2024年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)冪函數(shù)與一元二次函數(shù)試卷版

3.5冪函數(shù)與一元二次函數(shù)（精練）1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D2．（2023·江蘇）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過和點C．若冪函數(shù)是奇函數(shù)，則是定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限【答案】D【解析】對于A，當(dāng)時函數(shù)的圖像是一條直線但去掉點，故A錯誤；對于B，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過點，當(dāng)指數(shù)時，都經(jīng)過點，故B錯誤；對于C，冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，且當(dāng)時，函數(shù)是定義域上的增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在和上都為減函數(shù)，故C錯誤；對于D，由于在函數(shù)中，只要，必有，所以冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限，故D正確.故選：D.3．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在均單調(diào)遞減可得即；函數(shù)在均單調(diào)遞減可得，解得，若函數(shù)與均單調(diào)遞減，可得，由題可得所求區(qū)間真包含于，結(jié)合選項，函數(shù)與均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是C故選：C4．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且，由，得或，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，足，不符合題意.綜上.故選：A.5．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若冪函數(shù)定義域為R，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【解析】由題意知，因為其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則.故選：C．6．（2023·北京）已知函數(shù)的值域是，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對于A：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故D正確；故選：D．6．（2023·陜西）已知函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由的定義域為，，則，即，所以，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，當(dāng)，故函數(shù)的值域為.故選：C．7．（2023·海南）已知，并且m、n是方程的兩根，則實數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，又，分別畫出這兩個函數(shù)的圖象，其中的圖象可看成是由的圖象向上平移1個單位得到，如圖，

由圖可知：．故選：A．8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題p：“?x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．－1<a<2 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)<－1 D．－1≤a<2【答案】D【解析】當(dāng)a＝－1時，3>0成立；當(dāng)a≠－1時，需滿足，解得－1<a<2.綜上所述，－1≤a<2.故選：D10．（2023·湖南）已知函數(shù)（b，c為實數(shù)），.若方程有兩個正實數(shù)根，，則的最小值是（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】因為函數(shù)（b，c為實數(shù)），，所以，解得，所以，因為方程有兩個正實數(shù)根，，所以，解得，所以，當(dāng)c=2時，等號成立，所以其最小值是2，故選：B11．（2023山東）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可知是二次函數(shù)，其對稱軸為，要使得函數(shù)在上時是減函數(shù)，則必須，即；故選：C.12．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，當(dāng)時，不等式，即為，解得；當(dāng)時，不等式，即為，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，則a的值為(

