2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題32四大分布-兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布

專題32四大分布：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布【考點預(yù)測】一、離散型隨機變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)（1）離散型隨機變量的分布列.表13-1…=1\*GB3①;=2\*GB3②.（2）表示的期望：，反應(yīng)隨機變量的平均水平，若隨機變量滿足，則.（3）表示的方差：，反映隨機變量取值的波動性。越小表明隨機變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機變量滿足，則。二、幾種特殊的分布列、期望、方差（1）兩點分布（又稱0，1分布）011-=，=.（2）二項分布：若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為，則在次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生次概率，稱服從參數(shù)為的二項分布，記作，=，=.（3）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件，，其中為與的較小者，，稱服從參數(shù)為的超幾何分布，記作，此時有公式。三、正態(tài)分布（1）若是正態(tài)隨機變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，（其中是參數(shù)，且，）。其圖像如圖所示，有以下性質(zhì)：=1\*GB3①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對稱；=2\*GB3②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；=3\*GB3③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；=4\*GB3④圖像與軸之間的面積為1.（2）=，=，記作.當(dāng)時，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作.（3），則在，，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。【典型例題】例1．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】隨機變量服從兩點分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯誤；在D中，，故D正確.故選：C.例2．（2024·高三·廣東深圳·期末）一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，至少含有一個黑球的概率是.故選：B.例3．（2024·湖南長沙·一模）若，則當(dāng)，1，2，…，100時（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得：即，化簡得：，又k為整數(shù),可得,所以，故選：C．例4．（2024·廣東佛山·三模）高考是全國性統(tǒng)一考試，因考生體量很大，故高考成績近似服從正態(tài)分布一般正態(tài)分布可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即若，令，則，且．已知選考物理考生總分的全省平均分為460分，該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差為40，現(xiàn)從選考物理的考生中隨機抽取30名考生成績作進(jìn)一步調(diào)研，記為這30名考生分?jǐn)?shù)超過520分的人數(shù)，則（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，．A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668【答案】A【解析】根據(jù)題意則考生分?jǐn)?shù)超過520分的概率根據(jù)題意可得，則故選：A．例5．（2024·山東棗莊·一模）下列命題錯誤的是（

）A．若數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為B．若，則C．若，則D．若為取有限個值的離散型隨機變量，則【答案】D【解析】數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故A正確；，，則，得，，故B正確；，，則，故C正確；為取有限個值的離散型隨機變量，則，故D錯誤．故選：D．例6．（2024·高二·河北唐山·階段練習(xí)）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率.(2)求第次投籃的人是甲的概率.(3)設(shè)隨機事件Y為甲投籃的次數(shù)，，1，2，……，n，求.【解析】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為，由題意得；（2）由題意設(shè)為第次投籃的是甲，則，，又，則是首項為，公比為0.4的等比數(shù)列，，即，第次投籃的人是甲的概率為；（3）由（2）得，由題意得甲第次投籃次數(shù)服從兩點分布，且，，當(dāng)時，，綜上所述，，．例7．（2024·高二·北京·階段練習(xí)）地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記為3人中成績在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在的為A等級，成績在的為B等級，其它為C等級．以樣本估計總體，用頻率代替概率．從所有參加考試的同學(xué)中隨機抽取3人，求獲得等級的人數(shù)不少于2人的概率.【解析】（1）由頻率和為可得，解得.（2）由頻率分布直方圖可得，成績在的三組人數(shù)比為，根據(jù)分層抽樣抽取的成績在的三組人數(shù)為，所以的可能取值為.，，，所以的分布列為（3）由題意，成績?yōu)锳,B,C等級的頻率分別為，設(shè)從所有參加考試的同學(xué)中隨機抽取3人，獲得B等級的人數(shù)為，則服從二項分布，所以獲得B等級的人數(shù)不少于2人的概率為例8．（2024·陜西西安·三模）每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調(diào)查的人數(shù)101520255贊成的人數(shù)61220122(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；(2)若從年齡在的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進(jìn)行分層抽樣，從中抽取10人參與某項調(diào)查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）因為總共抽取100人進(jìn)行調(diào)查，所以，因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在的概率為，所以．