2023屆高考數(shù)學一輪復習單元雙優(yōu)測評卷-第四章數(shù)列B卷含解析

第四章數(shù)列

B卷培優(yōu)提能過關(guān)卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的

1.已知等差數(shù)列｛2｝且3（4+%）+2（4+/+%）=24,則數(shù)列｛q｝的前13項之和為（）

A.26B.39C.104D.52

2.已知數(shù)列｛凡｝滿足6=15,且3%=3a“-2.若＜0,則正整數(shù)2=（）

A.24B.23C.22D.21

3.“十二平均律”是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各

相鄰兩律之間的振動數(shù)之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩

個音之間的頻率之比相等，且最后一個音的頻率是最初那個音的2倍.設(shè)第8個音的頻率為/,

則頻率為*/的音是（）

A.第3個音B.第4個音

C.第5個音D.第6個音

4.我國明代著名樂律學家、明宗室王子朱載埴在《律學新說》中提出的十二平均律，即是

現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個c鍵到下一個，鍵的8個白鍵與5個黑鍵（如圖）

的音頻恰成一個公比為啦的等比數(shù)列的原理，也即高音。的頻率正好是中音c的2倍.已知

#〃的頻率為力，q的頻率為6,則人：工=（）

A.B.2^C.D.0

5.已知正項數(shù)列｛q｝滿足，S”是｛凡｝的前〃項和，且，14,則S.=（）

35

C.—n~+ZID.n2+3n

6.已知屋力=/1+￡|-1是R上的奇函數(shù)，《=〃0）+《￡|+…+/（尸）+“l(fā)）,〃eN?，

則數(shù)列｛2｝的一個通項公式為（）.

2

A.勺=〃+1B.an=3n+lC.%=3〃+3D.an=n-2n+3

已知數(shù)列｛4｝滿足q=di+4川+1，J=T，則%+10%+13+…+18陽+19%=

7.

)

A.C.35D.-且

22

已知正項數(shù)列｛%｝滿足4《0七），d-1=In（2a,4.J（

8.〃wN）則（）

A.對任盍的〃jN*,都有0<勺<1B.對任意的〃€=">都有?！敝?+1>。

C.存在nwN*，使得凡+|<D.對任意的〃wM,都有《j+iN5r

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分

9.下列說法正確的是（）

A.若｛4｝為等差數(shù)列，S”為其前〃項和，則耳，S?「Sk，…仍為等差數(shù)列（人V）

B.若｛4｝為等比數(shù)列，S”為其前〃項和，則鼠，S2i.-5X,5*-524，一仍為等比數(shù)列（&￡“）

C.若｛%｝為等差數(shù)列，4>0,J<0,則前〃項和S“有最大值

D.若數(shù)列｛q｝滿足。用=。：-5q+9,4=4,則/工+三豆+1+/\<1

10.已知數(shù)列｛q｝的前八項和為S”，且q=乙2Sn-Sn_^2p（n>2,。為常數(shù)），則下

列結(jié)論正確的有（）

A.｛4｝一定是等比數(shù)列B.當「=1時，工=假

O

C.當時，％,q=q”+“D.同+同=同+同

11.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為工，若對于任意的機，nwN*，都有冊+.=%+/,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.4+42=4+%

B.的6<44。

C.若該數(shù)列的前三項依次為x,l-x,3x,則%=/

D.數(shù)列｛手｝為遞減的等差數(shù)列

12.已知數(shù)列｛4｝：1,1,2,3,5,…其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，

記工為數(shù)列｛4｝的前"項和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Ss=a$B.S7=33

C.4+4+4々2021=〃2022D.4+生+%+,,?+。2020=^202002021

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，與"-1?若力唱，貝爪.

14.在一個有限數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的等差中項，從而形成一個新的數(shù)列，我

們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次擴充.如數(shù)列1,9,擴充一次后得到1,5,9,擴充兩

次后得到1,3,5,7,9,以此類推.設(shè)數(shù)列1,3,，（，為常數(shù)），擴充〃次后所得所有

項的和記為S“，則S”=.

15.在數(shù)列也｝中，0向+（—l）"q=2〃-1.則數(shù)列｛%｝的前20項之和為____.

