高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點規(guī)范練49橢圓（含解析）

考點規(guī)范練49橢圓

基礎(chǔ)鞏固

1.已知橢圓的焦點坐標(biāo)為（T,0）和⑸0）,橢圓上一點與兩焦點的距離和是26,則橢圓的方程為

)

A?白喑可

99

D.—+—=\

C麗,翦=114425

答案:A

解析：由題意知a=13,。巧,則少二4-5=144.

又橢圓的焦點在片軸上,

???橢圓方程為急+￡=1.

2.已知橢騎唱=1的離心率班則太的值為（）

A,.一19B.21

25

C渡或21D.麴21

答案:C

解析:若，=9,6』”,則

由￡q即寫q得T

a53525

若Ja+k,匕今,則c=\Jk~5,

由鴻即爆w，

解得F2L

3.若曲線ax%卬=1是焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a,8滿足（）

A.才少B.-<7C.0Q&D.0〈bQ

ab

答案:C

解析：由,得$+。=1,因為焦點在x軸上,所以L所以O(shè)Q<b.

11ab

ab

4.已知點P5,必)是橢圓4小q=1上的一點,￡是焦點,若/片他取最大值時,則△明￡的面積是

10

()

A.苧B.12

C.16(2^3)D.16(2-73)

答案:B

解析：???橢圓方程為

.*.a=5,b=4,c=V25-16=3,

因此橢圓的焦點坐標(biāo)為￡(-3,0)/(3,0).

根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點P與短軸端點重合時，/邛/取最大值，則此時△死￡的面積

53xgx3X4=12,故選B.

5.己知圓("2)2寸學(xué)6的圓心為M設(shè)力為圓上任一點,且點M2,0),線段/N的垂直平分線交MA于

點上則動點尸的軌跡是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

答案:B

解析:點尸在線段4N的垂直平分線上,故/應(yīng)/=/月0,又/材是圓的半徑，

所以/網(wǎng)/〃呼/=/0〃”處/=/刃〃與)例V/,由橢圓定義知,動點。的軌跡是糊圓.

6.已知R,￡是橢圓/唔可(a?刈的左、右兩個焦點,若橢圓上存在點尸使得PRIPJ,則該橢圓的

離心率的取值范圍是()

A?停，1)B.停,1)C.(0,目仄(0,由

答案:B

解析：???￡,￡是橢圓9吟=1Q如0)的左、右兩個焦點，

???離心率OQ<1,￡(-G0),8(。,0),。2二/一".

設(shè)點P(*,y),由PFdP%

得(*-c,y)?(x+c,y)=O,

化簡得丁少天，

儼+/=/,

聯(lián)立方程組//—

(7+7=h

整理，得x=(2c-a)?，20,

解得心當(dāng)又00e<l,

???當(dāng)We<l.故選B.

7.(2021全國〃,理15)己知凡￡為橢圓,。=1的兩個焦點,P,。為橢圓C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱

104

的兩點，且/W'=/7誠/,則四邊形步在的面積為.

答案：8

解析?：由題意得b=2,C-2V3,四邊形用QR為平行四邊形，

則/網(wǎng)/=//譙/="5,

???四邊形mQR為矩形，

???Q￡_L例.

???聞￡/+/你/=2a-8,/仍/+/牝/=咻08,

.??/Q￡/?聞￡/書(/Q￡/+/你/)2_(例///°￡/2)]4,即四邊形MQ8的面積為8.

8.已知44分別為橢圓￡:^Al(a>l)的左、右頂點，G為夕的上頂點，衣-彷4.2為直線產(chǎn)6上的

動點,PA與￡的另一交點為&PB與￡的另一交點為D.

⑴求橢圓〃的方程；

⑵證明：直線而過定點.

答案：(1)解由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),(7(0,1).

則禰3,1),赤=(a,T).

由而?GR=8得a~l-8,即

所以橢圓后的方程為《"=1.

⑵證明設(shè)。（X,必），。（芍必），尸（6"）.

若40,設(shè)直線切的方程為x=my+n,由題意可知-3S＜3.

由于直線PA的方程為y［（＞+3）,所以必［J13）.

直線陽的方程為六^（＞-3）,所以y2^U2-3）.

可得3%（及-3）=y2（乂+3）.

由于故外=上比產(chǎn)，

可得27ylM=-（*+3）（而+3）,

即（27癡）乂％加（〃+3）（%+%）+（"3）』.（J）

將戶roy+〃代入/+爐=1得（方冉）寸粒mny+it-90.

所以必*於=瑞,必以案

代入旗得（27?）（6⑼-2加（〃⑶叱?"3）2?（?、蚢

解得n=-3（舍去）,〃等

故直線切的方程為x=my^,

即直線6P過定點（表0）.