（2）從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取人，不贊成的抽取2人，再從這10人中隨機抽取4人，則隨機變量的可能取值為2，3，4.則，，．所以的分布列為234所以.例9．（2024·陜西西安·二模）某校組織學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，以每分鐘跳繩個數(shù)作為比賽成績（單位：個）.為了解參賽學(xué)生的比賽成績，從參賽學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生的比賽成績作為樣本，整理數(shù)據(jù)并按比賽成績分成，，，，，這6組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計該校學(xué)生跳繩比賽成績的中位數(shù)；(2)若跳繩比賽成績不低于140分的為優(yōu)秀，以這50名學(xué)生跳繩比賽成績的頻率作為概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機抽取3人，記被抽取的比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與期望.【解析】（1）因為，，所以該校學(xué)生比賽成績的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該校學(xué)生比賽成績的中位數(shù)為，則，解得，即該校學(xué)生比賽成績的中位數(shù)為．（2）由頻率分布直方圖可知比賽成績優(yōu)秀的頻率為，則從該校學(xué)生中隨機抽取人，被抽取的學(xué)生比賽成績優(yōu)秀的概率是．由題意可知，則，即，，，所以的分布列為0123故．例10．（2024·全國·模擬預(yù)測）中醫(yī)藥學(xué)是中國古代科學(xué)的瑰寶，也是打開中華文明寶庫的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：規(guī)定成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度低，成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度高.(1)從這100位市民中隨機抽取1人，求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機抽取3人，記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望.【解析】（1）由表格可知，成績在的人數(shù)為，所以，抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為.（2）根據(jù)表格可知，41歲~50歲年齡段中，成績在內(nèi)的人數(shù)為，成績在內(nèi)的人數(shù)為，則隨機抽取1人，這個人是對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.由題意可知，則的可能取值為，則，，，，故的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望.例11．（2024·四川·模擬預(yù)測）據(jù)相關(guān)機構(gòu)調(diào)查表明我國中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項身體指標(biāo)（如肺活量?柔?度?力量?速度?耐力等）自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量?柔?度?力量?速度?而力等多項指標(biāo)出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖?近視等問題依然嚴(yán)重，體育事業(yè)任重道遠(yuǎn).某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日常組織學(xué)生參加中短跑鍛煉，學(xué)校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計她們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點）.

(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績，其中近似為女生短跑平均成績近似為樣本方差，經(jīng)計算得，若從該校女生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在內(nèi)的人數(shù)為，求（結(jié)果保留2個有效數(shù)字）.附參考數(shù)據(jù)：，隨機變量服從正態(tài)分布，則.【解析】（1）估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)為：.（2）由題意知，則，故該校女生短跑成績在內(nèi)的概率，由題意可得，所以，，所以.例12．（2024·高三·廣東湛江·期末）已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.【解析】（1）由題意知每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，所以，則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.（2）因為，所以，依題意可得，所以，因為，所以，又為正整數(shù)，所以的最小值為2001.例13．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）目前,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前,中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知某市年共有名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試,筆試成績,只有筆試成績高于分的學(xué)生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).(1)從報考中小學(xué)教師資格考試的考生中隨機抽取人,求這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率;(2)現(xiàn)有甲、乙、丙名學(xué)生進(jìn)入了面試,且他們通過面試的概率分別為,設(shè)這名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):若,則,,,,.