湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含答案

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若是第四象限角，則點(diǎn)在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.函數(shù)的定義域?yàn)?

)A. B. C. D.3.已知，且，則的值是(

)A. B. C. D.4.函數(shù)的圖像大致為(

)A.

B.C.

D.5.已知函數(shù)若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.6.函數(shù)在上為減函數(shù)的充要條件為(

)A. B. C. D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則(

)A. B. C. D.8.設(shè)，，則等于(

)A. B.1 C.2 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列式子化簡(jiǎn)正確的是(

)A. B.

C. D.10.已知函數(shù)，下列說法中正確的是(

)A.不是周期函數(shù) B.在上是單調(diào)遞增函數(shù)

C.在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn) D.為奇函數(shù)11.記函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在非負(fù)實(shí)數(shù)k，對(duì)任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)則下列結(jié)論正確的是(

)A.所有偶函數(shù)都具有性質(zhì)

B.具有性質(zhì)

C.若，則一定存在正實(shí)數(shù)k，使得具有性質(zhì)

D.已知，若函數(shù)具有性質(zhì)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角為第二象限角，且滿足，則的值為

.13.若冪函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為

.14.已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知化簡(jiǎn)若，且滿足，求的值.16.本小題15分已知函數(shù)求不等式的解集;若不等式對(duì)恒成立，求17.本小題15分新華學(xué)校為更好的繁榮校園文化，展示陽光少年風(fēng)采，舉辦了創(chuàng)意show展演活動(dòng).該活動(dòng)得到了眾多人士的關(guān)注與肯定，并且隨著活動(dòng)的推進(jìn)，也有越來越多的同學(xué)參與其中，已知前3周參與活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)如下表所示：活動(dòng)舉辦第x周123參與活動(dòng)同學(xué)人數(shù)人182433依據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪阒芎髤⑴c活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)人，并求出你選擇模型的解析式：①，②且，③且已知新華學(xué)校現(xiàn)有學(xué)生300名，請(qǐng)你計(jì)算幾周后，全校將有超過一半的學(xué)生參與其中參考數(shù)據(jù)：，18.本小題17分已知函數(shù)，其中且試判斷函數(shù)的奇偶性;當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域;若對(duì)，，，都存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，求正整數(shù)n的值.19.本小題17分對(duì)于定義在區(qū)間的函數(shù)，定義：，，其中，表示函數(shù)在D上的最小值，表示函數(shù)在D上的最大值.若，，試寫出、的表達(dá)式;設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求a的取值范圍;若存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“k階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的k，如果不是，請(qǐng)說明理由.答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．直接利用三角函數(shù)的值的符號(hào)求出結(jié)果．

【解答】解：由于是第四象限角，

所以，，

故點(diǎn)在第三象限．

故選：2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式求解可得函數(shù)的定義域.【解答】

解：由所以函數(shù)的定義域?yàn)椋汗蔬x：3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題.

求出，利用兩角和的正弦公式即可求解.

【解答】

解：因?yàn)?，且?/p>

則，則，

則4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的分布情況即可判斷.

【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，

由，可得，，

故在y軸右邊第一個(gè)零點(diǎn)為

又，排除D

故選5.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和利用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

根據(jù)題意，先求解出的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較自變量的大小，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析得出答案．

【解答】

解：函數(shù)，其定義域?yàn)镽，且，

所以為偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，，，，

，

，

，

即，則，

故選6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，屬于一般題.

利用在上遞減，且在上恒成立即可求解.【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，且是增函數(shù)，

則在上遞減，且在上恒成立，

則，解得7.【答案】A

【解析】【分析】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

由函數(shù)的奇偶性的定義和賦值法，可得結(jié)論.【解答】解：由為奇函數(shù)，可得，

由為偶函數(shù)，可得，

令，可得，即，

令，可得，

令，可得，

令，則，

所以，故A正確，B，C，D無法判斷.

故選：8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用指對(duì)數(shù)互換和冪的運(yùn)算性質(zhì)求得，，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求得，進(jìn)而即可得解.

【解答】

解：由，，得，，

則，，則，，則，

則

故選：9.【答案】CD

【解析】【分析】本題考查逆用兩角和與差的正弦公式、逆用兩角和與差的余弦公式、逆用兩角和與差的正切公式、誘導(dǎo)公式、輔助角公式，屬于中檔題.利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式的逆用可判斷選項(xiàng)A；利用輔助角公式及兩角差的正弦公式的逆用，可判斷選項(xiàng)B；利用誘導(dǎo)公式及二倍角正弦公式可判斷選項(xiàng)C；利用兩角差的正切公式可判斷選項(xiàng)【詳解】

解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?/p>

，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：

，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/p>

，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?/p>

，故選項(xiàng)D正確.故選：10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【解答】

解：，是周期函數(shù)，A錯(cuò)誤;

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，是減函數(shù)，

是增函數(shù)，是減函數(shù)，是增函數(shù)，

是增函數(shù)，B對(duì);由，得，因?yàn)?，所以有或，C對(duì);

，

關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則為奇函數(shù)，D對(duì)，11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)新定義，屬于中檔題.

