第七章 抽樣推斷

第七章抽樣推斷

第一節(jié)抽樣推斷概述第二節(jié)抽樣的組織形式第三節(jié)抽樣誤差第四節(jié)抽樣估計(jì)第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)第七章抽樣推斷一、抽樣推斷的概念及特點(diǎn)

（一）抽樣推斷的概念抽樣推斷是在抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上利用樣本的實(shí)際資料計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)，并運(yùn)用概率估計(jì)方法，推算出總體相應(yīng)數(shù)量特征值的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。抽樣推斷，從其內(nèi)涵來(lái)說(shuō)，包括抽樣調(diào)查和抽樣推斷兩部分。前者著重調(diào)查，后者著重推斷。第一節(jié)抽樣推斷概述第一節(jié)抽樣推斷概述（二）抽樣推斷的特點(diǎn)1．按照隨機(jī)原則，抽選調(diào)查單位，是抽樣推斷的前提。2．運(yùn)用概率估計(jì)法是抽樣推斷的特有估計(jì)方法。3．抽樣推斷的誤差，可以事先計(jì)算并加以控制。第一節(jié)抽樣推斷概述（三）抽樣推斷的作用1.對(duì)有些不可能或不必要進(jìn)行全面調(diào)查，但又需要了解其全面數(shù)量情況的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，則可以運(yùn)用抽樣推斷，實(shí)現(xiàn)調(diào)查的目的。2.抽樣調(diào)查與全面調(diào)查同時(shí)進(jìn)行，可以發(fā)揮互相補(bǔ)充和檢查調(diào)查質(zhì)量的作用。3.抽樣推斷可以用于工業(yè)生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制。4.利用抽樣推斷法還可以對(duì)于某種總體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷其真?zhèn)?，以作出正確的決策。第一節(jié)抽樣推斷概述二、抽樣的幾個(gè)基本概念（一）樣本容量與樣本個(gè)數(shù)1.樣本容量樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個(gè)集合的大小稱為樣本容量，一般用表示，它表明一個(gè)樣本中所包含的單位數(shù)。

2.樣本個(gè)數(shù)樣本個(gè)數(shù)又稱樣本可能數(shù)目，它是指從一個(gè)總體中可能抽取多少個(gè)樣本。第一節(jié)抽樣推斷概述（二）總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量1.總體參數(shù)總體分布的數(shù)量特征就是總體參數(shù)，也是抽樣統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)象。常見的總體參數(shù)有：總體的平均數(shù)指標(biāo)，總體成數(shù)（比重）指標(biāo)，總體分布的方差，總體標(biāo)準(zhǔn)差等等。2.樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)對(duì)應(yīng)的是樣本統(tǒng)計(jì)量。常見的樣本統(tǒng)計(jì)量有：樣本平均數(shù)指標(biāo)，樣本成數(shù)（比重）指標(biāo)，樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差等等。第一節(jié)抽樣推斷概述（三）重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣1.重復(fù)抽樣從總體個(gè)單位中抽取一個(gè)容量為的樣本，每次從總體抽取一個(gè)，連續(xù)抽取個(gè)，每次抽出的一個(gè)單位，將其結(jié)果登記后又放回，重新參加下一次抽選。2.不重復(fù)抽樣從總體個(gè)單位中抽取一個(gè)容量為的樣本，每次從總體抽取一個(gè)，連續(xù)抽取個(gè)，但每次抽出的一個(gè)單位，將其結(jié)果登記后，不再放回參加下一次的抽選。第七章抽樣推斷第二節(jié)抽樣的組織形式一、純隨機(jī)抽樣