【解析】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”為事件,由已知得:,所以,則,即這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為.（2）的可能取值為,,,,,則隨機變量的分布列為：,.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于的位置，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，當(dāng)時，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）某高三班級有校級優(yōu)秀畢業(yè)生8人，其中男生6人、女生2人，從這8人中隨機選取2人作為班級代表發(fā)言．若選取的第一位是女生，則第二位是男生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記事件為“選取的2人中第一位是女生”，事件為“選取的2人中，1男1女”，則，所以.故選：D.3．（2024·天津南開·一模）已知隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由以及可得，由于，故，，故選：D4．（2024·遼寧遼陽·一模）遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)的方差為（

）A．14.4 B．9.6 C．24 D．48【答案】A【解析】由題意知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，故，從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)故，故選：A二、多選題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．隨機變量X服從兩點分布，若，則B．隨機變量，若，，則C．隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則D．隨機變量X服從正態(tài)分布，且滿足，則隨機變量Y服從正態(tài)分布【答案】BD【解析】對于A，隨機變量X服從兩點分布，由，得，則，A錯誤；對于B，隨機變量，有，，解得，B正確；對于C,隨機變量，則，，C錯誤；對于D，隨機變量X，Y滿足，則，，，因此，D正確．故選：BD6．（2024·遼寧·三模）若隨機變量，下列說法中正確的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】BCD【解析】A選項：因，所以，故A錯誤.B選項：，故B正確.C選項：，故C正確.D選項：，，故D正確.故選：BCD.7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知隨機變量從二項分布，則（

）A． B．C． D．最大時或501【答案】AD【解析】對A，，所以A對；對B，因為，且，所以，所以B錯；對C，因為，所以，所以C錯；對D，因為，由組合數(shù)的性質(zhì)得，最大時或501，所以D對.故選：AD8．（2024·全國·模擬預(yù)測）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測，兩位員工隨機從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（

）A．隨機變量X服從二項分布 B．隨機變量Y服從超幾何分布C． D．【答案】ABD【解析】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知兩個選項均正確；對于D選項，該批產(chǎn)品有M件，則，，因此D正確；對于C選項，假若C正確可得，則D錯誤，矛盾！故C錯誤．故選：ABD.9．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）若，則下列說法正確的有（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由，可得期望為，方差為，對于A中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以A正確；對于B中，因為，即，所以B不正確；對于C中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以C正確；對于D中，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可得，且，可得，所以D正確.故選：ACD.10．（2024·江蘇宿遷·一模）設(shè)隨機變量，其中，下列說法正確的是（

）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù) D．【答案】ACD【解析】隨機變量，則A正確；，則B錯誤；隨機變量，結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線關(guān)于對稱，，則D正確，故選：ACD．11．（2024·新疆·二模）坐式高拉訓(xùn)練器可以鍛煉背闊肌，斜方肌下束.小明是一個健身愛好者，他發(fā)現(xiàn)健身房內(nèi)的坐式高拉訓(xùn)練器鍛煉人群的配重（單位：）符合正態(tài)分布，下列說法正確的是（

）參考數(shù)據(jù)：，A．配重的平均數(shù)為B．C．D．1000個使用該器材的人中，配重超過的有135人【答案】BC【解析】對于A項，由配重（單位：）符合正態(tài)分布可知，配重的平均數(shù)為，故A項錯誤；對于B項，由配重（單位：）符合正態(tài)分布可知，故,故B項正確；對于C項，顯然正確；對于D項，因,故1000個使用該器材的人中，配重超過的約有人，故D項錯誤.故選：BC.三、填空題12．（2024·高三·江西吉安·階段練習(xí)）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么.【答案】【解析】由題意可知，解得.故答案為：.13．（2024·高三·全國·課后作業(yè)）袋中裝有10個大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望.【答案】【解析】設(shè)袋中白球數(shù)為．設(shè)從中任摸個球至少得到個白球為事件，任取兩球無白球為事件，所以，解得，即袋中有5個白球．所以離散型隨機變量的取值可能為：0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123．14．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）甲、乙兩人爭奪一場羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.