2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練37證明含解析文新人教版

PAGE專練37證明命題范圍：證明方法：分析法、綜合法、反證法[基礎(chǔ)強化]一、選擇題1．若a，b，c為實數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是()A．a(chǎn)c2<bc2B．a(chǎn)2>ab>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D.eq\f(b,a)>eq\f(a,b)2．若a，b，c是不全相等的實數(shù)，求證：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.證明過程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一個“＝”不成立．∴將以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此證法是()A．分析法B．綜合法C．分析法與綜合法并用D．反證法3．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根4．如圖是解決數(shù)學(xué)問題的思維過程的流程圖：圖中①、②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法相匹配是()A．①—分析法，②—綜合法B．①—綜合法，②—分析法C．①—綜合法，②—反證法D．①—分析法，②—反證法5．設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列推斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一個成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．其中正確推斷的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．36．在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，則△ABC肯定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定7．[2024·濟南測試]用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)，用反證法證明時，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個偶數(shù)8．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<09．[2024·長春測試]設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三個數(shù)()A．都大于2B．都小于2C．至少有一個不大于2D．至少有一個不小于2二、填空題10．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則a，b應(yīng)滿意的條件是____________．11．用反證法證明“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時應(yīng)假設(shè)__________________．12．若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋8)＋eq\r(a＋5)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是______________．[實力提升]13．[2024·河北邯鄲測試]設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值B．恒等于零C．恒為正值D．無法確定正負(fù)14．用反證法證明命題：“a，b∈N，若ab不能被5整除，則a與b都不能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()A．a(chǎn)，b都能被5整除B．a(chǎn)，b不都能被5整除C．a(chǎn)，b至少有一個能被5整除D．a(chǎn)，b至多有一個能被5整除15．設(shè)a，b∈R，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號)．16．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，給出下列不等式：①(a＋3)2>2a2＋6②a2＋eq\f(1,a2)≥a＋eq\f(1,a)；③|a－b|＋eq\f(1,a－b)≥2.其中恒成立的是________．專練37證明1．B∵a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab①，又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2②，由①②得，a2>ab>b2.2．B由已知條件入手證明結(jié)論成立，滿意綜合法的定義．3．A“方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根”，故選A.4．B依據(jù)已知可得該結(jié)構(gòu)圖為證明方法的結(jié)構(gòu)圖：∵由已知到可知，進而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法，由未知到需知，進而找到與已知的關(guān)系為分析法，故①②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法為：①—綜合法，②—分析法，故選B.5．C∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴a－b，b－c，c－a至少有一個不為0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故①正確；②明顯正確；a，b，c不全相等，可能全不相等，即a≠b，b≠c，c≠a同時成立，故③不正確．6．CsinAsinC<cosAcosC?cos(A＋C)>0?cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)<0?B為鈍角?△ABC肯定是鈍角三角形．7．B“至少有一個”的否定是“一個也沒有”即“都不是”，故選B.8．C由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a只要證(－a－c)2－ac<3a2，即證a2－ac＋a2－c2>0，即證a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即證a(a－c)－b(a－c)>0，即證(a－c)(a－b)>0.故求證“eq\r(b2－ac)<eq\r(3a)”索的因應(yīng)是(a－c)(a－b)>0，故選C.9．D假設(shè)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2，則有a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6.又∵a>0，b>0，c>0，∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6，這與假設(shè)沖突．∴a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三個數(shù)至少有一個不小于2.10．a(chǎn)≥0，b≥0且a≠b解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，即：(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0，需滿意a≥0，b≥0且a≠b.11．x≠－1且x≠1解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．12．P>Q解析：P2－Q2＝2eq\r(a2＋13a＋42)－2eq\r(a2＋13a＋40)>0，∴P2>Q2，∴P>Q.13．A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)在R上單調(diào)遞減，∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，∴f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，∴f(x1)＋f(x2)<0.14．C“都不能”的否定為“至少有一個能”，故假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為“a，b至少有一個能被5整除”．15．③解析：取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝eq\f(7,6)>1，而a<b<1，∴①推不出；取a＝b＝1，則a＋b＝2，∴②推不出；取a＝－3，b＝－2，則a2＋b2＝13>2，ab＝6>1，而a<0，b<0，∴④⑤推不出．對于③可用反證法證明：假設(shè)a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，則a＋b≤2，與a＋b>2沖突，故a，b中至少有一個大于1.16．②解析：對于①，(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－