江蘇省南通市如皋市2024-2025學年八年級上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

第第頁2024~2025學年度第一學期八年級期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項：1．本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為100分鐘．考試結束后，請將本試卷和答題紙一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、智學號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題紙指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書寫在答題紙上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.地鐵作為一種高效、低碳、大容量的公共交通方式，已經(jīng)成為許多國家和地區(qū)城市化進程中不可或缺的基礎設施．2023年12月27日，南通城市軌道交通2號線通車儀式在體育公園站舉行，標志著南通地鐵邁入“雙線換乘時代”．下列地鐵標志中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了軸對稱圖形．一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此進行判斷即可．【詳解】解：A．沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形，符合題意；B．不能沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；C．不能沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；D．不能沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：A2.計算的結果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運算法則求出即可．【詳解】解：a6÷a3=a6-3=a3．故選：A．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法運算，正確把握運算法則是解題關鍵．3.在，，，中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查最簡二次根式，最簡二次根式的必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含有開的盡方的因數(shù)或因式，（2）被開方數(shù)不含有分母．根據(jù)最簡二次根式的定義判定即可．【詳解】解：A、是最簡二次根式，故此選項符合題意；B、∵，∴不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；C、∵，∴不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；D、∵，∴不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；故選：A．4.人體內(nèi)一種細胞的直徑約為微米，相當于米，數(shù)字用科學記數(shù)法表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，熟練掌握科學記數(shù)法的表示形式是解題的關鍵．將一個數(shù)表示成的形式，其中，n為整數(shù)，當絕對值小于1時，n為負整數(shù)，由第一個非零數(shù)字前零的個數(shù)決定；確定a、n的值成為解題的關鍵．據(jù)此求解即可．【詳解】解：．故選：C．5.如圖，，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)全等三角形對應角相等得到，由三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故選：B6.下列由、、組成的三角形中，是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【詳解】解：、，故線段、、組成的三角形不是直角三角形，本選項不符合題意；B、，故線段、、組成的三角形不是直角三角形，本選項不符合題意；C、，故線段、、組成的三角形是等邊三角形，不是直角三角形，本選項不符合題意；D、，故線段、、組成的三角形是直角三角形，本選項符合題意．故選：D．7.若且，則代數(shù)式的值等于（）A.-2 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】運用多項式乘以多項式法則，化簡，再將，整體代入即可解題．【詳解】當，時原式故選：A．【點睛】本題考查整式的乘法，代數(shù)式求值，其中涉及多項式乘以多項式、整體代入法等知識，是常見基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．8.雨傘在開合過程中某一時刻截面圖如圖所示，傘骨，點分別是的中點，是支架，且，在將傘打開的過程中，總有，這里得到兩個三角形全等的依據(jù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定．證明，又由，，即可證明．【詳解】解：∵，點分別是的中點，∴，∵，，∴，故選：C9.如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點均在格點上，是與網(wǎng)格線的交點，則的長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積．先通過勾股定理和逆定理證明出，再用等面積法求出，即可求出．【詳解】解：根據(jù)題意利用勾股定理計算出：，，∴是直角三角形，，，，解得：，∴，故選：B．10.如圖，，，交于點，是中點，過點作交于點．在線段上，且，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作點P關于的對稱點F，過點M作交于點E，連接，，得到，利用平行線分線段得到，求出，證明四邊形是平行四邊形，得到，由此，當F，M，E三點共線時，的值最小，即線段的長，證是等邊三角形，，利用勾股定理求出．【詳解】解：作點P關于的對稱點F，過點M作交于點E，連接，，∵，，∴，∵，∴，∵，是中點，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，當F，M，E三點共線時，的值最小，即線段的長，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各知識點并綜合應用是解題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）11.若分式有意義，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】本題考查分式有意義的條件；理解分母不能等于0是解題的關鍵．分式有意義的條件是分母不等于0．據(jù)此進行解答即可．【詳解】解：分式有意義，則，所以，故答案為：．12.計算：_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義即可求出答案．【詳解】∵，∴，故答案為1.【點睛】本題考查零指數(shù)冪的意義，解題的關鍵是熟練運用零指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎題型．13.若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為，則它的頂角度數(shù)為_____________°．