【答案】/0.4【解析】設(shè)甲獲得冠軍為事件A，比賽共進(jìn)行了3局為事件B，則AB表示在甲獲得冠軍的條件下，比賽共進(jìn)行了3局，，，所以.故答案為：.15．（2024·全國·模擬預(yù)測）小明同學(xué)進(jìn)行射箭訓(xùn)練，每次射擊是否中靶相互獨立，根據(jù)以往訓(xùn)練情況可知小明射擊一次中靶的概率為，則小明射擊3次恰好有2次中靶的概率為．【答案】【解析】由題可知小明同學(xué)射擊3次恰好有2次中靶的概率為.故答案為：.16．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）為舒緩高考壓力，射洪中學(xué)高三年級開展了“葵花心語”活動，每個同學(xué)選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長出三株花苗，則可評為“陽光小組”．已知每顆種子發(fā)芽概率為0.8，全年級恰好共種了500盆，則大概有個小組能評為“陽光小組”．（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）【答案】410【解析】由題意知，每一盆至少長出三株花苗包括“恰好長出三株花苗”和“長出四株花苗”兩種情況，其概率為，即一盆花苗能被評為“陽光小組”的概率為，且被評為“陽光小組”的盆數(shù)服從二項分布，所以500盆花苗中能被評為“陽光小組”的有.故答案為：41017．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知某種零件的尺寸（單位：mm）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且，則估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為．【答案】1600【解析】解法一：因為X服從正態(tài)分布，且，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率，所以估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為．解法二：因為X服從正態(tài)分布，且，所以，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件不合格的概率為，所以估計該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為．故答案為：1600.18．（2024·廣東·一模）隨機變量，若且，則隨機變量的第80百分位數(shù)是.【答案】88【解析】隨機變量，又，則，因此，則，所以隨機變量的第80百分位數(shù)是88.故答案為：8819．（2024·福建·模擬預(yù)測）某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.那么，該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差為.（若，則，，）【答案】【解析】技術(shù)改造前，易知，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，其中，則其優(yōu)品率為；所以優(yōu)品率之差為.故答案為：四、解答題20．（2024·北京石景山·一模）某高?！爸参餇I養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農(nóng)作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設(shè)用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）設(shè)事件為“從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,所以估計為；（2）設(shè)事件為“從第2組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，設(shè)事件為“從第3組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計為，估計為，根據(jù)題意，隨機變量的所有可能取值為0,1,2.3，且；；；，則的分布列為：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.21．（2024·上海長寧·二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個紅球和3個白球；(1)從盒子中隨機抽取出1個球，觀察其顏色后放回，并同時放入與其顏色相同的球3個，然后再從盒子隨機取出1個球，求第二次取出的球是紅球的概率；(2)從盒子中不放回地依次隨機取出2個球，設(shè)2個球中紅球的個數(shù)為，求的分布、期望與方差；【解析】（1）第一次取出紅球的概率為，取出白球的概率為，第一次取出紅球，第二次取出紅球的概率為，第一次取出白球，第二次取出紅球的概率為，所有第二次取出的球是紅球的概率為；（2）的所有可能取值為0，1，2，，所以的分布為，它的期望為，它的方差為.22．（2024·北京朝陽·一模）為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市高中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模論文征文活動.對于參加征文活動的每篇論文，由兩位評委獨立評分，取兩位評委評分的平均數(shù)作為該篇論文的初評得分.從評委甲和評委乙負(fù)責(zé)評審的論文中隨機抽取10篇，這10篇論文的評分情況如下表所示.序號評委甲評分評委乙評分初評得分1678274.528086833617668.547884815708577.56818382784868586874719667771.510648273(1)從這篇論文中隨機抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的概率；(2)從這篇論文中隨機抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不超過的篇數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)對于序號為的論文，設(shè)評委甲的評分為，評委乙的評分為，分別記甲、乙兩位評委對這10篇論文評分的平均數(shù)為，，標(biāo)準(zhǔn)差為，，以作為序號為的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分.對這10篇論文按照初評得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相同?