高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析22函數(shù)的單調(diào)性與最值

綜合復(fù)習(xí)材料

高中資料

高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析:

2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

一、函數(shù)單調(diào)性的判定

1、用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟

設(shè)元取值?.作差（0）變形L:「確定符號(hào)L>［得出結(jié)論〕.

,即：

（1）.取值：即設(shè)小、X2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x<X2.

（2）作差：即f（x1-f（X1）（^f（X1）-f（x2））,并通過(guò)通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷

差的符號(hào)的方向變形。

（3）定號(hào)：根據(jù)給定的區(qū)間和X2-均符號(hào)，確定差f,（X2）-￡卬）（或￡（為）-￡（*2））的符號(hào)。當(dāng)符號(hào)不

確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論。

（4）判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論。

2、利用導(dǎo)數(shù)的基本步驟是：

|求導(dǎo)函數(shù)。確定符號(hào)|r>|得出結(jié)論|

2、求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法

：1）能畫(huà)出圖象的函數(shù)，用圖象法，其思維流程為：

作圖象一|―>|看升降|—）|歸納單調(diào)性（區(qū)間）

：2）由基本初等函數(shù)通過(guò)加、減運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，用轉(zhuǎn)化法，其思維流程為：

N好鼻墻］一1

建I——T梆辟曲——>單調(diào)性（區(qū)間）

4同增異減I—

：3）能求導(dǎo)的用導(dǎo)數(shù)法，其思維流程為：

求導(dǎo)~A―斷f'（X）正、負(fù)~~?單調(diào)性（區(qū)間）

14）能作差變形的用定義法.，其思維流程為：

取值f［作差變形］一>國(guó)號(hào)f［單調(diào)性（區(qū)間）

注.：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制。例如函數(shù)y,=l/x在（-8,0）和（0,+8）

內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說(shuō)它在整個(gè)定義域印（-8,0）U（0，+8）內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開(kāi)寫(xiě)，即函數(shù)的單

調(diào)減區(qū)間為(一8,0)和(0,+8)，不能用“U”

2.例題解析

1例12(2011?江蘇高考)函數(shù)f(x)=log5(2x+l)的單調(diào)增區(qū)間是.

x+2

(2)判斷函數(shù)y=——在(T,+8)上的單調(diào)性.

x+l

【方法詮釋】本例為判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性去判斷；

(2)可用定義法或?qū)?shù)法.

解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?―！，+8),令t=2x+l(t>0),

2

因?yàn)閥=log5t在(0,+8)上為增函數(shù),t=2x+l在(一;，+8)上為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=log5(2x+l)

的單調(diào)增區(qū)間為(一,，+8).

2

答案：(一1>1°°)

2

(2)方法一：定義法：設(shè)XI>X2>T,

ridX[+2x+2x,-x.

則…2可

Vxj>X2>-l,X2-xj<0,xj+l>0,X2+l>0,

x+2

即yi-y9<0?yi<y9-y=------在(T,+8)上是減函數(shù).

x+l

方法二：導(dǎo)數(shù)法：R=(k|y=(x+"弋+2)―i

X+l(x+l)(X+1)

x+2

二在(T,+8)上，y，<0,故？=——[

X+1

在(-1,+8)上為減函數(shù).

K例23求函數(shù):"Jr-X-6的單調(diào)區(qū)間

思路分析：該函數(shù)整體來(lái)說(shuō)是一個(gè)二次根式，首先要考慮被開(kāi)方數(shù)大于等于零，在此基礎(chǔ)上求被開(kāi)方

函數(shù)的單調(diào)性即可.

解析：設(shè)y=Vw，U=X2+X-6.

由—+*-620,得xW-3或x22,

結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，函數(shù)u=x2+x-6在（-8,-3］上是遞減的，在［2,+8）上是遞增的.

又???函數(shù)y=4是遞增，的，，函數(shù)［=,工'+'-6在（_8,-3］上是遞減的，在［2,+8）上是遞增

的.

//、1】+工

/(x)=loga------

R例33設(shè)1-X

（1）試判斷函數(shù)〃（工）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明;

（2）若八%）的反函數(shù)為了’CO,證明:對(duì)任意的自然數(shù)n（n23）,都有'⑻>K；

1?X

解析,：1）*.T-X>0且2—xXO???嶺）的定義域?yàn)椋?LD

判斷〃（力在CLD上是增函數(shù)，下證明之：..............................1分

設(shè)任工卜勺e（-l.ljfixj<...............................2分

x2

W)-%(/)=------y-+崛2^2

?:/-X]4—X]1-X2]一應(yīng)

一勺FjI%([f)(1+“

./(x】)一方(勺)-Qr)(2F(1+XjXl-Xj)..............................................

IX

..XpX2<X3AX,_X1>0)2-X>0,2-2>0

—^125_>0

貝！Q-々)(2-±)........................................................4分

X］.馬€(一口)且X］<X)(1_X］)(l+與)>0且(1+X］)(l-馬)>0?

又丁(1_丸)。+電)_(1+XjXl7“=2(勺—X。>0.

：?(1-片)(1+叼)>0+々)(1_X。>0~

.(1-^)(!+^)(l-^CUx,)……

(l+z^G-Xj)”(l+ijClf)

???〃(勺)?鞏/)>0.則；ra“>力CD-

.，根據(jù)電函數(shù)的定義可知，11在。?八_是墻函數(shù).……6分?

“1+x2’■；

叱證明:由y=/(彳)=log2H得：2Z=-------,x=---，

1-x1-x2'+1

???/“⑸=篙(XW&)??????

