2024-2025學年北京市朝陽區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年北京市朝陽區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共24分，每題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（3分）紋樣作為中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是古人智慧與藝術的結(jié)晶，反映出不同時期的風俗習慣，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A．如意紋 B．冰裂紋 C．盤長紋 D．風車紋2．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，∠P＝70°，則∠C為（）A．55° B．70° C．110° D．140°3．（3分）將拋物線y＝x2向右平移1個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）24．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中的這兩個格點三角形的旋轉(zhuǎn)中心是（）A．點A B．點B C．點C D．點D5．（3分）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列說法正確的是（）A．兩枚硬幣都正面向上的可能性最大 B．兩枚硬幣都反面向上的可能性最大 C．一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的可能性最大 D．以上三種情況的可能性相同6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列各式成立的是（）A．a(chǎn)＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＜07．（3分）據(jù)國家統(tǒng)計局公布的《中華人民共和國2023年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》，我國原油產(chǎn)量從2021年到2023年增長了5.1%，設這兩年的平均增長率為x（）A．（1+x）2＝105.1% B．（1+x）2＝5.1% C．（1﹣x）2＝5.1% D．1+x2＝105.1%8．（3分）已知關于x的方程x2+bx+c＝0（bc≠0）有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（x1＜x2），關于x的方程bx+c＝0的根為x3，給出下面三個結(jié)論：①x1＜x2＜x3；②x1＜x3＜x2；③x3＜x1＜x2．上述結(jié)論中，所有可能正確的結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．①③ D．①②③二、填空題（共24分，每題3分）9．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點P（2，﹣3）關于原點O對稱的點的坐標是．10．（3分）已知關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一個根為x＝0，則a＝．11．（3分）請舉一個反例說明命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯誤的：．12．（3分）若代數(shù)式x2+10x+a可以配方為（x+b）2，則a+b＝．13．（3分）某射擊運動員在相同的條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)20401002004001000射中9環(huán)以上次數(shù)153378158321801根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次“射中9環(huán)以上”的概率是．14．（3分）如圖，從一張邊長為2cm的正方形紙片上剪出一個扇形，將剪下來的扇形圍成一個圓錐cm．15．（3分）埃拉托色尼是一位古希臘的杰出數(shù)學家，他首創(chuàng)了“地理學”這個詞，被尊稱為“地理學之父”．他的名著《對地球大小的修正》中提出了一種測量地球周長的設想，塞伊尼（點A）和亞歷山大（點B），兩地相距約800km，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，同一時刻在亞歷山大城豎起一根垂直于地面的木棍，利用影子測出太陽光線與木棍所在直線的夾角α約為7.2°km．16．（3分）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長分別為6和8，這兩條弦的中點的距離x的取值范圍是．三、解答題（共52分，第17-22題，每題5分，第23-24題，每題7分，第25題8分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣1＝0．18．（5分）已知關于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個根都是正整數(shù)，求m的最小值．19．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象和對稱軸如圖所示．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）若方程ax2+bx+c＝k總有兩個正實數(shù)根，直接寫出k的取值范圍．20．（5分）北京天壇，原名“天地壇”，是中國現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群．天壇內(nèi)壇由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成（圖1）最下層圓形石壇的直徑，先畫出直徑再直接測量不太可能，研討后他們自制了一個直角曲尺，制定了測算方案并畫出了示意圖．直角曲尺的短邊AC長為0.5m，在測量時，用直角曲尺的長邊AB貼緊圓形石壇的邊緣，此時長邊AB與圓形石壇的接觸點記為點D，量得AD的長為5.2m請根據(jù)以上信息計算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑．21．（5分）甲、乙兩人做游戲，同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)則如下：甲勝兩枚骰子點數(shù)相同；乙勝兩枚骰子的點數(shù)之和為m．是否存在m的值使得甲、乙兩人獲勝的概率相同？請用畫樹狀圖或列表的方法說明你的結(jié)論．22．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，C為OB邊的中點，⊙O經(jīng)過點C（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若AB＝2，求AD的長．23．（7分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx與x軸有兩個交點，其中一個交點的坐標為（﹣b，0）．（1）求a的值和拋物線的對稱軸（用含b的式子表示）；（2）若點A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在該拋物線上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范圍．24．（7分）在正方形ABCD中，E為射線AB上一點（不與點A，B重合），將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，作FG⊥CF交射線AB于點G．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，①依題意補全圖形，并證明∠ADE＝∠FEG；②用等式表示線段AE和EG之間的數(shù)量關系，并證明；（2）已知AB＝1，△EFG能否是等腰三角形？若能，直接寫出使△EFG是等腰三角形的AE的長度，說明理由．25．（8分）對于平面直角坐標系xOy中的兩點M（x1，y1）和N（x2，y2）給出如下定義：如果|x1﹣x2|≥1，或者|y1﹣y2|≥1，則稱點M到點N的距離很遠．已知點A（3，0），B（3，3）．（1）在點，D（1，2），中到點A的距離很遠的是點；（2）若拋物線y＝ax2上的任意一點到A，B兩點的距離都很遠，則a的取值范圍是；（3）點P在△OAB的內(nèi)部或邊上，點Q在直線上，若點P到O，A，B，直接寫出點P運動區(qū)域的面積的最小值及此時的點Q的坐標．

2024-2025學年北京市朝陽區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析題號12345678答案DADCCBBC一、選擇題（共24分，每題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（3分）紋樣作為中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是古人智慧與藝術的結(jié)晶，反映出不同時期的風俗習慣，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A．如意紋 B．冰裂紋 C．盤長紋 D．風車紋【解答】解：A是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；B既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；C是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；D不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形；故選：D．2．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，∠P＝70°，則∠C為（）A．55° B．70° C．110° D．140°【解答】解：連接OA、OB，∵直線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∵C是⊙O上一點，∴∠ACB＝55°．故選：A．3．（3分）將拋物線y＝x2向右平移1個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝x2向右平移1個單位，得到的拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2．故選：D．4．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中的這兩個格點三角形的旋轉(zhuǎn)中心是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【解答】解：如圖，兩個格點三角形分別為△ABP和△QRA、CQ、CB，設正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1，由勾股定理得CA＝CP＝CQ＝＝，CB＝CR＝＝，∵△ABP和△QRA的每一組對應頂點到點C的距離都相等，∴兩個格點△ABP和△QRA的旋轉(zhuǎn)中心是點C，故選：C．5．（3分）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列說法正確的是（）A．兩枚硬幣都正面向上的可能性最大 B．兩枚硬幣都反面向上的可能性最大 C．一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的可能性最大 D．以上三種情況的可能性相同【解答】解：畫樹狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩正面朝上的占1種，一個正面朝上，所以兩正面朝上的概率＝，兩反面朝上的概率＝，另一個背面朝上的概率＝．故選：C．6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列各式成立的是（）A．a(chǎn)＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＜0【解答】解：由函數(shù)圖象，可得函數(shù)開口向上，則a＞0，對稱軸在y軸右側(cè)，則b＜0，圖象與y軸交點在y軸正半軸，則c＞8，圖象與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞3，故選：B．7．（3分）據(jù)國家統(tǒng)計局公布的《中華人民共和國2023年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》，我國原油產(chǎn)量從2021年到2023年增長了5.1%，設這兩年的平均增長率為x（）A．