（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）設(shè)事件為從這10篇論文中隨機抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過，又在這10篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的有篇，所以；（2）由已知的可能取值為，，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望為；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)序號為2的論文初評得分排名為第，由已知，，明顯序號為7的論文甲乙兩評委評分均最高，故初評得分排名為第，標(biāo)準(zhǔn)化得分排名仍然為第，現(xiàn)在就看初評得分排名為第的序號為的論文其標(biāo)準(zhǔn)化得分排名是否會發(fā)生變化，根據(jù)表中數(shù)據(jù)觀察可得評委甲的評分波動大，故，所以，即，所以序號為2的論文標(biāo)準(zhǔn)化得分排名為第，所以序號為2的論文的兩種排名結(jié)果相同.23．（2024·高三·河南周口·開學(xué)考試）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船把湯洪波?唐勝杰?江新林送入太空，他們是載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用和發(fā)展階段的第二批航天員，他們的輪換和在軌工作也趨于常態(tài)化，主要包括人員和物資的正常輪換補給?空間站組合體平臺照料?在軌實（試）驗?開展科普及公益活動以及異常情況處置等工作．空間站的公益活動是與大眾比較接近和感興趣的空間站的工作任務(wù)．為了解學(xué)生對空間站的公益活動是否感興趣，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機抽取300名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)：對空間站開展的公益活動感興趣對空間站開展的公益活動不感興趣合計男生120女生60合計已知從這300名學(xué)生中隨機抽取1人，抽到對此項活動感興趣的學(xué)生的概率為．(1)將上述列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對空間站開展的公益活動感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？(2)該學(xué)校對參與問卷調(diào)查的學(xué)生按性別，利用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，從對此項活動感興趣的學(xué)生中抽取7人組成“我國載人航天事跡”宣傳小組，從這7人中任選3人，隨機變量表示3人中女生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828參考公式：，其中．【解析】（1）因為從這300名學(xué)生中隨機抽取1人，抽到對此感興趣的學(xué)生的概率為，所以對此項活動感興趣的學(xué)生數(shù)為人，不感興趣的有90人，所以列聯(lián)表為：對空間站開展的公益活動感興趣對空間站開展的公益活動不感興趣合計男生12030150女生9060150合計21090300零假設(shè)為：對空間站開展的公益活動感興趣與性別無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表，經(jīng)計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為對該項目感興趣與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．（2）由分層隨機抽樣知在抽取的7人中，男生有人，女生有人，所以隨機變量可能的取值為，，，所以分布列為：0123所以．24．（2024·高三·遼寧沈陽·期末）為了解某藥物在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：隨機抽取100只小鼠，給服該種藥物，每只小鼠給服的藥物濃度相同、體積相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)藥物的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到如下直方圖：(1)求殘留百分比直方圖中的值；(2)估計該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(3)在體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠中任取3只，設(shè)其中體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠為只，求的分布列和期望.【解析】（1）由題知，，解得.（2）由圖知，.（3）體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間內(nèi)的頻率為，位于內(nèi)的頻率為.則百分比位于區(qū)間內(nèi)的小鼠有10只，位于內(nèi)的小鼠有5只，X的所有取值為0,1,2,3，所以，，，，所以，的分布列如下：0123由期望公式得.25．（2024·高三·江蘇南京·期中）為弘揚中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動．競賽共有和兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道類試題得10分；每答對1道類試題得20分，答錯都不得分．每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)類試題中有7道題能答對，而他答對各道類試題的概率均為．(1)若該同學(xué)只抽取3道類試題作答，設(shè)表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求的分布和期望；(2)若該同學(xué)在類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率．【解析】（1），，，所以X的分布為X0102030P所以（2）記“該同學(xué)僅答對1道題”為事件M.這次競賽中該同學(xué)僅答對1道題得概率為.26．（2024·高三·重慶渝中·期中）2023年9月23日第19屆亞運會在中國杭州舉行，其中電子競技第一次列為正式比賽項目．某中學(xué)對該校男女學(xué)生是否喜歡電子競技進(jìn)行了調(diào)查，隨機調(diào)查了男女生人數(shù)各200人，得到如下數(shù)據(jù)：男生女生合計喜歡120100220不喜歡80100180合計200200400(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，采用小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對電子競技的喜歡情況與性別有關(guān)？