四川省樂山市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

機(jī)密★啟用前〔考試時(shí)間：2024年7月3日下午15：00-17：00〕樂山市高中2025屆期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.22.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列的（）A.第11項(xiàng) B.第12項(xiàng) C.第13項(xiàng) D.第14項(xiàng)3.對變量x，y由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖1；對變量u，v由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖2．表示變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量u，v之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）A.變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B.變量x與y呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且C.變量u與v呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D.變量u與v呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且4.某校準(zhǔn)備從甲、乙等7人中選出4人參加社區(qū)服務(wù)工作，要求甲、乙至少有1人參加，則不同的方法有（）A.35種 B.30種 C.25種 D.20種5.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程一種數(shù)值解法——牛頓法．設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點(diǎn)做曲線的切線，與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；過點(diǎn)做曲線的切線，則該切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值．則（）A B. C. D.6.某市組織5名志愿者到當(dāng)?shù)厝齻€(gè)學(xué)校開展活動(dòng)，要求每個(gè)學(xué)校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一個(gè)學(xué)校，則不同的派出方法有（）A.240種 B.150種 C.120種 D.60種7.某次大型聯(lián)考名學(xué)生參加，考試成績（滿分分）近似服從正態(tài)分布（其中和分別為樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差），若本次考試平均成績?yōu)榉?，分以上共有人，學(xué)生甲的成績?yōu)榉?，則學(xué)生甲的名次大致是（）名．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．A. B. C. D.8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)離散型隨機(jī)變量滿足，則下列說法正確是（）A. B. C. D.10.已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.最小值為11.若，則（）A. B.C. D.12.在數(shù)列中，，，若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)λ的值可以是（）A.1 B.0 C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.由數(shù)字2，3，4，5可組成________個(gè)三位數(shù)（各位上數(shù)字可重復(fù)，用數(shù)字作答）．14.一個(gè)不透明的箱子中有5個(gè)小球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)小球，其中一個(gè)是白球，則另一個(gè)也是白球的概率是________．15.數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)________．16.已知函數(shù)，若有解，則a的取值范圍是____________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．17.某游泳俱樂部為了解中學(xué)生對游泳是否有興趣，從某中學(xué)隨機(jī)抽取男生和女生各50人進(jìn)行調(diào)查，對游泳有興趣的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，女生中有5人對游泳沒有興趣．（1）完成下面2×2列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計(jì)男女合計(jì)（2）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游泳興趣跟性別有關(guān)？附：，其中．α0.100.050.010.00527063.8416.6357.87918.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．19.2020年至2023年全國糧食年產(chǎn)量y（單位：萬萬噸）的數(shù)據(jù)如下表：年份2020202120222023年份代號(hào)x1234總產(chǎn)量y6.696.826.866.95（1）請用相關(guān)系數(shù)判斷關(guān)于的線性相關(guān)程度（計(jì)算時(shí)精確到小數(shù)點(diǎn)后2位，若，則線性相關(guān)程度較高，若，則線性相關(guān)程度一般）；（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2025年全國糧食年產(chǎn)量．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距．參考數(shù)據(jù)：，，．20.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列單調(diào)遞增，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：．21.某?；@球隊(duì)舉行投籃與傳球訓(xùn)練：（1）投籃規(guī)則如下：每名隊(duì)員用一組籃球定點(diǎn)投籃，一組3個(gè)球，先投2個(gè)普通球，再投1個(gè)花球．記投進(jìn)一個(gè)普通球得1分，普通球投進(jìn)的概率為；投進(jìn)一個(gè)花球得2分，花球投進(jìn)的概率為．記某隊(duì)員進(jìn)行一組定點(diǎn)投籃訓(xùn)練后得分為，求的分布列和期望;（2）現(xiàn)選投籃成績最好的3名隊(duì)員進(jìn)行傳球展示，從甲開始，每次等可能地傳給另外兩名隊(duì)員，接到球的隊(duì)員又等可能地傳給另外兩名隊(duì)員，如此反復(fù)，假設(shè)傳出的球都能接?。髠髁舜吻蚝螅蛟诩资稚系母怕剩?2.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若，求證：．機(jī)密★啟用前〔考試時(shí)間：2024年7月3日下午15：00-17：00〕樂山市高中2025屆期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入求值即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：A2.