16.已知正項數(shù)列｛/｝中，4=1,%=2,a=。3+。3（〃22）,一,數(shù)列也｝

的前n項和為Sn,則S33的值是________.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知數(shù)列｛q｝滿足4+2%+現(xiàn)+…+S=GL1）2”+I+2（〃WM）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)a=log24,求數(shù)列<1）一，的前n項和

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，點卜,手）在直線y=x+4上，數(shù)列｛4｝滿足:

“+2一紇㈤+勿二°（〃￡"'）且”=8,前11項和為154

（1）求數(shù)列｛凡｝,也｝的通項公式

3L

（2）令c“=2（4_2）（2"+5），數(shù)列卜“｝前”項和為了…求使不等式%＞會對一切"WN?都

成立的最大正整數(shù)k的值.

19.已知數(shù)列｛4｝各項都是正數(shù)，q=1,對任意〃￡^都有42+其+-*=句±數(shù)列低｝

滿足4=1,"“=%+〃.

n

(1)求證：｛4｝是等比數(shù)列,物,｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)c“=3a+4-(-l)"T/lq,對任意〃eN?，都有%恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

20.在數(shù)列｛〃”｝中，已知4=2,an+ian=2an-an^(neN*).

(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列;

(2)是否存在正整數(shù)m、n、k,km<n<k,使得%、?！?、4成等差數(shù)列？若存在，求出

m.n,k的值；若不存在，請說明理由.

21.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.，4=1,%=2,公比為2的等比數(shù)列低｝的前〃項和為

小并且滿足％k>g2（7；+l）=2S”.

（I）求數(shù)列｛4｝,｛%｝的通項公式；

（II）已知c0二二---，規(guī)定%=0,若存在〃wN*使不等式+C2+G+…+。”<1一人成

工工+i〃

立，求實數(shù)2的取值范圍.

22.已知數(shù)列｛4｝滿足4+2生+地+…+〃《=（〃-1）2""+2.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

!!—

⑵求數(shù)列［晦勺/幅聯(lián)）的前”頁和5

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的

1.已知等差數(shù)列｛4｝且3（。2+%）+2（%+%+44）=24,則數(shù)列｛4｝的前13項之和為（）

A.26B.39C.104D.52

【答案】A

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：/+。6=2《，4+40+44=3%,

所以由33+4）+2（4+40+%”24可得：3x204+2x3%=24,

解得：4+%=4,

所以數(shù)列｛4｝的前13項之和為

13（4+&）=13（4+4。）=*4=26,

13222

故選：A

2.已知數(shù)列｛4｝滿足4=15,且3。*|=3勺-2.若4q+1<0,則正整數(shù)左=（）

A.24B.23C.22D.21

【答案】B

【解析】

解：由3%川=34-2,得q向-q=一；，所以數(shù)列｛q｝為首項q=15,公差d=-（的等差

2247

數(shù)列，所以q=15-5（〃-1）=-§〃+7.

24747

由得%>0，%1<。令4=-”+三=0得〃=？，所以“>0，”24<0，

所以4=23,

故選：B.

3.“十二平均律”是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各

相鄰兩律之間的振動數(shù)之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩

個音之間的頻率之比相等，且最后一個音的頻率是最初那個音的2倍.設(shè)第8個音的頻率為/,

則頻率為當f的音是（）

A.第3個音B.第4個音

C.第5個音D.第6個音

【答案】C

【解析】

由題意知，這13個音的頻率構(gòu)成等比數(shù)列，

設(shè)這13個音的頻率分別是6,勺，…，氣，公比為夕（夕＞。），

則%=才=2,得耍啦，

4

.QN—8

所以%=%夕7=（蚯）/=2記/,

?-84/01

令2元/=至/=2々/,解得〃=5.

故選:C.

4.我國明代著名樂律學家、明宗室王子朱載培在《律學新說》中提出的十二平均律，即是

現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個c鍵到下一個q鍵的8個白鍵與5個黑鍵（如圖）

的音頻恰成一個公比為啦的等比數(shù)列的原理，也即高音G的頻率正好是中音c的2倍.已知

的頻率為fl?a\的頻率為f2，則力"=（）

3c#d

[WD

dgatLa

doremifasollasido

A.2^B.2~HC.當D.V2

【答案】D

【解析】

由題意知從左到右的音頻恰成一個公比為啦的等比數(shù)列,

由等比數(shù)列性質(zhì)知人=工?(蚯丫3f\，所以人：/=應(yīng)，

故選：D.