（1+x）2＝105.1% B．（1+x）2＝5.1% C．（1﹣x）2＝5.1% D．1+x2＝105.1%【解答】解：根據(jù)題意得：（1+x）2＝4.1%．故選：B．8．（3分）已知關于x的方程x2+bx+c＝0（bc≠0）有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（x1＜x2），關于x的方程bx+c＝0的根為x3，給出下面三個結(jié)論：①x1＜x2＜x3；②x1＜x3＜x2；③x3＜x1＜x2．上述結(jié)論中，所有可能正確的結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．①③ D．①②③【解答】解：因為關于x的方程x2+bx+c＝0（bc≠2）有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，所以x3+x2＝﹣b，x1x5＝c，則．又因為關于x的方程bx+c＝0的根為x5，所以，則，所以＝，，則當x1＜x7＜0時，x3＞x2，x3＞x2，所以x6＜x2＜x3；當8＜x1＜x2時，x5＜x1，x3＜x4，所以x3＜x1＜x5；當x1＜0＜x6，且|x1|＜|x2|時，x7＜x1，x3＜x4，所以x3＜x1＜x7；當x1＜0＜x8，且|x1|＞|x2|時，x4＞x1，x3＞x5，所以x1＜x2＜x6．故選：C．二、填空題（共24分，每題3分）9．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點P（2，﹣3）關于原點O對稱的點的坐標是（﹣2，3）．【解答】解：點P（2，﹣3）關于原點O對稱的點的坐標是：（﹣6．故答案為：（﹣2，3）．10．（3分）已知關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一個根為x＝0，則a＝﹣1．【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x3﹣2x+a2﹣2＝0得a2﹣3＝0，解得a＝±1，∵a﹣6≠0，∴a＝﹣1．故答案為﹣3．11．（3分）請舉一個反例說明命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯誤的：矩形．【解答】解：矩形的各角都是90°，即各角相等，則命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯誤的，故答案為：矩形．12．（3分）若代數(shù)式x2+10x+a可以配方為（x+b）2，則a+b＝30．【解答】解：x2+10x+a＝x2+10x+25﹣25+a＝（x+8）2﹣25+a，由題意得：﹣25+a＝0，b＝8，∴a＝25，b＝5，∴a+b＝25+5＝30，故答案為：30．13．（3分）某射擊運動員在相同的條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)20401002004001000射中9環(huán)以上次數(shù)153378158321801根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次“射中9環(huán)以上”的概率是0.8．【解答】解：15÷20＝0.75，33÷40＝0.825，78÷100＝7.78，158÷200＝0.79，321÷400＝0.8025，801÷1000＝4.801，∴估計這名運動員射擊一次“射中9環(huán)以上”的概率是0.80．故答案為：8.80．14．（3分）如圖，從一張邊長為2cm的正方形紙片上剪出一個扇形，將剪下來的扇形圍成一個圓錐cm．【解答】解：∵弧BD的長為＝π，設圓錐的底面半徑為rcm，則2πr＝π，∴r＝，∴圓錐的底面圓的半徑為cm．故答案為：．15．（3分）埃拉托色尼是一位古希臘的杰出數(shù)學家，他首創(chuàng)了“地理學”這個詞，被尊稱為“地理學之父”．他的名著《對地球大小的修正》中提出了一種測量地球周長的設想，塞伊尼（點A）和亞歷山大（點B），兩地相距約800km，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，同一時刻在亞歷山大城豎起一根垂直于地面的木棍，利用影子測出太陽光線與木棍所在直線的夾角α約為7.2°40000km．【解答】解：由題意得：OA∥BC，∠CBD＝7.2°，，∴∠AOB＝4.2°，設地球的半徑為rkm，∴＝800，解得：πr＝20000，∴地球的周長為2πr＝40000km，故答案為：40000．16．（3分）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長分別為6和8，這兩條弦的中點的距離x的取值范圍是1≤x≤7．【解答】解：過點O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F、OD，AB＝6，則AE＝BE＝AB＝3CD＝4，在Rt△OBE中，OE＝＝，在Rt△ODF中，OF＝＝，∴點E在以O點為圓心，4為半徑的圓上，5為半徑的圓上，∵兩圓上兩點之間的最小距離為4﹣3＝4；兩圓上兩點之間的最大距離為4+3＝3，∴x的取值范圍為1≤x≤7．故答案為：8≤x≤7．三、解答題（共52分，第17-22題，每題5分，第23-24題，每題7分，第25題8分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣1＝0．【解答】解：方程變形得：x2+2x＝5，配方得：x2+2x+7＝2，即（x+1）5＝2，開方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．18．（5分）已知關于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個根都是正整數(shù)，求m的最小值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（﹣m）＝m8﹣4m+4﹣m7+4m＝4＞6，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）∵x＝，∴x1＝，x2＝∵方程的兩個根都是正數(shù)，∴＞0且，解得m＞4，∵方程的兩個根都是正整數(shù)，∴和都是正整數(shù)，∴m的最小值為3．19．