2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題41數(shù)列求和

專題41數(shù)列求和【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】求數(shù)列前項(xiàng)和的常見方法如下：（1）公式法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，直接利用前項(xiàng)和公式．（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列．（3）分組求和法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式．常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，并滿足不同的規(guī)律．（4）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng)．（5）倒序相加：應(yīng)用于等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和．【典型例題】例1．（2024·高二·江西撫州·階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，且，?又，兩式相加得：，解得，故選：B例2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】注意到，則.則.故選：B例3．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（

）A．2045 B．2046 C．4093 D．4094【答案】C【解析】由，得，而，解得，所以的前11項(xiàng)的和.故選：C例4．（2024·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)，等差數(shù)列滿足，則．【答案】/【解析】.依題意是等差數(shù)列，令，，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，兩式相加得.故答案為：.例5．（2024·甘肅隴南·一模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項(xiàng)起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….記大衍數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為.【答案】240【解析】由題意知，，故數(shù)列的前30項(xiàng)和為，故答案為：240例6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1），故為常數(shù)列，其中，故，故，即；（2），設(shè)的前項(xiàng)和為，則①，②，兩式①-②得，，故.例7．（2024·高三·山西太原·期末）已知在等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)的公差為，由題意得；當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）得，，①，②①－②得，.例8．（2024·高三·四川巴中·階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中；(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可得：，又，解得，故.（2），故.故數(shù)列的前項(xiàng)和.例9．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，則，解得，故；（2）由（1）得．.例10．（2024·寧夏·一模）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．【解析】（1）設(shè)的公差為，則根據(jù)題意有，解之得，所以，即的通項(xiàng)公式為；（2）由上可知，所以，則，易知,.例11．（2024·高二·江蘇南京·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【解析】（1）①，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，故，因?yàn)?，所以，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2），.例12．（2024·高三·重慶·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，如，．若，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，解得,故；（2）由可得前11項(xiàng)分別為故的前11項(xiàng)分別為所以.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【答案】B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由，∵函數(shù)，∴，令，則，∴，∴．故選：B2．（2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【答案】A【解析】∵，∴．∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選:A3．（2024·高三·寧夏石嘴山·期中）已知數(shù)列滿足，，則其前6項(xiàng)之和是（）A．16 B．20 C．33 D．120【答案】C【解析】因?yàn)?，∴，，，，，∴其?項(xiàng)之和是.故選：C．二、多選題4．（2024·高二·山西大同·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取，得，又，所以，取，得，所以，顯然，即數(shù)列一定不是等比數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取，得，取，得，所以，所以B正確；對(duì)于C，D選項(xiàng)，由，得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，，，所以C，D均正確．故選:BCD．三、填空題5．（2024·高二·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得．【答案】2022【解析】由，令，則，兩式相加得：，∴．故答案為：20226．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則，.【答案】3【解析】由題意，得，則數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，所以，得，則；由，得，即，所以.故答案為：；37．（2024·陜西西安·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為其前項(xiàng)和，則．【答案】【解析】由題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得.故答案為：.8．（2024·高三·河南·專題練習(xí)）數(shù)列，最初記載于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202年所著的《算盤全書》之中.若數(shù)列的每項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來項(xiàng)的順序構(gòu)成新的數(shù)列，則數(shù)列的前50項(xiàng)的和.【答案】34【解析】斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，將的每一項(xiàng)除以2所得余數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，這是一個(gè)周期數(shù)列，周期為3，又，故數(shù)列的前50項(xiàng)的和為故答案為：349．（2024·高三·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，且，則的前12項(xiàng)和為．【答案】【解析】依題意，故，,所以，，，…，故的前12項(xiàng)和為．故答案為：10．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與（）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則.【答案】348【解析】設(shè)公差為，由題意得，即，解得，解得或（舍去），故，，則，，，，，，，，，，，，故.故答案為：34811．（2024·陜西銅川·一模）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個(gè)數(shù)列的前2024項(xiàng)和.【答案】1012【解析】由等和數(shù)列概念可得，，，，，所以.故答案為：101212．（2024·高三·廣東肇慶·階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.【答案】/【解析】，，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，又，，，.故答案為：.13．（2024·高二·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則．【答案】/【解析】因?yàn)椋?故答案為：.四、解答題14．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；(2)若且求；【解析】（1）證明：設(shè)，因?yàn)?，故可得，由知，故，?故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.（2）由（1）知，兩式相加得：，故.15．（2024·高三·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，所以，因?yàn)棰?，所以②，由?②得：，所以．16．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）由題知，當(dāng)時(shí)，，則．又．①當(dāng)時(shí)，，②①-②得，所以．當(dāng)時(shí)，也適合．綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）因?yàn)椋?，①，②?②得，整理得，因?yàn)椋?7．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，由，兩式相減，得，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，因此，故，；?）由（1）可知，，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有，，兩式相減，得，即，因此.18．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則，檢驗(yàn)：滿足上式，故；（2）由（1）知，則，故，兩式相減可得：，故．19．（2024·高三·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·階段練習(xí)）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，，，；（2）當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，，，①，②，由①-②得，，，.20．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，得，解得.因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以，，兩式相減，得所以.21．（2024·高三·山東·期中）數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)求前n項(xiàng)和．【解析】（1）方法1：

當(dāng)．又也適合上式，．方法2：為公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．，（2）由（1）知，①②①－②，22．（2024·高三·遼寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，故為等比?shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2；（2）由（1）可知，，故，，故，令①，則，其中②，①-②得，，故，.23．（2024·陜西西安·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得，即，解得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），則，，.24．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)，則，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，．（2），．25．（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由，，得，解得，故；（2）由（1）得，故.26．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由得，，所以，又，所以.由，得.27．（2024·高三·山東聊城·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.（2）證明：由（1）可得，則，所以，所以.28．（2024·高三·寧夏石嘴山·開學(xué)考試）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求證：.【解析】（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，所以，由，解得，所以.（2）由，得，由，有，所以，得.29．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列滿足，且，記.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，將兩式相減，得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別單獨(dú)構(gòu)成等差數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，……，且，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，所以.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)