(2)為弄清學(xué)生不喜歡電子競技的原因，采用分層抽樣的方法從調(diào)查的不喜歡電子競技的學(xué)生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進(jìn)行面對面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；(3)將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學(xué)生中隨機抽取10人，記其中對電子競技喜歡的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.150.100.050.0250.012.0722.7063.8415.0246.635【解析】（1）列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計喜歡不喜歡合計零假設(shè)該校學(xué)生對電子競技的喜歡情況與性別無關(guān)，，，采用小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，即能認(rèn)為該校學(xué)生對電子競技的喜歡情況與性別有關(guān)，（2）采用分層抽樣的方法從抽取的不喜歡電子競技的學(xué)生中隨機抽取9人，這9人中男生的人數(shù)為4，女生的人數(shù)為5，再從這9人中抽取3人進(jìn)行面對面交流，“至少抽到一名男生”的概率為．（3）由題意可知喜歡電子競技的概率為，所以，故．27．（2024·陜西漢中·模擬預(yù)測）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗，3人沒有支教經(jīng)驗．(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率；(2)求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)的分布列；【解析】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；（2）X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：X012P0.10.60.328．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）“十四冬”群眾運動會于2024年1月13日至14日在呼和浩特市舉辦，有速度滑冰、越野滑雪等項目，參加的運動員是來自全國各地的滑冰與滑雪愛好者．運動會期間，運動員與觀眾讓現(xiàn)場熱“雪”沸騰，激發(fā)了人們對滑冰等項目的熱愛，同時也推動了當(dāng)?shù)厣鐣?jīng)濟的發(fā)展．呼和浩特市某媒體為調(diào)查本市市民對“運動會”的了解情況，在15~65歲的市民中進(jìn)行了一次知識問卷調(diào)查（參加者只能參加一次）．從中隨機抽取100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡群體分成以下五組：，繪制得到了如圖所示的頻率分布直方圖，把年齡在區(qū)間和內(nèi)的人分別稱為“青少年群體”和“中老年群體”．(1)若“青少年群體”中有40人關(guān)注“運動會”，根據(jù)樣本頻率分布直方圖完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷關(guān)注“運動會”是否與年齡樣體有關(guān)；年齡群體運動會合計關(guān)注不關(guān)注青少年群體40中老年群體合計6040100(2)利用按比例分層抽樣的方法，在樣本中從關(guān)注“運動會”的“青少年群體”與“中老年群體”中隨機抽取6人，再從這6人中隨機選取3人進(jìn)行專訪．設(shè)這3人中“青少年群體”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.828【解析】（1）由題意可知“青少年群體”共有（人），“中老年群體”共有（人），所以列聯(lián)表如下：年齡群體運動會合計關(guān)注不關(guān)注青少年群體401555中老年群體202545合計6040100零假設(shè)為：關(guān)注“運動會”與年齡群體無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為關(guān)注“運動會”與“年齡群體”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．（2）樣本中“青少年群體”關(guān)注“運動會”的有40人，“中老年群體”關(guān)注“運動會”的有20人，按比例分層抽樣的方法抽取6人，則“青少年群體”應(yīng)抽取4人，“中老年群體”應(yīng)抽取2人，則的所有可能取值為1，2，3，所以，，故隨機變量的分布列為123所以．29．（2024·全國·模擬預(yù)測）課堂上，老師為了講解“利用組合數(shù)計算古典概型的問題”，準(zhǔn)備了x（）個不同的盒子，上面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，每個盒子準(zhǔn)備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎勵”的字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣．第1個盒子放有1張“巨額獎勵”，張“謝謝惠顧”，第2個盒子放有2張“巨額獎勵”，張“謝謝惠顧”，…，以此類推．游戲時，老師在所有盒子中隨機選取1個盒子后，再讓一個同學(xué)上臺每次從中隨機抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取3次．(1)若老師選擇了第3個盒子，，記摸到“謝謝惠顧”卡片的張數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(2)若，求該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．【解析】（1）當(dāng)時，老師選擇第3個盒子，則有3張“巨額獎勵”的卡片和4張“謝謝惠顧”的卡片，則X的所有可能取值為，則，，，．X的分布列為X0123P數(shù)學(xué)期望．（2）當(dāng)時，記從第k個盒子中第3次抽到“謝謝惠顧”為事件．，，，，．故該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．30．（2024·安徽·模擬預(yù)測）人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟.某公司研究了一款答題機器人，參與一場答題挑戰(zhàn).若開始基礎(chǔ)分值為（）分，每輪答2題，都答對得1分，僅答對1題得0分，都答錯得分.若該答題機器人答對每道題的概率均為，每輪答題相互獨立，每輪結(jié)束后機器人累計得分為，當(dāng)時，答題結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)成功，當(dāng)時，答題也結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)失敗.