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象和對稱軸如圖所示．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）若方程ax2+bx+c＝k總有兩個正實數(shù)根，直接寫出k的取值范圍．【解答】解：（1）由圖象可得，y＝ax2+bx+a的圖象過點（﹣1，4），3），∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x5+2x+3；（3）由（1）知，二次函數(shù)解析式為y＝﹣x3+2x+3，則y＝﹣（x﹣7）2+4，∴該拋物線的頂點坐標是（8，4）．∵ax2+cx+c＝k有兩個不相等的正實數(shù)根，∴y＝ax5+bx+c與y＝k的函數(shù)圖象有兩個交點，且兩個交點的橫坐標大于0，∴3＜k＜2．20．（5分）北京天壇，原名“天地壇”，是中國現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群．天壇內(nèi)壇由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成（圖1）最下層圓形石壇的直徑，先畫出直徑再直接測量不太可能，研討后他們自制了一個直角曲尺，制定了測算方案并畫出了示意圖．直角曲尺的短邊AC長為0.5m，在測量時，用直角曲尺的長邊AB貼緊圓形石壇的邊緣，此時長邊AB與圓形石壇的接觸點記為點D，量得AD的長為5.2m請根據(jù)以上信息計算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑．【解答】解：如圖，連接OD．設OD＝OC＝rm．∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，∵CT⊥OD，AC⊥AB，∴∠CTD＝∠CAD＝∠ADT＝90°，∴四邊形ADTC是矩形，∴CT＝AD＝5.2m，DT＝AC＝6.5m，在Rt△OCT中，OC2＝OT3+CT2，∴r2＝（r﹣6.5）2+7.22，解得r＝27.29．所以圓形石壇的直徑＝27.29×8＝54.58m．21．（5分）甲、乙兩人做游戲，同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)則如下：甲勝兩枚骰子點數(shù)相同；乙勝兩枚骰子的點數(shù)之和為m．是否存在m的值使得甲、乙兩人獲勝的概率相同？請用畫樹狀圖或列表的方法說明你的結(jié)論．【解答】解：存在．列表得：122455125453728455787455784453788105638910118787101112∵共有36種等可能的結(jié)果，點數(shù)相同的結(jié)果有6種，∴甲勝的概率為，∵兩枚骰子的點數(shù)之和為7的結(jié)果為6種，∴當m＝7時，乙勝的概率為，即當m＝7時，甲、乙兩人獲勝的概率相同．22．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，C為OB邊的中點，⊙O經(jīng)過點C（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若AB＝2，求AD的長．【解答】（1）證明：在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∴OA＝OB，∵C為OB邊的中點，∴OC＝，∴OA＝OC，∴OA是⊙O的半徑，∴AB與⊙O相切；（2）解：連接OD，∵BD與⊙O相切于點D，AB與⊙O相切，∴AB＝BD，在△ABO與△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO＝30°，∴∠ABD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB＝2．23．（7分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx與x軸有兩個交點，其中一個交點的坐標為（﹣b，0）．（1）求a的值和拋物線的對稱軸（用含b的式子表示）；（2）若點A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在該拋物線上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范圍．【解答】解：（1）將（﹣b，0）代入y＝ax2+bx，得ab4﹣b2＝0．∵a≠4，∴b≠0．∴a＝1．∴拋物線的解析式為y＝x2+bx，∴拋物線的對稱軸為直線．（2）∵點A（2，y3），B（b，y2），C（b+1，y8）在該拋物線上，且y3＜y1＜y7，∴點C到對稱軸的距離小于點A到對稱軸的距離小于點B到對稱軸的距離，即|b+1+|＜|3+|，解得．∴b的取值范圍為．24．（7分）在正方形ABCD中，E為射線AB上一點（不與點A，B重合），將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，作FG⊥CF交射線AB于點G．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，①依題意補全圖形，并證明∠ADE＝∠FEG；②用等式表示線段AE和EG之間的數(shù)量關系，并證明；（2）已知AB＝1，△EFG能否是等腰三角形？若能，直接寫出使△EFG是等腰三角形的AE的長度，說明理由．【解答】解：（1）①如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，∴∠DEF＝90°，∴∠AED+∠FEG＝90°，∴∠ADE＝∠FEG；②如圖2，作CH⊥DE，交AD于H，∴∠DRC＝90°，∴∠DCR+∠RDC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADE+∠CDR＝90°，∴∠DCR＝∠ADE，∴△ADE≌△DCH（ASA），∴CH＝DE，DH＝AE，∵線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∴DE⊥EF，CH＝EF，∴CH∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴∠HEF+∠CFE＝180°，∴∠DEH+∠DEF+∠CFG﹣∠EFG＝180°，∵CF⊥FG，∴∠CFG＝90°，∴∠DEH+90°+90°﹣∠EFG＝180°，∴∠DEH＝∠EFG，由（1）知，∠ADE＝∠FEG，∴△DEH≌△EFG（ASA），∴DH＝EG，∴AE＝EG；（2）如圖8，當點E在A