2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練51橢圓含解析理新人教版

PAGE專練51橢圓命題范圍：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡潔的幾何性質(zhì)[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1上一點(diǎn)M到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()A．2B．3C．4D．52．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長為()A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．6D．123．[2024·北京卷]已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2B．3a2＝4bC．a(chǎn)＝2bD．3a＝44．動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和為10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝15．已知橢圓的長軸長為8，離心率為eq\f(3,4)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝16．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．長軸長相等B．短軸長相等C．離心率相等D．焦距相等7．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2\r(2),3)8．[2024·西寧一中高三測(cè)試]設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若△PF1F2為直角三角形，則△PF1F2的面積為()A．3B．3或eq\f(3,2)C.eq\f(3,2)D．6或39．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則CA．1－eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eq\r(3)－1二、填空題10．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________．11．若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為________．12．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，若△PF1F2的面積為9，則b＝________.[實(shí)力提升]13．[2024·全國卷Ⅰ]已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝114．[2024·昆明一中高三測(cè)試]已知橢圓C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)15．F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________．16．[2024·浙江卷]已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．專練51橢圓1．D∵a＝4，由橢圓的定義知，M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a2．B由橢圓的方程得a＝eq\r(3).設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).3．B由題意得，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，又a2＝b2＋c2，∴eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴4b2＝3a2.故選B.4．B依題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由c＝4,2a＝10，即a＝5，得b＝eq\r(a2－c2)＝3，則橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.5．B∵2a＝8，∴a＝4，e＝eq\f(c,a)，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.6．D∵c2＝25－k－(9－k)＝16，∴c＝4，∴兩曲線的焦距相等．7．C由題可知橢圓的焦點(diǎn)落在x軸上，c＝2，∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2eq\r(2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).8．C由已知a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，若P為短軸的頂點(diǎn)(0，eq\r(3))時(shí)，∠F1PF2＝60，△PF1F2為等邊三角形，∴∠P不行能為直角，若∠F1＝90°，則|PF1|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)·eq\f(b2,a)·2c＝eq\f(3,2).9．D不妨設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵∠PF2F1＝60，∴|F1F2|＝2c，∴|PF2|PF1|＝eq\r(3)c，由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c＝2a.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.10．(3,4)∪(4,5)解析：由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))解得3<k<4或4<k<5，故k的取值范圍為(3,4)∪(4,5)．11.eq\f(3,5)解析：由題意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f(3,5)或12．3解析：∵eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴∠F1PF2＝90°，又S△PF1F2＝b2tan45°＝9，∴b＝3.13．B本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解實(shí)力、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理．由題意設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B.14．A由題意得(0,0)到直線bx－ay＋2ab＝0的距離為a，∴eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，∴a2＋b2＝4b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(\r(6),3).15.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：設(shè)P0為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的上頂點(diǎn)，由題意得∠F1P0F2≥90°，∴∠OP0F2≥45°，∴eq\f(c,a)≥sin45°，∴e≥eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.16.eq\r(15)解析：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查考生的邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．通解：依題意，設(shè)點(diǎn)P(m，n)(n>0)，由題意知F(－2,0)，所以線段FP的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)，\f(n,2)))在圓x2＋y2＝4上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))2＝4，又點(diǎn)P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1上，所以eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,5)＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－eq\f(3,2)或m＝eq\f(21,2)(舍去)，n＝eq\f(\r(15),2)，所以kPF＝eq\f(\f(\r(15),2)－0,－\f(3,2)－－2)＝eq\r(15).優(yōu)解：如圖，取PF的中點(diǎn)M，連接OM，由題意知|OM|＝|OF|