（一）純隨機(jī)抽樣的概念純隨機(jī)抽樣也叫簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，是按照隨機(jī)原則直接從總體N個(gè)單位中抽取n個(gè)單位作為樣本，然后對(duì)樣本單位進(jìn)行觀測(cè)，計(jì)算出樣本指標(biāo)，并據(jù)以推算總體相應(yīng)數(shù)量指標(biāo)的抽樣組織形式。是最簡(jiǎn)單，最基本的抽樣組織形式。適用于均勻總體。第二節(jié)抽樣的組織形式（二）純隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)及局限性1.優(yōu)點(diǎn)純隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)有：（1）從理論上最符合隨機(jī)原則（總體中各單位被抽中的可能性完全相等；總體中各可能樣本被抽中的可能性完全相等）。（2）是設(shè)計(jì)其它復(fù)雜抽樣形式的基礎(chǔ)。（3）是衡量其它抽樣形式抽樣效果的比較標(biāo)準(zhǔn)。2.局限性純隨機(jī)抽樣實(shí)際應(yīng)用中的局限性有：（1）純隨機(jī)抽樣要求對(duì)全部單位進(jìn)行編碼，在實(shí)踐中當(dāng)N很大時(shí)，這是很難辦到的。（2）不能充分利用總體有關(guān)信息，抽樣誤差較大。（3）只適用于總體各單位分布比較均勻的情況。第二節(jié)抽樣的組織形式（三）純隨機(jī)抽樣抽取樣本單位的方法有四種方法：（1）抽簽法；（2）滾球法；（3）計(jì)算機(jī)模擬法；（4）隨機(jī)數(shù)表法（目前廣泛應(yīng)用)第二節(jié)抽樣的組織形式二、類型抽樣（一）類型抽樣的概念類型抽樣是先將全及總體中的所有單位按某一主要標(biāo)志分組，然后在各組中采用純隨機(jī)抽樣或機(jī)械抽樣的方式，抽取一定數(shù)目的調(diào)查單位構(gòu)成所需的樣本。又叫分層抽樣或分類抽樣。第二節(jié)抽樣的組織形式（二）類型抽樣的特點(diǎn)1.把統(tǒng)計(jì)分組和貫徹隨機(jī)原則結(jié)合起來(lái)。先對(duì)總體按某一標(biāo)志分類（分層），然后從各層中按隨機(jī)原則抽選一定數(shù)目單位構(gòu)成樣本。2.能保證分布的均勻性，提高樣本的代表性，誤差較小。3.能同時(shí)推斷總體指標(biāo)和各子總體的指標(biāo)。4.抽樣誤差來(lái)源于每組內(nèi)部。第二節(jié)抽樣的組織形式（三）類型抽樣的優(yōu)點(diǎn)1.可以提高樣本的代表性（樣本單位是從各類型組中抽取的，包含了各種類型、各種水平的單位，因此樣本的代表性要比純隨機(jī)抽樣好）。2.可以減少抽樣平均誤差。第二節(jié)抽樣的組織形式三、等距抽樣（一）等距抽樣的概念等距抽樣又叫機(jī)械抽樣或系統(tǒng)抽樣，是將總體各單位按某一標(biāo)志排列，然后按固定的順序或間隔抽取調(diào)查單位的一種組織形式。（二）等距抽樣的種類按照排序標(biāo)志的不同，可分為按有關(guān)標(biāo)志排序等距抽樣和按無(wú)關(guān)標(biāo)志排序等距抽樣。第二節(jié)抽樣的組織形式四、整群抽樣（一）整群抽樣的概念整群抽樣是先將總體各單位劃分為R群，以群為單位從中隨機(jī)抽取r群，然后對(duì)中選群全部單位進(jìn)行全面調(diào)查，并據(jù)以推算總體相應(yīng)指標(biāo)的抽樣組織形式。（二）整群抽樣的特點(diǎn)1.抽樣組織方便，節(jié)約調(diào)查費(fèi)用。2.調(diào)查單位集中，3.直接抽取的不是總體單位而是群。4.影響抽樣誤差的是群間方差，群內(nèi)方差不影響抽樣誤差。