5.已知正項數(shù)列｛%｝滿足，S“是｛q｝的前八項和，且第二4+義勺―14,則S.=()

.n215〃n/15〃

A.一十——B.—十——

4433

C.如2+"D.n2+2>n

22

【答案】A

【解析】

由題得s.=a；+gq一14,Sn_1=<,+1??-1-14(w>2),

兩式相減得an--_!*(n>2),

所以屋一*=0(〃22),

所以(勺一an_,)(an+%」)一g(%+*)=0(/i>2),

所以(q+%)[(可-%)-3=0(〃N2),

因為數(shù)列是正項數(shù)列，所以4+%」>(),

所以勺-=0(〃>2),

所以為一%T=g(〃22)，

所以數(shù)列｛%｝是一個以外為首項，以4為公差的等差數(shù)列.

令〃=1得q=a；+萬q—14,解之得4=4,

所以S”=nx4+(w-l)x—X—=-——@i.

故選：A

6.已知g(x)=f(x+；)-l是R上的奇函數(shù)，4=f(0)+f(￡)+…+f(F)+f⑴，〃wNZ

則數(shù)列｛4｝的一個通項公式為().

A.an=n+\B.an=3n+lC.an=3n+3D./-2〃+3

【答案】A

【解析】

由題己知8(工)=/卜；+：)-1是火上的奇函數(shù),

故g(r)=_g(x)，

則g+x=lT,

得到/S+/(1T)=2,

,??％?〃。)|⑴，

%⑴++?..+/(十)+/(0)，

倒序相加可得的=2(〃+1),

即4=5+1),

故選：A.

7.已知數(shù)列｛〃“｝滿足a“=3N+%+l,則9%+1()40+1孫+…+1848+19%=

()

A.——B.gC.35D.一-—

222

【答案】A

【解析】

a—1

因為?！?4%+|+可+|+1，所以“川二；二工，

//—11I

因此--=-=--,同理/=-2,%=3,4=7，則

■q+il+i32

2

—167-1

(t7----11+—

?,+i-14+2+I11+1ra..11

a^=~~~77=?-Zj-=-丁=-&7=-7^?=%'因此外卜3=不，/卜2=一,，

4+3+1zn±Z_￡+(可+21_￡23

4+2+1/+14+1

包卜1二-2,。必=3,其中ZeN”,則

￡=（緘-3）*+（軟-2）味+（4"1）明+4/=幺軟+1）,則

O

。］=工+陽故選

9%+10t7（0+1lt7||+…+188+19al§n+4—20a=-x（13+17+21）—60=——,：A

已知正項數(shù)列滿足《則（）

8.｛q｝a；-l=ln（2?/A+1）（neM）,

A.對任意的〃eN"，都有。<4<1B.對任意的〃cM,都有?！敝?。"+1>（）

C.存在〃eN",使得4>+I<；4“D.對任意的〃wN‘，都有凡+|之力

【答案】D

【解析】

解：?,?可取4=，，

則由“；-1=呵4〃川）得*—l=ln?=ln%—l,

，In^=:1>0=%>1>4,故選項A,B錯誤；

4*/（x）=ln（x+l）-x（x>-l）,則/'（x）=7^7-1=言，

故/（X）在（T，。）上單調(diào)遞增，在（0,+e）上單調(diào)遞減，

A/（x）</（0）=0,即ln（x+l）?x,當且僅當x=0時等號成立，

J4一1=In（為同+J=皿2%+!-!）<—1,即a：W2aM川,

A—累乘可得馱?2…生=為>￡,

2

4%%aiq2

???4+i之故，故選項C錯誤，選項D正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分

9.下列說法正確的是（）

A.若｛%｝為等差數(shù)列，S”為其前〃項和，則&，S”-S*,S*-S”，…仍為等差數(shù)列（keM）

若為等比數(shù)列，為其前〃項和，則），…仍為等比數(shù)列卜￡叱）

B.｛q｝S”S2i-Sx,S.-S"，

C.若｛4｝為等差數(shù)列，q>0,d<0,則前〃項和s.有最大值

D.若數(shù)列｛q｝滿足％“=片-5q+9,4=4，則/工+S^+L+三?<1

【答案】ACD

【解析】

對于A中，設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為S&=%+%+…+q，+?！?，S3&-S2*=%E+%，2+L+%,…，