利用性質(zhì)

可判斷A；利用基本不等式結(jié)合性質(zhì)

可判斷B；根據(jù)函數(shù)

的值域可判斷C；根據(jù)已知條件可得出

可得出

，結(jié)合不等式恒成立可得出a的取值范圍，可判斷【解答】

解：對(duì)于A，設(shè)函數(shù)

是定義在D

上的偶函數(shù)，對(duì)任意的

，

，所以，所有偶函數(shù)都具有性質(zhì)

，A對(duì)；對(duì)于B，對(duì)任意的

，

，當(dāng)

時(shí)，

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，即當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?/p>

，故對(duì)任意的

，

，所以，

具有性質(zhì)，故B正確

；對(duì)于C，因?yàn)?/p>

，且函數(shù)

的值域?yàn)?/p>

，所以，不存在實(shí)數(shù)k

，使得

，C錯(cuò)；對(duì)于D，

，因?yàn)?/p>

，易知

，因?yàn)?/p>

，則

，則

，所以，

，即

，所以，

，要使得

恒成立，則

，又因?yàn)?/p>

，則

，所以，若函數(shù)

具有性質(zhì)

，則

，D對(duì).故答案為：12.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算得解．

【解答】

解：，

兩邊平方可得：，

，則

所以，

又是第二象限角，所以，，則，

所以13.【答案】

【解析】【分析】

本題考查冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求出，得，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解答】

解：因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，

則，解得或2，

當(dāng)時(shí)，，不是偶函數(shù)，舍去，

當(dāng)時(shí)，，是偶函數(shù).

不等式，即，

作出和的圖像，

由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，故解集為

14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查分段函數(shù)的零點(diǎn)，屬于較難題.，分、、及討論即可求解.

【解答】

解：，

當(dāng)時(shí)，，

易知其有3個(gè)零點(diǎn)，分別為，0，2，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，

有兩個(gè)零點(diǎn)，

則無零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，解得

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以，恒成立，

所以，

故滿足題意.

當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，

又在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

所以有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，

有1個(gè)零點(diǎn)，為

又，

所以有1個(gè)零點(diǎn)，

則恰有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意.

綜上所述，或15.【答案】解：；已知

，

即

，則

，又，

所以，解得，所以

.

【解析】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)，由一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值，屬于中檔題.

根據(jù)誘導(dǎo)公式直接化簡(jiǎn)即可；由題意得

，由求得，

，再利用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)代入計(jì)算即可.16.【答案】解：不等式即為，即，

解得，，的解集為

由題意為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，

即，，

，，

，

【解析】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題.

由題得到，即可求解；

根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.17.【答案】解：從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不可能是①，

且函數(shù)增長(zhǎng)的速度越來越快，所以選擇③且，

代入表格中的三個(gè)點(diǎn)可得，解得，

所以，

由可知：，，

令，

整理得，

且，則，

所以8周后，全校將有超過一半的學(xué)生參與其中．

【解析】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．

根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知函數(shù)遞增且增長(zhǎng)速度越來越快，故選擇模型③；代入表格中三個(gè)點(diǎn)即可構(gòu)造方程組求得未知數(shù)，進(jìn)而得到所求模型；

根據(jù)中結(jié)論可得不等式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)分析求解即可．18.【答案】解：因?yàn)榍?，所以其定義域?yàn)镽，

又，所以函數(shù)是偶函數(shù);當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，

所以，函數(shù)的值域?yàn)?/p>

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，

若，則，不符合題意.

，

，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，

的值域?yàn)?/p>

即，，

，，，以，，為邊總能圍成三角形，

即

即，也即

，

又n為正整數(shù)，或

【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

推出，即可求解；

將代入求值域即可；

問題轉(zhuǎn)化為，即可求解.19.【答案】解：在上單調(diào)遞增，

，

與恰好為同一函數(shù)，只須在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，，對(duì)稱軸，

要使在上單調(diào)遞增，即使在上單調(diào)遞減，

舍；

當(dāng)時(shí)，令，，對(duì)稱軸，

要使在上單調(diào)