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列的（）A.第11項(xiàng) B.第12項(xiàng) C.第13項(xiàng) D.第14項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】將,變形為,根據(jù)數(shù)列,可知是數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求得答案.【詳解】根據(jù)數(shù)列1，，，，3，…，，又，,解得，故選:D.3.對變量x，y由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖1；對變量u，v由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖2．表示變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量u，v之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）A.變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B.變量x與y呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且C.變量u與v呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D.變量u與v呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且【答案】A【解析】【分析】利用散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的知識(shí)可得答案.詳解】觀察散點(diǎn)圖，得變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)，變量u與v呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，BC錯(cuò)誤；圖1中各點(diǎn)比圖2中各點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，因此，A正確，D錯(cuò)誤.故選：A4.某校準(zhǔn)備從甲、乙等7人中選出4人參加社區(qū)服務(wù)工作，要求甲、乙至少有1人參加，則不同的方法有（）A.35種 B.30種 C.25種 D.20種【答案】B【解析】【分析】利用組合計(jì)數(shù)問題，結(jié)合排除法列式計(jì)算即得.【詳解】從7人中任選4人有種方法，從不含甲乙的5人中任選4人有種方法，所以所求選法種數(shù)為.故選：B5.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點(diǎn)做曲線的切線，與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；過點(diǎn)做曲線的切線，則該切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值．則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目所給定義，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可求解.【詳解】由題意可得，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得過點(diǎn)做曲線的切線的斜率，所以，整理得，所以，，所以過點(diǎn)做曲線的切線的斜率，設(shè)該切線為，則，整理得，所以，故選：C6.某市組織5名志愿者到當(dāng)?shù)厝齻€(gè)學(xué)校開展活動(dòng)，要求每個(gè)學(xué)校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一個(gè)學(xué)校，則不同的派出方法有（）A.240種 B.150種 C.120種 D.60種【答案】B【解析】【分析】先將人分為組，再分配到三個(gè)學(xué)校去即可.【詳解】人數(shù)分配上有和兩種情況，當(dāng)為時(shí)，不同的派出方法有種，當(dāng)為時(shí)，不同的派出方法有種，所以不同的派出方法有種.故選：B.7.某次大型聯(lián)考名學(xué)生參加，考試成績（滿分分）近似服從正態(tài)分布（其中和分別為樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差），若本次考試平均成績?yōu)榉郑忠陨瞎灿腥?，學(xué)生甲的成績?yōu)榉?，則學(xué)生甲的名次大致是（）名．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，得到，利用正態(tài)分布的對稱性得出，即可求解.【詳解】由題知，，所以，得到，所以，得到學(xué)生甲的名次大致是，故選：D.8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，求出，從而有，再利用累加法，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，所以①②得到，當(dāng)，，滿足，所以，得到，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)離散型隨機(jī)變量滿足，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，將代入即可判斷A；根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式和方差公式即可判斷BC；根據(jù)期望的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量滿足，所以，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10.已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差d及首項(xiàng)，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】依題意，，解得，對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，由，得，即數(shù)列前5項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)起為正數(shù)，因此，D正確.故選：BCD11.若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】令，變形并求出展開式的通項(xiàng)，借助賦值法計(jì)算判斷ABC；求出的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)式定理判斷D.【詳解】令，有，，則展開式的通項(xiàng)為，對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，顯然是展開式中項(xiàng)的系數(shù)，即，因此，B正確；對于C，展開式中不含奇數(shù)次冪的項(xiàng)，即，又，因此，C正確；對于D，，，D錯(cuò)誤.故選：BC12.