可得⑸*一1)一品=國7人)-6-SJ=L=k2d(keM),

所以S24-S4,S“-S”，…構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；

對于B中,設(shè)數(shù)列應(yīng)｝的公比為4(夕工0),

當q=T時，取2=2,此時52=4+4=0,此時不成等比數(shù)列，故B錯誤；

對于C中，當4>0,d<0時，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，

此時所有正數(shù)項的和為S”的最大值，故C正確；

對于D中，由q八=。：一5q+9,可得a.+]-3=a：-5a.+6=(a.-2)(a.-3),

所以?！ü?或％工3,

]_]二]_______1_______1_

f=

川。田一3(an-2)(an-3)a?-3an-2an-2an-3an^-3,

一，11,1111111

所以■+1+L+1=''-.+-------+Lf+■-1

、q―2。加―2q—3叼—3%—3%-3anA-3

=!!=1_!

4-3%-3a??-3'

因為4=4,所以q+1=。；-5勺+9>4，可得。用>4,所以1-I.故【)正確.

故選：ACD

10.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且q=p,2Sn-Sn_1=2p(?>2,〃為常數(shù))，則下

列結(jié)論正確的有()

A.｛《,｝一定是等比數(shù)列B.當。=1時，sg

O

c.當時，q”q=4…D.同+同=國+|%|

【答案】BC

【解析】

由q=〃，2s“一S〃_[=2〃得，2(%+〃)一〃=2〃，故%=與，則幺一；，

2q4

當〃N3時，有2S“_i-S“_2=2p,則況-0,即2■=：,

an-l2

故當pH。時，數(shù)列｛q｝為首項為〃，公比為g的等比數(shù)列；當P=0時不是等比數(shù)列，故A

錯誤；

當p=l時，S&=I2J=竺,故B正確；

1-18

2

當時,4=(g),則/q=(g)故CIE確；

當時,|蜀+同=加|惇+—=骸〃|,而同+聞=加1惇+/卜荔加|,

故國+同>同+kl，則D錯誤；

故選：BC.

11.已知正項數(shù)列｛4｝的前幾項和為S.,若對于任意的加，nwN*，都有，…=%+4,則

下列結(jié)論正確的是()

A.4+《2=%+。5

B.a5a6<Wio

C.若該數(shù)列的前三項依次為x,1-x,3x,則%=學

D.數(shù)列1｝｝為遞減的等差數(shù)列

【答案】AC

【解析】

令相=1,則%+]-%="，因為4>。，所以｛4｝為等差數(shù)列且公差d>0,故A正確；

由《6-44o=(42+94d+2Oc1)-(42+9aQ)=2(k/2>o,所以故B錯誤；根據(jù)

等差數(shù)列的性質(zhì)，可得2(l-x)=)+3x,所以工=,17=屋

itt^o=-+9x—=—,故C止確；

1333

由S.四+一『4d（因為多＞0,所以1是遞塘的等差數(shù)列，故D錯

V---------?---------~2n+[a'~2）2⑺

誤.

故選：AC.

12.已知數(shù)列｛4｝：1,1,2,3,5,…其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，

記工為數(shù)列｛4｝的前"項和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Ss=a$B.S7=33

C.4+4+4々2021=〃2022D.4+生+%+,,?+。2020=^202002021

【答案】BCD

【解析】

對A,%=21,56=20,故A不正確；

對B,$=$6+13=33,故B正確；

對C,由=。2'〃3=《—%，"5=4—“4，…，“2021=。2022—“2020，"J得

%+2+為+…+%02|=%022，故C正確：

對D,該數(shù)列總有%+2=勺+|+%，則一4）=%/一

d=%（〃4一%）=々3。4—44，…,或18=%>18（%39一417）=。18旬19一%17/18,

02019="2019°2020一“2019a2018，"短）=。2020〃2021一〃202002019，

故4+I?+々3々2020=^2020^2021?故D正確.

