要先觀察式子的特征，看能否運用乘法公式，以達到簡化運算的目的.(2)(a-b+c)(a+b-c)解:利用平方差公式，可得(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2添括號時注意符號的變化。將(b-c)看作一個整體運用乘法公式注意事項：1.要根據具體情況靈活運用乘法公式、冪的運算性質(正用與逆用)。2.式子變形添括號時注意符號的變化。運用乘法公式計算：(1)(a+b)2+(a-b)2(a+b)2+(a-b)2解：=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2a2+2b2(a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab(2)(a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab還有其他方法嗎？運用乘法公式計算：(x+y)3(x+y)3解：=(x+y)

(x+y)2=(x+y)

(x2+2xy+y2)=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3=x3+3x2y+3xy2+y3先填空：(1)152=100×1×______+25(2)252=100×2×______+25(3)352=100×______×______+______由此猜測：十位數(shù)字是a、各位數(shù)字是5的兩位數(shù)可以表示為__________,它的平方可表示為100×______×______+______23342510a+5a(a+1)251.運用乘法公式計算：（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；解:

(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16（2）(x+1)2(x-1)2；解:

(x+1)2(x-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x2-1)2

=x4-2x2+1[教材P21練習第1題]解:(a-b-c)2=[a-(b+c)]2=a2-2a(b+c)+(b+c)2=a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc.(3)(a-b-c)2（4）(x+2y-1)(x+2y+1)；解：(x+2y-1)(x+2y+1)=(x+2y)2-1=x2+4xy+4y2-1（5）(2x+y-1)(2x-y+1)；解：[2x+(y-1)][2x-(y-1)]=(2x)2-(y-1)2

=4x2-(y2-2y+1)=4x2-y2+2y-1[教材P22練習第2題]2.運用乘法公式計算：(3x-2)2-(2x+5)2

解：(3x-2)2-(2x+5)2

=[(3x-2)+(2x+5)][(3x-2)-(2x+5)]

=(5x+3)(x-7)

=5x2-32x-21

3.若n是整數(shù)，則(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，試說明理由