工程力學(xué) 課件 第二章 平面力系

1、基本的約束類型：1）柔性約束:沿柔性繩索遠離被約束體。2）理想光滑表面約束:沿公法線方向指向被約束體3）鉸鏈約束:不能確定方向(接觸點)時,用一對正交分力表示4）固定端約束:用力偶和一對正交分力來表示5）尖端約束:在接觸點沿公法線方向指向被約束體上節(jié)回顧1）先找二力構(gòu)件(雙鉸、一端鉸接一端點接觸等)。2、受力圖總結(jié)：2）能否應(yīng)用三力平衡匯交原理(圖解法)。3）整體受力分析時,各部分之間相互作用力是內(nèi)力不要畫出來。4）約束和約束反力不能同時存在，受力分析要去除約束。5）最后別忘給力起一個“矢量”的名字。第二章平面力系2.1基本量的計算2.2平面力系簡化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問題1、平面匯交力系:各力作用線匯交于同一點(不含力偶)力系的分類平面力系

空間力系2、平面力偶系:若物體上僅僅有力偶的作用，并且它們都在同一平面內(nèi)。3、平面平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)。

4、平面一般力系:若作用于物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱為平面一般（任意）力系。

-各力作用線共面的力系

(2)力對點之矩；(3)力偶。(1)力在軸上的投影；基本量的計算基本量的計算包括：

共點力的合成用幾何法求匯交力系合力時，應(yīng)注意分力首尾相接，合力是從第一力的箭尾指向最后一力的箭頭。幾何法：用平行四邊形法則進行合成和分解。

FR=F1+F2+…+Fn=

FOa)平行四邊形法則F2F1FRb)力三角形F2FRd)力多邊形F1OF5Oc)匯交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5FR力在軸上的投影

解析法（投影求和法）力F在任一軸x上的投影，等于力的大小乘以力與軸正向夾角的余弦。有：

Fx=Fcos

力的投影是代數(shù)量?；蛘撸毫υ谌我惠S上投影的大小等于力的大小乘以力與軸所夾銳角的余弦，其正負則由從力矢量起點到終點的投影指向與軸是否一致確定。aFx力在任一軸上的投影Fx力在軸上的投影力在軸上的投影力的投影(代數(shù)量)－引垂線。力的分解(矢量)－平行四邊形法則。y

xFO

力在任一軸上的投影大小都不大于力的大小。而分力的大小卻不一定都小于合力。力在任一軸上的投影可求，力沿一軸上的分量不可定。xFOFx分力Fx=？討論：力的投影與分量可見，力F在垂直坐標軸x、y上的投影分量與沿軸分解的分力大小相等。力F在相互不垂直的軸x、y'上的投影分量與沿軸分解的分力大小是不相等的。FxyOxFy

OFyFxFyFxFyFx合力投影定理：合力在任一軸上的投影等于各分力在該軸上之投影的代數(shù)和。

表示合力FR與x軸所夾的銳角，合力的指向由FRx、FRy的符號判定。

ac-bc=ab由合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy合力的投影abcFRF1xF2正交坐標系有:;RxRxFF=RyRyFF=合力:FRxxyFRyFRa例1

求圖示作用在O點之共點力系的合力。FRx=

Fx=-400+250cos45

-200×4/5=-383.2NFRy=

Fy=250cos45

-500+200×3/5=-203.2N解：取坐標如圖。合力在坐標軸上的投影為：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400N

FR合力為：

=433.7N;

=arctan(203.2/383.2)=27.9

在第三象限，如圖所示。22RyRxRFFF+=yxOF2F3F4F1

FR力對點之矩（力矩）力矩定義：1.大?。毫與力臂的乘積2.方向：轉(zhuǎn)動方向(逆時針為正，順時針為負)兩個要素：即

力對點之矩（力矩）合力矩定理：合力對某點之矩等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。合力矩定理：合力對點之矩等于其各分力對該點之矩的代數(shù)和。直接求力矩：MO(F)=F.d=F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb=F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理：OaF求MO(F)FxFy力對點之矩（力矩）總結(jié):(力在軸上投影和力矩)一、意義：都表示對物體的作用效果。二、都是代數(shù)量：正負：表示方向大?。鹤饔眯Ч?力對物體圍繞該點的轉(zhuǎn)動效果力的投影:力對物體在該軸方向上的移動效果力偶（又一基本量）作用在同一平面內(nèi)，大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩個力。1.基本概念力偶使剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應(yīng)度量轉(zhuǎn)動作用效應(yīng)的物理量。單位為N.m或kN.m在平面內(nèi)，M是代數(shù)量，逆時針轉(zhuǎn)動為正。力偶矩力偶的作用平面、轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，可以用一個矢量（力偶矩矢M）來描述。力偶的三要素FF’hoxyM2.平面力偶的等效與合成b)在保持力偶矩不變的情況下，可以任意改變力和力臂的大小。由此即可方便地進行力偶的合成。