若￡力,則直線⑺的方程為尸Q過點0）.

綜上,直線⑦過定點G，。）.

9.已知橢圓.噓嗎可心》刈的離心率為手,焦距為2V2.斜率為k的宣線1與橢圓M有兩個不同的

交點A,B.

⑴求橢圓必的方程；

⑵若〃二1,求〃刃的最大值;

⑶設(shè)戶（-2,0）,直線內(nèi)與橢圓〃的另一個交點為C,直線即與橢圓時的另一個交點為D,若C,〃和

點/3共線,求〃.

(/=〃+/,

解：⑴由題意得=當(dāng)

Ia3

(2c=275,

解得a^/3,b=1.

所以橢圓力的方程為《歹=1.

⑵設(shè)直線1的方程為y=x+m,A（xlt必），8（苞,必）.

（y=x+卬，

由［”］，

得4/冷卬*d3裾-34，

CJT|%|3加3常-3

所以X\+X2=LF為用「Q一

所以］AB0（彳2-&）2+（乃-力/

々2(為2-Xi"

3/21(4+熱＞-4*1代］

_Jl2-3宗

當(dāng)麻，即直線1過原點時，〃卸最大,最大值為遮.

⑶設(shè)4（馬必）,8（均,必），由題意得彳+3片=3,考電名=3.

直線目的方程為夕*（戶2）.

If!

1+3產(chǎn)=3,

得［(x42)2+3片］/+12%"12彳-3(小必2也

設(shè)。（心先）,

ruzT2/4^-12

所以.兩焉+2//二小?

所以及會飛三翳,

所以及端（a2）等.

設(shè)D小4，同理得當(dāng)二篙,

記直線C0,困的斜率分別為心心

則自1%一；『；；）-一吃：；戶（必一%KG.

4町+74*1*2*74

因為C,D,0三點共線,所以kg-kQ

故y一切二乂一出

所以直線/的斜率43=1.

向一畋

能力提升

10.已知尸是橢圓（在/=1（0”⑸上除頂點外的一點，月是橢圓的左焦點，若研/4,則點尸到

該橢圓左焦點的距離為（）

A.6B.4C.2D.1

答案:C

解析:設(shè)橢圓右焦點為七取用的中點M,連接0和而十礫皿,則/QJ〃N,在△片僅中，曲/是中位線.

故班的長等于8,iPFj+lPEjeaAO,

解得/PFJ2故選C.

H.橢圓攝吟=i（&協(xié)0）的焦點為片,&若橢圓上存在滿足所-M4的點P,則橢圓的離心率的范

圍是.

答案榨,1）

解析：???橢圓的焦點為F\,E,橢圓上存在滿足兩-M=與的點P,

???麗/?阿/cos裾麗嚀，

22

4c2海在麗一2,苗/?麗/cos阿，無，

，麗"網(wǎng)心

可得用2+明2+2而/■麗

2

???2府/?廂/考，一3°2在2(所了),

當(dāng)且僅當(dāng)/所片/麗/時,等號成立.

可得多制,解得眾苧.

又0<e<l,'eW停，1).

12.已知橢圓C:《當(dāng)口(0(加<5)的離心率為平,44分別為C的左、右頂點.

43ftr4

⑴求C的方程；

(2)若點尸在C上，點0在直線產(chǎn)6上,且/應(yīng)BP1BQ,求△力々的面積.

解：⑴由題設(shè)可得牢二組得/與所以C的方程為最小嘉1.

311O43—

16

(2)設(shè)尸(即,公,0(6,匕)，根據(jù)對稱性可設(shè)為用，由題意知

由已知可得8(5,0),直線筋的方程為y=、(xT),

yQ

所以加7=%J1+力為0/11+均

因為/BP/=/BQ/,所以4=1,將療1代入C的方程,解得x&或-3.

由直線的的方程得為=2或8.

所以點P,。的坐標(biāo)分別為2(3,1),Q(6,2);2(-3,1),0(6,8).

認(rèn)Q/個國,直線PQ的方程為點4(60)到直線PQ的距離為手,故△4。閽的面積為;義

當(dāng)總

EQ/R130,直線2a的方程為了］44,點力到直線2a的距離為噂故△/月口的面積為Jxx

y6Zb乙Zb

V130=1，

綜上,△力內(nèi)。的面積為|.

高考預(yù)測

13.橢圓￡:攝唔=13月0）的左、右焦點分別為&&過￡作垂直于x軸的直線1與橢圓￡在第一

象限交于點P,若/你/=5,且3a=6.

⑴求橢圓￡的方程