)A． B．－3 C．或－3 D．4【答案】C【解析】由題意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；②當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得；③當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．綜上可知，a的值為或－3．故選：C．14．（2023·哈爾濱）（多選）下列是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由解得，所以，函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，故選：AC15．（2023·黑龍江）已知函數(shù)：①，②，③，④，既是偶函數(shù)，又在上為增函數(shù)的是_________．【答案】①④【解析】對于①，設(shè)，定義域為，滿足，故為偶函數(shù)，又，在上為增函數(shù)，符合題意；對于②，定義域為R，且為偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，不符題意；對于③，定義域為R，設(shè)，則，故為奇函數(shù)，不符題意；對于④，定義域為，設(shè)，滿足，故為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，符合題意，故答案為：①④16．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為__________.【答案】【解析】由題意可知，的定義域為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，即，解得，所以關(guān)于的表達(dá)式的解集為.故答案為：.17．（2023春·上海楊浦·高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)，若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上嚴(yán)格遞減，則實數(shù)__________．【答案】【解析】因在上單調(diào)遞減，則；又為偶函數(shù)，則.故答案為：.18．（2023·廣東深圳）若函數(shù)的定義域為，值域為，則m的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題意可得函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，，令，解得或，因為函數(shù)的定義域為，值域為，故，故答案為：19．（2023·四川）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最大值為__________．【答案】30【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)或時，函數(shù)取最大值，最大值為.故答案為：30.20．（2023·內(nèi)蒙古）已知二次函數(shù)，其圖象過點，且滿足，則的解析式為______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，又恒相等，化簡得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式為.故答案為：.1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，成等差數(shù)列，則二次函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】D【解析】由，，成等差數(shù)列，可得，所以，所以二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)為1或2.故選：D.2．（2022·天津·南開中學(xué)二模）已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，因為且，所以當(dāng)時，不可能是增函數(shù)，所以函數(shù)在R上不可能是增函數(shù)，綜上：實數(shù)a的取值范圍為，故選：B3（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】二次函數(shù)，對稱軸為，開口向上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使二次函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間內(nèi)，需，解得故實數(shù)a的取值范圍是故選：C4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若集合中有且只有一個元素，則正實數(shù)的取值范圍是___________【答案】【解析】由題意，不等式且，即，令，所以，所以是一個二次函數(shù)，圖象是確定的一條拋物線，而一次函數(shù)，圖象是過一定點的動直線，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，其中，又因為，結(jié)合圖象，要使得集合中有且只有一個元素，可得，即，解得.即正實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】令，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由函數(shù)都是增函數(shù)，可得為增函數(shù)，，則不等式，即為，即，即，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于區(qū)間，若函數(shù)同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間.若函數(shù)存在“保值”區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時，則有，即方程有兩個不相等的正根，所以，解得；當(dāng)時，則有，則，，即方程有兩個不相等的負(fù)根，所以，解得；當(dāng)時，此時，則，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時，則，即，解得或(舍去)；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為：.故答案為：7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的方程滿足下列條件，求的取值范圍．(1)有兩個正根；(2)一個根大于，一個根小于；(3)一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；(4)一個根小于，一個根大于；(5)兩個根都在內(nèi)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）令，設(shè)的兩個根為.由題得，解得.（2）若方程的一個根大于，一個根小于，則，解得（3）若方程一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)，則，解得（4）若方程的一個根小于，一個根大于，則，解得（5）若方程的兩個根都在內(nèi)，則，解得8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若不等式的解集為[1，2]，求不等式的解集；(2)若對于任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)已知，若方程在有解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，，(2)(3)[0，1）．【解析】（1）解：若不等式的解集為，，即1，2是方程的兩個根，則，即，則，由得，即得，得或，即不等式的解集為，，．（2）解:不等式恒成立，即在，恒成立，令，，，則，令，解得：，故在，遞增，在，遞減，故（1）或，而（1），，故．（3）解：由得，，即，若方程在，有解，等價為有解，設(shè)，，，，，即，即，則，即實數(shù)的取值范圍是，．9.（2023廣東潮州）設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．【答案】見解析【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1．當(dāng)t＋1<1，即t<0時，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；當(dāng)t>1時，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2．綜上可知，f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.))10．（2023福建福州）已知函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(8x,1＋x2)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2－ax＋1．(1)若對任意x∈R，a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≤geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＋3恒成立，求t的取值范圍．(2)若存在a∈R，對任意x1∈eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))))，總存在唯一x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，2))，使得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))成立，求a的取值范圍．【答案】見解析【解析】(1)因為?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2)＝1＋x2－2x≥0，所以1＋x2≥2x，所以?x∈R，eq\f(2x,1＋x2)≤1，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)＝4，要使對任意x∈R，a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≤geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＋3恒成立，只需feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)≤t2－at＋4，所以t2－at＋4≥4，即－ta＋t2≥0．記heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝－ta＋t2，因為a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，所以只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))≥0，,h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))≥0，))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋t≥0，,t2－t≥0，))解得t≤－1或t＝0或t≥1．故t的取值范圍為t≤－1或t＝0或t≥1．(2)當(dāng)x＝0時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(8x,1＋x2)＝eq\f(8,x＋\f(1,x))，因為x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(8,x＋\f(1,x))∈eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(0，4))))，所以函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))))上的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，4))．因為對任意y∈eq\