平面力偶等效定理同一平面內(nèi)的二個力偶，只要其力偶矩相等，則二力偶等效。a)力偶可以在剛體內(nèi)任意移轉(zhuǎn)。即力偶矩矢M的作用點可以在平面上任意移動，力偶矩矢是自由矢。推論60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m力偶推論：力偶對任一點之矩就等于該力偶矩。注意：力偶在任一軸上的投影為零。MO(F)+MO(F

)=F

AO+F

BO=F

AB=M

F

F

OAB力偶有:F=F

;F//F

請自行證明:Fx+Fy

=0

xF

F

力偶c）平面力偶系的合成若干個力偶組成的力偶系，可以合成為一個合力偶。平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代數(shù)和。

M=

Mi合力偶定理F1h1F2h2h1F1+h1F2h2M=F1h1+F2h2力偶比較：使物體沿力的作用線移動。使物體在其作用平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。力力偶力是矢量（滑移矢）力偶是矢量(自由矢)平面力偶是代數(shù)量共點力系可合成為一個合力。平面力偶系可合成為一個合力偶。合力偶定理:

M=

Mi合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy

第二章平面力系2.1基本量的計算2.2平面力系簡化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問題研究思路：受力分析如何簡化？共點力系可合成為一個力力偶系可合成為一個合力偶力向一點平移力系的簡化平衡條件一般力系xyM2M1問題：如何將力移到同一個作用點上？或者說力如何移到任一點O？OF平面力系平面任意力系實例作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點，但必須同時附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以點到力作用線間的距離。力線平移定理:OFOF'F''hFoM=FhF平面力系簡化平面力系簡化力線平移定理應(yīng)用實例

若作用于物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線匯交于同一點(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM3平面力系簡化平面一般力系，向任一點O簡化，共點力系可合成為一個力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=

Fi或用解析法寫為:FR

x=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FR

y=F1y+F2y+…+Fny=

Fy注意：FR'與簡化中心O點的位置選取無關(guān)。得到一個匯交于O點的共點力系和一個平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO力偶系可合成為一個合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=

MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR

力偶主矩MO

簡化力？平移MO稱為原力系對簡化中心O的主矩，顯然，MO與簡化中心O點的位置有關(guān)。h=M0/FR

FRA

情況向O點簡化的結(jié)果力系簡化的最終結(jié)果分類 主矢FR'

主矩MO（與簡化中心無關(guān)）討論1平面一般力系簡化的最終結(jié)果yxOFR'MOFRh3 FR

0MO=0合力FR=FR

，作用線過O點。2 FR'=0MO

0 一個合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對物體的移動和轉(zhuǎn)動作用效果均為零）。4FR‘

0MO

0一個合力，其大小為FR=FR

，

作用線到O點的距離為h=MO/FR'FR在O點哪一邊，由MO符號決定平面力系簡化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個力；一個力偶；或為平衡力系。例：求圖示力系的合力。FR

x=

Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFR

y=

Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR

=11.1kN；作用線距O點的距離h為：

h=M0/FR

=0.36(m)；

位置由Mo

的正負確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=4kN.m解：力系向O點簡化，有：xO(m)y(m)22242F1=6KNF2=10KNF3=15KNF4=8KNM=12KN.m4FR

hFR'MO主矢

FR

==kN；指向如圖。22yRxRFF￠￠+125設(shè)載荷集度為q(x)，在距O點x

處取微段dx,微段上的力為q(x)dx。討論2同向分布平行力系合成合力FR的作用線到O的距離為：

h=MO/FR'=

/

òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O(shè)點為簡化中心，主矢和主矩為：

FR

=

q(x)dx=

；MO=

xq(x)dx=òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(FR'

0，MO

0；故可合成為一個合力，且

FR=FR'=òl(fā)dxxq0)(FR大小等于分布載荷圖形的面積FR的作用線通過分布載荷圖形的形心。故同向分布平行力系可合成為一個合力，合力的大小等于分布載荷圖形的面積，作用線通過圖形的形心，指向與原力系相同。例求梁上分布載荷的合力。

解：載荷圖形分為三部分，有設(shè)合力FR距O點為x，由合力矩定理有：

-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力為3.1kN，作用在距O點2.06m處，向下。FR1=1.6kN;作用線距O點1m。FR2=0.6kN;作用線距O點3.5m。FR3=0.9kN;作用線距O點3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx例求圖中分布力系的合力。解：

