2025北京石景山初三（上）期末數(shù)學(xué)試題及答案

2025北京石景山初三（上）期末數(shù)學(xué)學(xué)校姓名準(zhǔn)考證號(hào)1．本試卷共8頁(yè)，共三道大題，28道小題，滿分100分?？荚嚂r(shí)間1202．在答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)?？忌氈?．試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，選擇題、作圖題請(qǐng)用2B鉛筆作答，其他試題請(qǐng)用黑色字跡簽字筆作答，在試卷上作答無(wú)效。4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。第一部分選擇題一、選擇題（本題共16分，每小題2下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．．．1．若350，則下列比例式正確的是y=x()x5x3xy35yx（A）=（B）=（C）=（D）=y35y352．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線為（A）y=(x+2（B）y=(x?2（C）y=x2+1（D）y=x2?13．半徑為6的圓中，60的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（A）（B）3π（C）4π（D）6π64．若點(diǎn)(x,，B(x,1)，C(x,2)都在反比例函數(shù)y=的圖象上，則x1，x，x的大小關(guān)系是31232x（A）123（）Bxxx（）CxxxDxxx（）13A2133212O5．如圖，是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)．若CB，則∠D的度數(shù)為=BC（A）125°（C）145°（B）135°（D）155°DBFD6．二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c0，那么它的圖象OAC一定不經(jīng)過(guò)．．．E（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限7．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．若CF=7，=9，則△ABC的周長(zhǎng)為（A）16（C）25（B）23（D）32y=ax2+bx+c(a，c0)的自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：8．二次函數(shù)xy2102…………cm給出下面三個(gè)結(jié)論：①a0；②m0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別為x=1，x=?3．12上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分非選擇題二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．若兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比是2:3，則它們的面積比是．10．如圖，直線AB∥EF∥CD，EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，．若AE=1ED=2，則的值為．AB300020001000BEFACO0.10.20.32CD第10題圖第題圖第12題圖．如圖，斜坡AB的坡度為1:3，坡面AB的長(zhǎng)為10m，則坡頂B到水平地面AC的距離為m．12．在壓力不變的情況下，某物體所受到的壓強(qiáng)p()是它的受力面積S(2)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．當(dāng)S=0.2m2時(shí)，該物體所受到的壓強(qiáng)為13．寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，滿足：當(dāng)x<0y隨x的增大而增大，則此函數(shù)表達(dá)式可以14．若拋物線y=x2?x+c（c是常數(shù)）的頂點(diǎn)在x軸上，則c的值是Pa．為．15．中國(guó)古書(shū)《數(shù)理精蘊(yùn)》中有一道題：今有一座古方城，四面正中都開(kāi)門(mén)，南門(mén)直行八里止，腳下有座塔聳立，又出西門(mén)二里停，切城角恰見(jiàn)塔形，請(qǐng)問(wèn)諸君能算者，方城每邊長(zhǎng)是幾?大意如下：如圖所示，有一座正方形城池，四面城墻的正中都有城門(mén)，出南門(mén)E直行8里到寶塔A處（即EA=8里，EA⊥EC北FBCE．．出西門(mén)F直行2里到B處（即FB=2里，F(xiàn)B⊥FCC看見(jiàn)寶塔A（即B，C，AA的邊長(zhǎng)）是多少里？根據(jù)以上信息，算出這座方城每一面的城墻長(zhǎng)是16．如圖，在Rt△ABO中，∠AOB=90，OA=4，OB=3，⊙O的半徑為1，PAB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O里．O的切線，切點(diǎn)為COP交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．CD（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，sin的值為；2CD的長(zhǎng)最小時(shí)，sin的值為．APB三、解答題（本題共分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．計(jì)算：23cos30．18．已知：在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=23，解這個(gè)直角三角形．A已知：⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．求作：直線和直線PB，使得切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B．作法：如圖，BC①連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q；②以點(diǎn)Q為圓心，OQ的長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B；③作直線和直線PB．所以直線和PB就是所求作的直線．PO根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1（2）完成下面的證明．證明：連接OA，OB．∵OP是⊙Q的直徑，∴∠OAP＝∠OBP＝①（②．∴⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴，PB是⊙O的切線（③20．已知：二次函數(shù)y=x2++3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(．?（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式，并用配方法求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫(huà)出此函數(shù)的圖象．21．E為F．（1）求證：△；ADE1=，30，=1，（2）連接交AE于點(diǎn)G，若2F直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)為，EG的長(zhǎng)為．BC22．小慧家的圓形桌面被損壞，殘留下的一部分如圖所示．小慧想重新配塊同樣大小的圓形桌面，進(jìn)行了如下操作：首先在殘留桌面的圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，其次測(cè)量出AB＝40cm，CD＝10cm，請(qǐng)幫助小慧求出此圓形桌面的半徑．CDAB23．