故選:BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，工+%=1.若與=2，則機=_

【答案】6

【解析】

當〃=1時，5|+?,=251=1,解得：S,=1；

當〃之2時，S.+《,=2S“-SK=1,即5「1=耳⑸「1）,

二數(shù)列｛S.-l｝是以￡-1=-3為首項，3為公比的等比數(shù)歹U，

經(jīng)檢驗：〃=1時，S［滿足S”=-互+1；

L

綜上所述：50=-5+1（〃￡”），.?.Sm=-g+l=￡,解得：m=6.

故答案為：6.

14.在一個有限數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的等差中項，從而形成一個新的數(shù)列，我

們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次擴充.如數(shù)列1,9,擴充一次后得到1,5,9,擴充兩

次后得到1.3.5.7.9.以此類推.設(shè)數(shù)列1.3.r（，為常數(shù)）,擴充〃次后所得所有

項的和記為S”，則S,=.

【答案】甘?（2"+1）—3

【解析】

擴充〃次后所得數(shù)列為L…2…,3,…，號，…,z,

因此從1到3是等差數(shù)列，項數(shù)為2”+1,且中間項為2;

從3到，也是等差數(shù)列，項數(shù)為2"+1，且中間項為半；

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得S.=2（2"+l）+號■（2”+1）—3=§（2”+1）-3.

故答案為：手（2"+1）-3

15.在數(shù)列｛q｝中，a向+（-1）"q=2〃-1.則數(shù)列｛2｝的前20項之和為.

【答案】210

【解析】

因為+（—l）"a"=2〃-1,所以有：

a2-ai=2x1-1=1,

里+。2=2x2—1=3,

a4-a3=2x3-1=5,

a5+a4=2x4-1=7,

%5=2x5-1=9,

由此可得出：q+色=2,/+%=8,%+%=2,4+4=24,…,

所以從第一項起，依次相鄰兩奇數(shù)項的和為2,

從第二項起，依次相鄰兩偶數(shù)項的和組成以8為首項，16為公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛4｝的前20項之和為：2x5+(5x8+^x5x4xl6)=210,

故答案為:210

16.已知正項數(shù)列｛〃〃｝中，％=1,%=2,之2),b“二——,數(shù)列也｝

的前n項和為S.,則S33的值是.

【答案】3

【解析】

解：因為嵐=。3+。工5>2),

所以數(shù)列｛"｝是首項為1,公差為22-1=3的等差數(shù)列，

所以=1+3(〃-1)=3〃-2,所以aa=,3〃一2,

所以2=—;—=///;=+l-V3n-2),

an+an+lV3H-2+V3W4-13'，

所以數(shù)列出｝的前n項和

S'=：[("_1)+(近_4)+…+('3〃+1_,3"2)]=捫3〃+]_1)

則S33=g(10—l)=3.

故答案為：3.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知數(shù)列｛q｝滿足4+2%+現(xiàn)+…+”=5-1)2向+2(〃6”).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

<2)設(shè)2=log24“，求數(shù)列的前n項和

〔她+J

【答案】

（1）a“=2"（〃uN+）

（2）Tn=-^-

〃+1

【解析】

（1）由題意，當〃22時，可得q+2%+現(xiàn)+…+（〃--2）?2"+2,

兩式相減求得2=2"(〃22),又由〃=1時，卬=2,符合上式，即可求解；

(2)由b“=log2a“二〃，得到了＞=｝一?[，結(jié)合裂項法求和，即可求解.

(1)

解：由題意，數(shù)列｛叫滿足4+2/+3/+--+叫=(〃-1)2"+1+2(〃￡”),

當〃N2時，可得4++%3F(W—l)a,t_|=(〃-2)?2"+2,

兩式相減,可得人=[(〃-1)24-2]-[(〃-2)2〃+2卜=2",所以4=2”(q2),

又由當幾=1時，4=2,符合上式，

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為為=2"(〃eN').