當(dāng)B3時(shí)，/-l(w)>——……9分/

"I7+16+1?+1”+】

用數(shù)學(xué)歸納法易證2'>%+1("€”?且月23)證略.……12分

二、應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性

1.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性可求解的問(wèn)題

由的大小，可比較與的大??；

(DxpX2f(xpf(x2)

知與的大小關(guān)系，可得與的大小關(guān)系；

(2)f(xpfix?)X］x2

(3)求解析式中參數(shù)的值或取值范圍；

(4)求函數(shù)的最值；

(5)得到圖象的升、降情況，畫(huà)出函數(shù)圖象的大致形狀.

2.例題解析

1例1H⑴若f(x)為R上的增函數(shù)，則滿足f(2-m)〈f(m2)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(2)已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，尸f(x-2)在［0,2］上是單調(diào)減函數(shù)，試比較f(T),f(0),f(2)的大小.

【方法詮釋】(1)根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得到2F與m2的大小關(guān)系，從而求解.

(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)先得到y(tǒng)=f.(x)在［0,2］上的單調(diào)性或［-2,2］上的圖象，進(jìn)而借助于單調(diào)性

或圖象比較出函數(shù)值的大小.

解析：(1)因?yàn)閒(x)為R上的增函數(shù)，且f(2-m)<f(m2),

則有:2-m<m2,即m2+m-2>0.

解得:m<-2或m>l.

所以m的取值范圍為：(-8,一2)u(1,+8).

答案：(-8,-2)U(1,+8)

(2)方法一：因?yàn)槭琭(x-2)的圖象可由y=f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位而得到，而尸f(x)為偶函數(shù),

其圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，

:、函數(shù)y=f(x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

又y=f(x-2)在［0,2］上單調(diào)遞減，

二函數(shù)y=f(x-2)在［2,4］上單調(diào)遞增,

因此，尸f(x)在［0,2］上單調(diào)遞增,

Xf(-1)=f(1),0<1<2,/.f(2)>f(-1)>f(0).

方法二：由方法一可得函數(shù)y=f(x)在［-2,2］上圖象的大致形狀為

由圖象知f(2)>f(-l)>f(0).

注：1.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，解含有“f”號(hào)的不等式時(shí)，要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為如l"f(g(x))>f(h(x))”

的形式，再利用單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為具體不等式求解，但要注意函數(shù)的定義域.

2.比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單

調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對(duì)于選擇、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.

R例2H已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意a,"R,總有f(a+b)=f(a)+f(b)T,并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>l.

(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)V3；

(3)若關(guān)于x的不等式f(nx-2)+f<2恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

【解析】(1)設(shè)X］,X2￡R，且X］VX2，則X2-xpO,

/.f(x2-x1)>l,

f(x2)-f(xp=f((X2-x1)+x1)-f(xi)

=flx?-X］)+f(xp-1-f(xp

=f(X2-X|)-1>O,

/.f(xp-f(%2)<0,即f(xpVflx?).

???f(x)在R上是增函數(shù).

(2)Vf(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,.*.f(2)=3,

不等式f(3m2-m-2)V3即為

f(3m2-m-2)<f(2).

又在R上是增函數(shù)，

/.3m2-m-2<2,解得-lVmV土

3

因此不等式的解集為加|-1<1?<9｝；

3

(3).令a=b=O,得f(0)=2f(0)-1,Af(0)=1.

Vf(nx-2)+f(x-x2)<2,

即f(nx-2)+f(x-x^)-1<1,

/.f(nx-2+x-x2)<f(0).

由(1)知nx-2+x-x2<0恒成立,

Ax2-(n+l)x+2>0恒成立.

:.△=[-(n+1)]2-4X2<0,

.\-2V2-Kn<272-1.

注：判定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及確定單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵是把復(fù)合函數(shù)分解成已知單調(diào)性的初等函數(shù).另外,

注意不要忽略函數(shù)的定義域.

三、抽象函數(shù)的單調(diào)性及最值

R例已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對(duì)/WR有/'(x)>0,且F(5)=l,設(shè)H*)=f(x)+-------

討論/(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論

解析：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。

在R上任取汨、照，設(shè)為<心，；?/*(照)=f1x。，

尸(々)-F但)="5)+77^]一"a)+

f(x2)/(西)

=[/U)-/(x,)][l-

2fWf(x2^

??"(>)是R上的增函數(shù)，且/'(10)=1,

???當(dāng)x<10時(shí)僅而當(dāng)X>10時(shí)〃x)>l；

①若水至<5,則。"(甩)</*&)<[,

②，0<F(汨)/'(劉)<1,

?,*1------------<0,

/Ui)/U2)

：.FUXF(xi)；

②若的>小>5,則F(照)>f(汨)>1,

f(xi)f(x2)

:.FU)>F(題)

綜上，F(xiàn)(x)在(-8,5)為減函數(shù)，在(5,+8)為增函數(shù)

注：對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目中所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任

意M、照在所給區(qū)間內(nèi)比較￡(用)d(小)與0的大小，或f(W/f(*2)與大小。有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)?/p>

變形：如為二與二或^=x2+M一工2等。

2

K例23已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y￡R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0,f(l)=一一.

3

(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

思路分析：用定義法判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性；求函數(shù)的最值需借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行。

解答：(1)方法一：:函數(shù)f(X)對(duì)于任意x,y￡R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),

令x=y=0,得f(0)=0.再令y=