首鋼園區(qū)內(nèi)的石景山被譽(yù)為“燕都第一仙山”，石景山上的功碑閣作為石景山區(qū)地標(biāo)性建筑之一，彰顯著地域文化魅力與歷史底蘊(yùn)．某校社會(huì)實(shí)踐小組選擇了一處開(kāi)闊平坦的區(qū)域進(jìn)行測(cè)量活動(dòng)．如圖，EF是水平地面，在F處用高1.2m的測(cè)角儀CF測(cè)得功碑閣頂A的仰角為18，然后沿FE方向前行80m到達(dá)G處，在G處測(cè)得功碑閣頂A的仰角為22．根據(jù)以上測(cè)得的數(shù)據(jù)，求功碑閣頂A到水平地面EFtan18，sin18，cos18,tan22，sin22，22ACDBEGF24．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為A，連接OP交⊙O于點(diǎn)B，C為⊙O上一點(diǎn)，CA∥OP．（1）求證：=2BCO；13（2）若AC=2，cos=，求AP的長(zhǎng)．CAPOB25．如圖所示，有一直角梯形的苗圃，它的兩鄰邊借用了成135的墻角(墻足夠長(zhǎng)，另外兩邊由總長(zhǎng)為30m的籬笆圍成．（1）苗圃的面積y（單位：m2）是的長(zhǎng)x（單位：m）的函數(shù)，求該函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；D（2）判斷苗圃的面積能否達(dá)到1602，并說(shuō)明理由．CABy=ax2?2+3(a0)．26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線（1）求該拋物線的對(duì)稱軸；（2）已知點(diǎn)（x,y（x,yx=?2，a?12a+1yy都有，求a的取值1211221范圍．27．如圖，等邊△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，且AD＜BD，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接CD，DE，在直線CD上取一點(diǎn)F，使得∠EFD=60，直線EF與直線BC交于點(diǎn)G．（1）若=，求CGE的度數(shù)（用含（2）用等式表示線段AD與BG的數(shù)量關(guān)系，并證明．AEDFBCG28xOyOCOAB上存在點(diǎn)P，使得CP⊥AB，且=m，則稱點(diǎn)C是弦AB的“m2222（1）如圖，點(diǎn)(,)，B(,?)．2222y21C3ABC2-1C1O12xC421①在點(diǎn)1(2,0)C(0)，2?CC?3)中，弦AB的“倍及點(diǎn)”是；422②若點(diǎn)D是弦AB的“1OD的最大值為；（2）弦AB=1，直線yxb（b0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)，N．若線段MN上3存在點(diǎn)C，使得點(diǎn)C是弦AB的“b的取值范圍．2參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）題號(hào)答案12345678CAADBCDC二、填空題（本題共16分，每小題2分）19．4:910．．115812．5002141513．答案不唯一，如：y=?x214．161）2）.4三、解答題（本題共分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．3217．解：原式=23?41+2222…………5分…………2分=3.18Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=23，ABC233∴tanA===.AC30.9063A=∴∴B=,BC=2=223=43.=B=60AB=43.…………5分∴A30，，191）尺規(guī)作圖，如圖所示.………2分AB（2）；直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑POQ的直線是圓的切線.…………5分20）∵二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，∴(2+(?b+3=8．∴b=?4．…………1分∴∵y=x2?4x+3．y=x2?4x+3x2?4x+?1，（x?2?1.…………2分…………3分∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,.?（2）令y0，得=x2?4x+3=0.即(x?x?=0.∴x=x=3.12∴二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為0)和0).……………4分（3）圖象略.…………………5分211）證明：∵四邊形是矩形，=ADE∵AF⊥AE，∠F＝90，∴F=90．…1分∴G=，=．…………2分F∴△．…3分BC25（2）4；．……………5分22．解：設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為rcmOA，OB．………………1分∵=,CD是AB的垂直平分線，∴點(diǎn)O在直線CD上．CD∵AB40，CD＝10，AB∴DB＝20，OD=r-10．在Rt△中，∠ODB=90.∵OD2+DB2=OB2，O∴(r?10)2+202=r2．解得r25．=答：此圓形桌面的半徑為25cm．…………5分23．解：由題意，C，D，B三點(diǎn)共線，CD=FG=80，==CF=1.2．設(shè)x，則==x+80．…………1分…………2分在Rt△中，90，∠ADB=22=°，°，∴0.4x．=在Rt△ABC中，90，∠ACB=18=∴ABBCACB0.32(x80)．=+………3分A∴0.4x0.32(x80)．……分=+4∴x320．…………分=5∴0.4x128．=DCFBE∴1281.2129.2．=++=G答：功碑閣頂A到水平地面EF的距離約為129.2m.241）證明：∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，…6分=2ACB．…………1分∴∵CA//OP，ACB=∠CBO．∵OC=OB，CEABPOCBO=∠BCO．ACB=∠BCO．AOB=2∠BCO．（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)，AC=2，1…………3分∴AE=AC1．=…………4分2∵與⊙O相切于點(diǎn)A，∴=90．∵CA//OP，…………5分∴∠CAO=∠AOB．13∴CAO==．1==∴．3∴33，==9．==∴在Rt△中，AP=OP2?OA2=62．…………6分25）由題意，DC//AB，B=90，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，30.，∴=B=90=180，∴∴.===∴x2.=?，?==12∴y=?2x+30?x)x3=?x(x?20)23=?x2+30.…………3分2由題意，030且DECB0x∴30?2x0.A解得0x3y=?x2+30x(0x∴…………4分…………5分2（2）判斷：苗圃的面積不能達(dá)到1602.理由如下：333y=?x2+30x=?(x2?20x)=?(x?10)2+150.2223∵0xa=?015，且，2∴當(dāng)x10時(shí)，=y=150.160>150，∴苗圃的面積不能達(dá)到1602.…………6分…………1分2a2a26）拋物線的對(duì)稱軸為：x=?=1.（）點(diǎn)（x,y（x,y.1122設(shè)點(diǎn)(y)關(guān)于對(duì)稱軸x1的對(duì)稱點(diǎn)為A(x,y)，?=111則x?1=1?(2).1∴x=4.1∴A(4,y).…………2分1①若a0，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小.（i）當(dāng)2≤1時(shí)，∵對(duì)于1=?2，a?12a+1，都有yy1，2∴12.∴a1≤2.+?∴a≤3，不符合題意.?（ii）當(dāng)21時(shí)，∵對(duì)于1=?2，a?12a+1，都有yy，12∴xx，即x4.212∴a1≥4.?∴a≥5.…………4分②若a0，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≤1時(shí)，