（2）

n

解：S^=log2an=log22=n,則以+]=〃+1，所以石＞二〃(二百

In

-----=------

n+ln+1

18.已知數(shù)列｛q｝的前八項和為S"，點在直線y=x+4上，數(shù)列低｝滿足:

4+2一次+1+2=0（〃￡%，）且〃=8,前11項和為154

(1)求數(shù)列｛?！埃?｛包｝的通項公式

3k

(2)令c“=2(〃—2)(2〃+5)'數(shù)列..｝前〃項和為丁.‘求使不等式以對一切〃eN?都

成立的最大正整數(shù)k的值.

【答案】（1）?！?2〃+3,7：GN,?bn=3n-4,〃eN'：（2）12.

【解析】

q

解：(1)由題意，得出=〃+4,即S.=/+4〃，

n

2

故當時，an=Sn-Sn_i=n+4/7-(/?-1)'-4(/z-l)=2??4-3,

???〃=1時，％=$=5,當〃=1時，/7+4=5,

：.an=2n+3rweN\

又“+2-2”“+包=。,

，低｝為等差數(shù)列，???里空)=]54,

20-8

???也=8,.?.4=20,.?.d=^~^=3,

8—4

bn=2+3(〃-4)=3〃-4,

即々=3"4,〃eN*.

,=3=___________3___________

(2)*=2(._2)儂+5)=2肢+3卜2][2.(3”4)+5]

~2(2r+l)(6〃-3)-2(2〃+1)(2〃-1)-及2〃-1一2〃+1)

,,1-1,1111、1八11〃

.?n-4<-3+3-5+"+2W-1-2M+1-2〃+1卜4〃+2'

??T,-T=上上!...-=------!------>0

?向“4w+64/1+2(4〃+6)⑵2+1)，

???7；單調(diào)遞增，

故億

令;得"<124,工AM=12.

o/32

，使不等式<對一切〃wN都成立的最大正整數(shù)上的值為12.

19.已知數(shù)列｛4｝各項都是正數(shù)，%=1,對任意〃cN都有/+姆+…4=駕土數(shù)歹IJ低｝

滿足4=1,么+]=&?+〃.

n

(1)求證：｛凡｝是等比數(shù)列，｛"｝是等差數(shù)列；

⑵設(shè)c“=3"+4?(-1)1加4,對任意〃WN',都有%>%恒成立，求實數(shù)義的取值范圍.

31

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)證明：因為…屋二色限，所以〃之2時，/+W+…白3=與1,

22

兩式相減得：區(qū)=4匚%,即。=4。又《>0(neN*),所以。川=2/，

3

又《二4——，a；=4,=2(因為a,>0),所以外=24,即-^=2,nwN*,q=l,

3an

所以他,是等比數(shù)列.

*=1,4=與+1=2,設(shè)/=〃,-〃，則由方用=%+〃得6向+〃+|=*+〃，所以

1nn

至，又6=4-1=0,所以~等一^=一=1%=0，

nn-\{n-l)(w-2)(/i-l)!

所以勿■〃，Ud為等差數(shù)歹U.

(2)由(1)a-

c,,=3n+4-(-\)n~lA-2n~'=3n+2-(-l)n-,2-2n,

n+,

——cn=3+2?(—1)”2?2.一3”一2?(-1)"-'義?2"=2x3”+3?(―1)"2?2"",

對任意〃eN,，都有>G恒成立,則2x3”+3Gl)U,2」>0恒成立,

o/t-l>>n-l?/o、川T

(一1產(chǎn)」<'，'r=’x士是遞增數(shù)列，

2"2"2\2)

〃為奇數(shù)時，4<gx(T),義<；，

〃為偶數(shù)時，,-A<^-,A.>,

2{2)44

31

綜上一1<A,<—.

20.在數(shù)列{q}中，已知4=2,a>l+ian=2atl-an+l(neN,).

(1)證明：數(shù)列-1］為等比數(shù)列；

(2)是否存在正整數(shù)m、n、k,且加<〃<攵，使得。加、/、4成等差數(shù)列？若存在，求出

m、n、k的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

2a1+111

（1）證明：由可+，“=2%-4,1，得n從而1=F-=五"+5，

nnn

又，T=-4wO,故數(shù)列P■一i>為等比數(shù)列;

421見，

2"

（2）由（1）可得，--1

%2n-\

假設(shè)存在正整數(shù)m、n、女（"<〃<口滿足題意，則24=4+4,

2-2"2m2”

即nn----=-----1--7，

2"-1