【答案】100【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形兩底角相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結合等腰三角形兩底角相等，求出它的頂角度數(shù)即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個底角的度數(shù)為，∴它的頂角度數(shù)為：，故答案為：100．14.如圖，是的角平分線，，．過點作，垂足為，若，則的面積為__________．【答案】10【解析】【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，過點D作于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形的面積公式計算．詳解】解：過點D作于點H，∵是的角平分線，，，∴，∴，故答案為：10．15.一個長方形的面積為，長為，則該長方形的寬為__________．【答案】##【解析】【分析】此題考查二次根式的除法的應用，根據(jù)題意，用長方形的面積除以長即可得到寬．【詳解】解：一個長方形的面積為，長為，則該長方形的寬為，故答案為．16.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．在一次數(shù)學活動中，小明利用如圖1所示的5個連排正方形，分割后拼成如圖2所示的一個大正方形，就得到了“趙爽弦圖”．若圖1中的小正方形邊長為1，則圖中的大正方形的邊長為__________．【答案】【解析】【分析】此題考查了正方形的面積和邊長、求算術平方根等知識，根據(jù)題意得到大正方形的面積為，利用正方形的面積和算術平方根即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，大正方形的面積為，∴圖中的大正方形的邊長為，故答案為：17.學校綠化養(yǎng)護原本采用漫灌的方式，噸水可用天．為了節(jié)約用水，現(xiàn)采用噴灌的方式，噸水可多用10天，則漫灌每天的用水量是噴灌每天用水量的__________倍．【答案】【解析】【分析】此題考查列代數(shù)式（分式），掌握基本的數(shù)量關系：水的總量天數(shù)每一天的用水量是解決問題的關鍵．首先求得漫灌方式每天的用水量為噸，噴灌方式每天的用水量為噸，用原來的減去現(xiàn)在的列出算式，進一步計算得出答案即可．【詳解】解：漫灌方式每天的用水量為噸，噴灌方式每天的用水量為噸，根據(jù)題意，得．故答案為：18.對于結論“周長一定的長方形長和寬相等時面積最大”，小明通過右側的圖形割補用特例進行了說明：如圖，將圖1中周長為8的長方形裁成長方形（邊長為2和）和長方形，并拼成圖2．由面積相等得：，所以，當時，長方形面積取得最大值為4．據(jù)此可得，代數(shù)式的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了多項式乘多項式與圖形面積．先將代數(shù)式化為，根據(jù)題中圖形面積的求法畫出相應的圖形，求出的最大值，進而求出的最大值．【詳解】解：依題意有，當時，如圖，陰影部分是邊長為的正方形，∴，當時，如圖，陰影部分是邊長為的正方形，∴，當時，該長方形為邊長是6的正方形，邊長是和長方形的最大面積是36，的最大值為．故答案為：三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.計算和分解因式（1）計算：；（2）分解因式：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了二次根式的化簡，合并同類二次根式，因式分解等知識，掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．20.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此題考查了整式的混合運算和分式的混合運算，正確計算是解題的關鍵．（1）利用完全平方公式和平方差公式展開，再合并同類項即可；（2）先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算乘法即可．【小問1詳解】解：小問2詳解】21.如圖，的頂點的坐標分別為，，．（1）判斷與之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）作出關于軸對稱的圖形．【答案】（1），理由見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了作軸對稱圖形，勾股定理．（1）根據(jù)，，，由坐標系中兩點距離公式求出，，得出；（2）作出點A、B、C關于y軸的對稱點、、，然后順次連接即可．【小問1詳解】解：，理由如下，∵，，，∴，，∴，故答案為：；【小問2詳解】解：如圖，即為所求作的三角形；．22.如圖，點在同一條直線上，．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）3【解析】【分析】此題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由此根據(jù)證明三角形全等；（2）根據(jù)三角形的全等的性質(zhì)得到，由此求出的長．【小問1詳解】證明：∵．∴∵∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，即，∴．23.近期，如皋的早茶文化深受廣大人民的歡迎和喜愛，通過互聯(lián)網(wǎng)的傳播，吸引了不少外地游客前來品嘗．小嚴和小許商量一起來如皋體驗，下面是兩人的聊天記錄．請根據(jù)他們的對話，分別求出小嚴和小許的速度．【答案】小許的速度為公里／小時，小嚴的速度為公里／小時．【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用．設小許的速度為公里／小時，則小嚴的速度為公里／小時，根據(jù)“小嚴晚15分鐘出發(fā)”列分式方程，求解即可．【詳解】解：設小許的速度為公里／小時，則小嚴的速度為公里／小時，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，，答：小許的速度為公里／小時，小嚴的速度為公里／小時．24.在中，，，．（1）求的長；（2）點為上的一點，將沿直線翻折，點恰好落在邊上的點處．請利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出的長．【答案】（1）；（2）圖見解析，．【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖－作角平分線，勾股定理與折疊問題．（1）根據(jù)勾股定理計算即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，設，則，在中，利用勾股定理列式計算即可求解．【小問1詳解】解：∵，，，∴；小問2詳解】解：如圖，點即為所求作，∵將沿直線翻折，點恰好落在邊上的點處，∴，，∴，設，則，在中，，即，解得，∴．25.如圖，是等邊三角形，點在邊上，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，點在上，是等邊三角形，交于點，連接，求證：；（3）在（2）的條件下，與的面積之比是，求的值．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識．（1）根據(jù)全等三角形的定義得到，由平行線的性質(zhì)得到，即可證明是等邊三角形，則，即可得到結論；（2）是等邊三角形，是等邊三角形，則，即可得到，即可證明；（3）連接，證明，則，由與的面積之比是得到，則與的面積之比是，設的面積為，則的面積為，設的面積為，則的面積，得到的面積為，的面積為，則與的面積之比是，得到與的面積之比是，得到，即，，即可得到的值．【小問1詳解】∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；【小問2詳解】∵是等邊三角形，是等邊三角形，∴，∴，∴；【小問3詳解】連接，∵是等邊三角形，是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵與的面積之比是，∴，∴與面積之比是，設的面積為，則的面積為