5.一般不采用重復(fù)抽樣。第二節(jié)抽樣的組織形式五、多階段抽樣和多重抽樣（一）單階段抽樣單階段抽樣是從全及總體中直接抽取最終樣本單位。當(dāng)全及總體范圍較小，調(diào)查單位比較集中時(shí)常采用這種形式。（二）多階段抽樣多階段抽樣是把抽取樣本單位的過程分為兩個(gè)或更多個(gè)階段來(lái)進(jìn)行的抽樣組織形式。（三）多重抽樣多重抽樣也叫多次抽樣，是根據(jù)對(duì)不同調(diào)查目標(biāo)的不同要求，在從總體中已抽取的樣本中進(jìn)行再抽樣的抽樣組織形式。第二節(jié)抽樣的組織形式第三節(jié)抽樣誤差一、抽樣誤差（一）抽樣誤差的概念抽樣誤差是指由于隨機(jī)抽樣的偶然因素使樣本結(jié)構(gòu)對(duì)總體結(jié)構(gòu)的代表性存在差別，而引起的抽樣指標(biāo)和全及指標(biāo)之間的絕對(duì)離差。抽樣誤差是抽樣所特有的誤差。凡進(jìn)行抽樣就一定會(huì)產(chǎn)生抽樣誤差，這種誤差雖然是不可避免的，但可以控制，所以又稱為可控制誤差。第三節(jié)抽樣誤差（二）影響抽樣誤差大小的因素1.總體單位標(biāo)志值的差異程度。2.樣本單位數(shù)的多少。3.抽樣方法。4.抽樣調(diào)查的組織形式。第三節(jié)抽樣誤差二、抽樣平均誤差（一）抽樣平均誤差的概念抽樣平均誤差是所有抽樣平均數(shù)(或抽樣成數(shù))與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差。反映了抽樣平均數(shù)(或抽樣成數(shù))與總體平均數(shù)(或總體成數(shù))的平均誤差程度。第三節(jié)抽樣誤差（二）抽樣平均誤差的計(jì)算公式當(dāng)總體為N，樣本容量為時(shí)，抽樣平均誤差公式為：1.平均數(shù)的抽樣平均誤差的計(jì)算公式（1）重復(fù)抽樣的情況下（2）不重復(fù)抽樣的情況下第三節(jié)抽樣誤差2.成數(shù)的抽樣平均誤差的計(jì)算公式（1）重復(fù)抽樣的情況下（2）不重復(fù)抽樣的情況下第三節(jié)抽樣誤差三、各種組織形式下的抽樣平均誤差計(jì)算公式（一）類型抽樣（分層抽樣）抽樣平均誤差不僅取決于樣本容量，還取決于各類型組組內(nèi)方差的平均數(shù)。1.重復(fù)抽樣的情況下

2.不重復(fù)抽樣的情況下

第三節(jié)抽樣誤差

（二）等距抽樣（機(jī)械抽樣）等距抽樣的抽樣平均誤差不僅取決于全及總體的標(biāo)志變動(dòng)度，還取決于各個(gè)抽樣間隔的標(biāo)志變動(dòng)度。隨機(jī)性很大，所以實(shí)際中通常采用純隨機(jī)抽樣公式（重復(fù)抽樣或不重復(fù)抽樣）計(jì)算抽樣平均誤差。（三）整群抽樣整群抽樣一般采用不重復(fù)抽樣的方法。1.平均數(shù)的抽樣平均誤差計(jì)算公式第三節(jié)抽樣誤差2.成數(shù)的抽樣平均誤差計(jì)算公式第三節(jié)抽樣誤差四、抽樣極限誤差抽樣調(diào)查，一定會(huì)要求有一個(gè)允許誤差的范圍。這一允許誤差的范圍，就稱作抽樣極限誤差，又稱抽樣誤差范圍。抽樣結(jié)果的抽樣指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的離差，可能是正也可能是負(fù)。因此允許誤差的范圍采取絕對(duì)值形式，用△表示，即：第三節(jié)抽樣誤差上述兩個(gè)不等式就要轉(zhuǎn)變?yōu)椋簶O限誤差△若用抽樣平均誤差來(lái)衡量，即，表示抽樣極限誤差為抽樣平均誤差的倍。那么亦可變換為：上式表示抽樣極限誤差與抽樣平均誤差間的數(shù)量關(guān)系。由于值與樣本估計(jì)值落入允許誤差范圍的概率有關(guān)，故稱為概率度。第七章抽樣推斷