(1)當(dāng)時，求機器人第一輪答題后累計得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)時，求機器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率.【解析】（1）當(dāng)時，第一輪答題后累計得分所有取值為4，3，2，根據(jù)題意可知：，，，所以第一輪答題后累計得分的分布列為：432所以.（2）當(dāng)時，設(shè)“第六輪答題后，答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功”為事件A，此時情況有2種，分別為：情況①：前5輪答題中，得1分的有3輪，得0分的有2輪，第6輪得1分；情況②：前4輪答題中，得1分的有3輪，得分的有1輪，第5.6輪都得1分；所以.31．（2024·陜西榆林·二模）藍(lán)莓富含花青素，具有活化視網(wǎng)膜的功效，可以強化視力，防止眼球疲勞，是世界糧農(nóng)組織推薦的五大健康水果之一.截至2023年，全國藍(lán)?種植面積達(dá)到110萬畝，其中云南藍(lán)莓種植面積達(dá)到17.6萬畝，產(chǎn)量達(dá)到10.5萬噸，是藍(lán)莓鮮果產(chǎn)量第一省.已知甲農(nóng)戶種植了矮叢藍(lán)莓?高叢藍(lán)莓?兔眼藍(lán)莓3種藍(lán)莓，這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量各自達(dá)到1000斤的概率分別為.(1)求這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量都達(dá)到1000斤的概率；(2)求這3種藍(lán)莓中至多有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率.【解析】（1）因為這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量各自達(dá)到1000斤的概率分別為，所以這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量都達(dá)到1000斤的概率為.（2）這3種藍(lán)莓中沒有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率為，這3種藍(lán)莓中恰有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率為，則這3種藍(lán)莓中至多有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率為.32．（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年是我國改革開放45周年，改革開放以來，我國發(fā)生了翻天覆地的變化，居民消費水平也得到了大幅提升．調(diào)查得到某市居民周末消費金額（單位：元）的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求該市居民周末人均消費金額（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)以頻率估計概率，從該市居民中隨機選取3人進(jìn)行周末消費習(xí)慣調(diào)查，這3人中周末消費金額在的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題可得，解得，所以估計該市居民周末人均消費金額為（元）．（2）由頻率分布直方圖可知，在該市隨機選取一人，該人周末消費金額在的概率為．易知的所有可能取值為0，1，2，3，且，即，，，，則的分布列為01230.2160.4320.2880.064故．（另）33．（2024·廣東·模擬預(yù)測）某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進(jìn)行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.【解析】（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)服從二項分布，即，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎，中獎次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）因為（1）（2）兩問的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的小，即，第（1）不中獎的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問方式進(jìn)行抽.回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進(jìn)行抽獎.34．（2024·四川南充·一模）2022年卡塔爾世界杯正賽在北京時間11月21日-12月18日進(jìn)行，共有32支球隊獲得比賽資格．賽場內(nèi)外，豐富的中國元素成為世界杯重要的組成部分：“中國制造”的盧賽爾體育場將見證新的世界冠軍產(chǎn)生，中國企業(yè)成為本屆世界杯最大贊助商，世界杯周邊商品七成“義烏造”．某企業(yè)還開展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解世界杯的相關(guān)知識，并倡議大家做文明球迷．該企業(yè)為了解廣大球迷對世界杯知識的知曉情況，在球迷中開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，球迷參與度極高，現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運球迷，他們得分（滿分100分）數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示：(1)若用樣本來估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，求m的值，并計算這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表）；(2)該企業(yè)對選中的200名幸運球迷組織抽獎活動：每人可獲得3次抽獎機會，且每次抽中價值為100元紀(jì)念品的概率均為，未抽中獎的概率為，現(xiàn)有幸運球迷張先生參與了抽獎活動，記Y為他獲得紀(jì)念品的總價值，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1），解得..（2）由題知：，，，，，的分布列.35．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）為了推進(jìn)國家“民生工程”，某市現(xiàn)提供一批經(jīng)濟適用房來保障居民住房.