FR1=2q1=1KN;

FR2=3q2/2=6KN;合力的大?。?/p>

FR=FR2-FR1=5KN方向同F(xiàn)R2，如圖。合力作用位置(合力矩定理):

FR

x=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx

平面一般力系處于平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過O點；1、2式指出：若有合力。必垂直于x軸且垂直于y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行于y軸）平面力系平衡條件平面一般力系平衡方程還可表達為下列二種形式：二力矩式（AB不垂直于X軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫出無數(shù)個平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方程均應(yīng)自動滿足，故獨立平衡方程只有三個。三力矩式(A、B、C三點不共線)取匯交點為矩心，力矩方程自動滿足。獨立平衡方程只有二個,為：

平面匯交力系:取x軸垂直于各力，則x的投影方程滿足。獨立平衡方程也只有二個,為：平面平行力系:yxMyx三拱鉸受力分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線F1oF2討論2：三力平衡必共點F1F2F3oBCFB二力桿FC1)剛體靜力學(xué)研究的基本問題是：受力分析，平衡條件，解決靜力平衡問題。小結(jié)4)力F對任一點O之矩為Mo(F)=

F.h。合力對某點之矩等于其分力對該點之矩的代數(shù)和。5)作用在剛體上力的F，可平移到任一點，但須附加一力偶，其矩等于力F對平移點之矩MO(F)。3)約束力作用方向與其所限制的運動方向相反。2)只在二點受力而處于平衡的無重桿，是二力桿。

7)同向分布平行力系可合成為一個合力。合力的大小等于分布載荷圖形的面積，作用線通過分布載荷圖形的形心，指向與原力系相同。6)平面一般力系簡化的最終結(jié)果有三種可能：即一個力；一個力偶；或為平衡（合力為零）。一般匯交

平行力系；力系；

力系；8)平面力系的平衡方程（基本形式）為：三個基本概念：力力偶力矩三組平衡方程：（力系簡化后的結(jié)論）一般力系匯交力系平行力系三類基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三種基本能力：力的投影力對點之矩約束反力分析第二章平面力系2.1基本量的計算2.2平面力系簡化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問題思路：研究對象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有二類：

對于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力。60

ABCDF2.4平面力系平衡問題例1已知:AC=CB=l,P=10kN;求:鉸鏈A和DC桿受力。解:取AB梁，畫受力圖。解得FAy+FCsin45

-P=0FCcos45

·l-P·2l=0例2已知：求:支座A、B處的約束力。解：取AB梁，畫受力圖。解得解得解得例3

求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、C處的約束力。解：1）畫整體受力圖。注意BC為二力桿。驗算，再寫一個不獨立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

結(jié)果正確。2）取坐標，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30

=0ABCF=2KNFq30q=0.5KN/m

L=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交點A處，力矩方程中只有一個未知量FC，可直接求解。求：系統(tǒng)平衡時，桿AB、BC受力例4，已知：系統(tǒng)如圖，不計桿、輪自重，忽略滑輪大小，P=20kN；解：AB、BC桿為二力桿，取滑輪B（或點B），畫受力圖。用解析法，建圖示坐標系解得：解得：二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是3n個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題

--未知量數(shù)=獨立平衡方程數(shù)ABCF30如例

系統(tǒng)

二根桿

六個平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個，但B、C處約束力未知量也減少了二個。本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個物體

8個平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸處各1

共8個反力，是靜定問題。如例系統(tǒng)

三個物體

9個方程，反力只有8個。小車可能發(fā)生水平運動。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少于獨立的平衡方程數(shù)，有運動的可能。CABWP2）靜不定問題或超靜定問題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n

<3n

未完全約束

m

=3n

靜定問題

>3n

靜不定問題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3n例5傾斜懸臂梁AB與水平梁BC在B處絞接，梁上載荷有：q=200N/m，F(xiàn)=250N，梁重不計。試作AB梁、BC梁及整體的受力圖；并求固定端A及鉸鏈B、支座C處的約束反力。

解：1)畫受力圖。整體受力圖。AB桿受力圖。BC桿受力圖。

2)BC為研究對象，列平衡方程：

Fx=FBx=0

FBx=0

Fy=FBy+FCy-q×2=0

FCy=200kN3)取整體為研究對象，有：

Fx=FAx=0

FAx=0

MA(F)=MA-1×F+4×FCy-q×2×3=0

MA=650kN.m

Fy=FAy-F+FCy-q×2=0

FAy=450kN例6

梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A