第四節(jié)抽樣估計(jì)一、抽樣估計(jì)的特點(diǎn)（一）邏輯上運(yùn)用歸納推理而不是運(yùn)用演繹推理。（二）在方法上運(yùn)用不確定的概率估計(jì)法而不是運(yùn)用確定的數(shù)學(xué)分析法。（三）估計(jì)的結(jié)論存在一定的抽樣誤差。二、抽樣估計(jì)的理論基礎(chǔ)抽樣估計(jì)是建立在概率論的大數(shù)法則基礎(chǔ)上，大數(shù)法則的一系列定理為抽樣估計(jì)提供了數(shù)學(xué)依據(jù)。第四節(jié)抽樣估計(jì)三、抽樣估計(jì)方法

（一）點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是一種以點(diǎn)代面的估計(jì)方法。其特點(diǎn)是根據(jù)總體指標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式設(shè)計(jì)樣本指標(biāo)(統(tǒng)計(jì)量)作為總體參數(shù)的估計(jì)量，并且以樣本指標(biāo)的實(shí)際數(shù)值直接作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值。參數(shù)點(diǎn)估計(jì)有：1.樣本均值估計(jì)總體均值2.樣本成數(shù)估計(jì)總體成數(shù)3.樣本方差估計(jì)總體方差第四節(jié)抽樣估計(jì)衡量一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量是否是總體參數(shù)的優(yōu)良估計(jì)，從總體上評(píng)價(jià)，有三個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)：1．無(wú)偏性無(wú)偏性是指用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)時(shí)，要求樣本指標(biāo)的平均數(shù)等于被估計(jì)總體指標(biāo)的平均數(shù)。

2．有效性有效性是指用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)時(shí)，要求樣本指標(biāo)的方差最小。3．一致性一致性是指用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)，當(dāng)樣本容量增加時(shí)，樣本指標(biāo)越來(lái)越接近總體指標(biāo)，則稱樣本指標(biāo)為總體指標(biāo)的一致估計(jì)量。第四節(jié)抽樣估計(jì)（二）區(qū)間估計(jì)法1.概念所謂區(qū)間估計(jì)，就是估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。2.區(qū)間估計(jì)的類型（1）平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)第一種情況：正態(tài)總體且方差已知，或非正態(tài)總體、方差未知、大樣本情況下,總體均值的區(qū)間估計(jì)。在此情況下，樣本均值的抽樣分布呈正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為。則稱為總體均值在置信水平下的置信區(qū)間。第四節(jié)抽樣估計(jì)第二種情況：正態(tài)總體、方差未知，小樣本情況下，總體均值的區(qū)間估計(jì)。如果總體服從正態(tài)分布,無(wú)論樣本容量大小,樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布。只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本修正方差代替，在小樣本情況下，應(yīng)用分布來(lái)建立總體均值的置信區(qū)間。第四節(jié)抽樣估計(jì)（2）成數(shù)的區(qū)間估計(jì)在大樣本（一般經(jīng)驗(yàn)規(guī)則：和）條件下，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。在這種情況下，數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)證明如下結(jié)論：置信水平為的置信區(qū)間為：（重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）第四節(jié)抽樣估計(jì)四、樣本容量的確定樣本容量是指一個(gè)樣本中包含單位數(shù)的個(gè)數(shù)。（一）樣本容量的意義樣本容量取得比較大，收集的信息就比較多，從而估計(jì)精度比較高，但進(jìn)行觀測(cè)所投入的費(fèi)用、人力及時(shí)間就比較多；樣本容量取得比較小，則投入的費(fèi)用、人力及時(shí)間就比較少，但收集的信息也比較少，從而估計(jì)精度比較低。這說(shuō)明精度和費(fèi)用對(duì)樣本容量的影響是矛盾的，不存在既使精度最高又使費(fèi)用最省的樣本容量。一個(gè)常用的準(zhǔn)則是在使精度得到保證的前提下尋求使費(fèi)用最省的樣本容量。第四節(jié)抽樣估計(jì)（二）必要樣本容量的影響因素1.總體方差的大小?？傮w方差越大，為保證一定的準(zhǔn)確度，需要抽取更多的樣本；反之，總體方差越小，可以抽取較少的樣本。2.允許誤差范圍的大小。允許誤差范圍越小，需要抽取更多的樣本；反之，允許誤差范圍越大，可以抽取較少的樣本。3.概率保證程度。概率保證程度越高，需要抽取更多的樣本；反之，概率保證程度越低，可以抽取較少的樣本。4.抽樣方法。在同樣的準(zhǔn)確度要求下，重復(fù)抽樣的抽樣單位數(shù)多于不重復(fù)抽樣。5.抽樣的組織方式。第四節(jié)抽樣估計(jì)（三）估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣條件下：在簡(jiǎn)單隨機(jī)不重復(fù)抽樣條件下，或通常未知。一般按以下方法確定其估計(jì)值：①過去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；②試驗(yàn)調(diào)查樣本的。第四節(jié)抽樣估計(jì)（四）估計(jì)成數(shù)時(shí)樣本大小的確定1.在簡(jiǎn)單隨機(jī)重復(fù)抽樣條件下，樣本容量計(jì)算公式為：（重復(fù)抽樣條件下）