現(xiàn)有條件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申請，且他們的申請是相互獨立的.(1)求兩人不申請同一套住房的概率；(2)設(shè)3名申請人中申請甲套住房的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）設(shè)兩人申請同一套住房為事件，，所以兩人不申請同一套住房的概率為；（2）方法一：隨機變量可能取的值為.，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.方法二：依題意得，所以，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.36．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）某省會城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費乘公交”“綠色出行日免費乘公交”等便民服務(wù)措施．為了更好地了解人們對出行工具的選擇，交管部門隨機抽取了1000人，做出如下統(tǒng)計表：出行方式步行騎行自駕公共交通比例5%25%30%40%同時交管部門對某線路公交車統(tǒng)計整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）依題意可得，解得，因為，所以中位數(shù)為于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故這1200名乘客年齡的中位數(shù)為；（2）選擇公共交通出行方式的頻率為，所以，則的可能取值為、、、、，所以，，，，所以的分布列為：所以；37．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠(yuǎn)離外賣，健康飲食”的口號．當(dāng)然，也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學(xué)們的需求．在某學(xué)期期末，校學(xué)生會為了調(diào)研學(xué)生對本校食堂的用餐滿意度，從用餐的學(xué)生中隨機抽取了100人，每人分別對其評分，滿分為100分．隨后整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將得分分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到頻率分布直方圖如圖．(1)求圖中的值；若要在平均數(shù)和眾數(shù)中選用一個量代表學(xué)生對本校食堂的評分情況，哪一個量比較合適，并簡述理由；(2)以頻率估計概率，現(xiàn)從學(xué)校所有學(xué)生中隨機抽取18名，調(diào)查其對本校食堂的用餐滿意度，記隨機變量為這18名學(xué)生中評分在的人數(shù)，請估計這18名學(xué)生的評分在最有可能為多少人？【解析】（1）由圖知：，故，①選用平均數(shù)比較合適，因為一方面平均數(shù)反映了評分的平均水平，另一方面由頻率分布直方圖估計時評分的極端值所占比例較少，故選用平均數(shù)較合理.②選用眾數(shù)比較合適，因為一方面眾數(shù)反映了出現(xiàn)頻率最多的那個值的信息，反映了普遍性的傾向，另一方面由頻率分步直方圖估計其中評分在的人數(shù)超過了一半，從而選用眾數(shù)也比較合理；（2）記18名學(xué)生中k名學(xué)生的成績在的概率為，，…，18.由已知得X~B(18，0.6)，，令，即，即，解得，由，.所以估計這18名學(xué)生中評分在最有可能為11人.38．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）《關(guān)于加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的意見》，正式把“堅持綠水青山就是金山銀山”的理念寫進(jìn)中央文件，成為指導(dǎo)中國加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要指導(dǎo)思想．為響應(yīng)國家號召，某市2020年植樹節(jié)期間種植了一批樹苗，2022年市園林部門從這批樹苗中隨機抽取100棵進(jìn)行跟蹤檢測，得到樹高的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求樹高在225-235cm之間樹苗的棵數(shù)，并求這100棵樹苗樹高的平均值；(2)若將樹高以等級呈現(xiàn)，規(guī)定：樹高在185-205cm為合格，在205-235為良好，在235-265cm為優(yōu)秀．視該樣本的頻率分布為總體的頻率分布，若從這批樹苗中隨機抽取3棵，求樹高等級為優(yōu)秀的棵數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）樹高在225-235cm之間的棵數(shù)為：．樹高的平均值為：（2）由（1）可知，樹高為優(yōu)秀的概率為：，由題意可知，則的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故的分布列為：0123P0.5120.3840.0960.008因為，所以39．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）從2021年10月16日起，中央廣播電視總臺陸續(xù)播出了3期《黨課開講啦》節(jié)目，某校組織全校學(xué)生觀看，并對黨史進(jìn)行了系統(tǒng)學(xué)習(xí)，為調(diào)查學(xué)習(xí)的效果，對全校學(xué)生進(jìn)行了測試，并從中抽取了100名學(xué)生的測試成績（滿分：100分），繪制了頻率分布直方圖．(1)求m的值；(2)若學(xué)校要求“學(xué)生成績的均值不低于85分”，若不低于要求，不需要開展“黨史進(jìn)課堂“活動，每班配發(fā)黨史資料，學(xué)生自由學(xué)習(xí)；若低于要求，需要開展“黨史進(jìn)課堂”活動，據(jù)以往經(jīng)驗，活動開展一個月能使學(xué)生成績平均分提高2分，達(dá)到要求后不再開展活動．請判斷該校是否需要開展“黨史進(jìn)課堂”活動，若需要開展，需開展幾個月才能達(dá)到要求？(3)以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，從全校學(xué)生中隨機抽取4人，記其中成績不低于85分的學(xué)生數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由，解得；（2）學(xué)生成績的均值的估計值為：因為，所以需要開展“黨史進(jìn)課堂”活動，又85－81.5＝3.5，所以需開展2個月才能達(dá)到要求；（3）由頻率分布直方圖可知，從全校學(xué)生中隨機抽取1人成績不低于85分的概率為．

X的取值可能為0，1，2，3，4，且．，，，．

故X的分布列為：X01234P0.