在數(shù)列中，，，若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)λ的值可以是（）A.1 B.0 C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)條件，利用累加法得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成恒成立，令，利用數(shù)列的單調(diào)性得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又，所以，又時(shí)，滿足，所以，由，得到，令，則，當(dāng)時(shí)，，得到，當(dāng)時(shí)，，所以，又，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，得到，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，得到，所以，故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于使恒成立，令，利用數(shù)列的單調(diào)性得到，再分取奇數(shù)和偶數(shù)，即可求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.由數(shù)字2，3，4，5可組成________個(gè)三位數(shù)（各位上數(shù)字可重復(fù)，用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】由題意每位數(shù)都有種取法，所以由數(shù)字2，3，4，5可組成個(gè)三位數(shù).故答案為：.14.一個(gè)不透明的箱子中有5個(gè)小球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)小球，其中一個(gè)是白球，則另一個(gè)也是白球的概率是________．【答案】【解析】【分析】記事件“一個(gè)是白球”，事件“另一個(gè)是白球”，求出，再由條件概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】記事件“一個(gè)是白球”，則，事件“另一個(gè)是白球”，則，由條件概率公式得，則任取兩個(gè)小球，其中一個(gè)是白球，則另一個(gè)也是白球的概率為.故答案為：.15.數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)________．【答案】【解析】【分析】由已知條件可得，解得，即可得到答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，且，由已知得，化簡，得，解得，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，若有解，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，可知其為增函數(shù)，則，再轉(zhuǎn)化為有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】由，得，所以，所以，所以令，則，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以，所以有解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，得，即a的取值范圍是為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式能成立的問題，解題的關(guān)鍵是化簡變形得，再構(gòu)造函數(shù)，現(xiàn)再次轉(zhuǎn)化為，再變形化簡，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．17.某游泳俱樂部為了解中學(xué)生對游泳是否有興趣，從某中學(xué)隨機(jī)抽取男生和女生各50人進(jìn)行調(diào)查，對游泳有興趣的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，女生中有5人對游泳沒有興趣．（1）完成下面2×2列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計(jì)男女合計(jì)（2）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游泳興趣跟性別有關(guān)？附：，其中．α0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）能【解析】【分析】（1）根據(jù)條件知對游泳有興趣的總?cè)藬?shù)為80，女生中對游泳有興趣的人數(shù)為45人，男生中對游泳有興趣的人數(shù)為35人，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，計(jì)算出，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題知對游泳有興趣的總?cè)藬?shù)為，又女生中有5人對游泳沒有興趣，所以女生中對游泳有興趣的人數(shù)為45人，男生中對游泳有興趣的人數(shù)為35人，男生中有15人對游泳沒有興趣，故2×2列聯(lián)表如下表：有興趣沒有興趣合計(jì)男351550女45550合計(jì)8020100【小問2詳解】由（1）知，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為游泳興趣跟性別有關(guān).18.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)單調(diào)性．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即得.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按為正負(fù)0分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.19.2020年至2023年全國糧食年產(chǎn)量y（單位：萬萬噸）的數(shù)據(jù)如下表：年份2020202120222023年份代號(hào)x1234總產(chǎn)量y6.696.826866.95（1）請用相關(guān)系數(shù)判斷關(guān)于的線性相關(guān)程度（計(jì)算時(shí)精確到小數(shù)點(diǎn)后2位，若，則線性相關(guān)程度較高，若，則線性相關(guān)程度一般）；（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2025年全國糧食年產(chǎn)量．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】（1）線性相關(guān)程度較高（2）；萬萬噸【解析】【分析】（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出相關(guān)系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)計(jì)算出回歸方程的系數(shù)得出回歸方程，然后將代入回歸方程即可求解.【小問1詳解】，，，，，因?yàn)?，所以線性相關(guān)程度較高；【小問2詳解】，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以2025年全國糧食年產(chǎn)量為萬萬噸.20.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列單調(diào)遞增，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：．【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比和公差，即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由，，，得，解得或，所以或；【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，則，故，則，①，②由①②得，所以，令，則，所以，所以，所以．21.某?；@球隊(duì)舉行投籃與傳球訓(xùn)練：（1）投籃規(guī)則如下：每名隊(duì)員用一組籃球定點(diǎn)投籃，一組3個(gè)球，先投2個(gè)普通球，再投1個(gè)花球．記投進(jìn)一個(gè)普通球得1分，普通球投進(jìn)概率為；投進(jìn)一個(gè)花球得2分，花球投進(jìn)的概率為．記某隊(duì)員