2.在簡(jiǎn)單隨機(jī)不重復(fù)抽樣條件下，樣本容量的計(jì)算公式為：（不重復(fù)抽樣條件下）第七章抽樣推斷第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)一般問題（一）假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想（二）假設(shè)檢驗(yàn)的步驟1.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。

2.選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并確定其分布形式。

3.選擇顯著性水平α，確定臨界值。

4.做出結(jié)論。（三）假設(shè)檢驗(yàn)的小概率原理所謂小概率原理，是指發(fā)生概率很小的隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的。根據(jù)這一原理，可以做出是否接受原假設(shè)的決定。第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)二、總體均值、比例的假設(shè)檢驗(yàn)（一）總體方差已知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X～N（μ，σ2），總體方差σ2

為已知，（x1,x2,…,xn）為總體的一個(gè)樣本，樣本平均數(shù)為。現(xiàn)在的問題是對(duì)總體均值μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。H0:μ＝μ0

（或μ≤μ0

、μ≥μ0

）。根據(jù)抽樣分布定理，樣本平均數(shù)服從N（μ，σ2/n），所以，如果H0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U及其分布為：第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)

利用服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量U進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)稱為U檢驗(yàn)法。根據(jù)已知的總體方差、樣本容量n和樣本平均數(shù)，計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U的值。對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平，查正態(tài)分布表可得臨界值，將所計(jì)算的U值與臨界值比較，便可做出檢驗(yàn)結(jié)論。第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)（二）總體方差未知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X～N（μ，），但總體方差未知，此時(shí)對(duì)總體均值的檢驗(yàn)不能用上述U檢驗(yàn)法，因?yàn)榇藭r(shí)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U中包含了未知參數(shù)。為了得到一個(gè)不含未知參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，很自然會(huì)用總體方差的無(wú)偏估計(jì)量–––樣本方差S2

來(lái)代替，于是得到T統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)上節(jié)內(nèi)容已知道，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T及其分布為：

T第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)利用服從t分布的統(tǒng)計(jì)量去檢驗(yàn)總體均值的方法稱為T檢驗(yàn)法。其具體做法是：根據(jù)題意提出假設(shè)（與U檢驗(yàn)法中的假設(shè)形式相同）；構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T并根據(jù)樣本信息計(jì)算其具體值；對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平α，由t分布表查得臨界值；將所計(jì)算的t值與臨界值比較，做出檢驗(yàn)結(jié)論。雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若>tα/2，則拒絕H0，接受H1。左側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若T<–tα，則拒絕H0，接受H1。右側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若T>tα，則拒絕H0，接受H1。第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)（三）總體比例的假設(shè)檢驗(yàn)由比例的抽樣分布定理可知，樣本比例服從二項(xiàng)