2025年春新湘教版數(shù)學(xué)七年級下冊課件 第4章 平面內(nèi)的兩條直線 4.5 垂線 第1課時(shí) 垂線的概念

垂線的概念湘教版·七年級數(shù)學(xué)下冊④情境導(dǎo)入日常生活中，如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見，你還能舉出其他生活中的例子嗎?ABCD

將宣傳欄的上下邊框與兩側(cè)邊框均看作直線，如圖所示，則上下兩條直線與左右兩條直線分別相交成多少度的角？新課探究

如圖，取兩根木條

a、b，將它們釘在一起，固定木條

a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條

b.當(dāng)

b

的位置變化時(shí)，a、b所成的角

α

是如何變化的？其中會(huì)有特殊情況出現(xiàn)嗎？當(dāng)這種情況出現(xiàn)時(shí)，a與

b是什么位置關(guān)系？abbbb

如圖，當(dāng)∠AOD=90°時(shí)，∠AOC、∠BOC、∠BOD等于多少度?為什么?由對頂角和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，得當(dāng)∠AOD=90°時(shí)，∠AOC=∠BOC=∠BOD.它們的交點(diǎn)叫做垂足．在同一平面內(nèi)的兩條直線相交所成的四個(gè)角中，若有一個(gè)角是直角時(shí)(此時(shí)可知其余三個(gè)角也是直角)，則稱這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫作另一條直線的垂線.“垂直”用符號“⊥”表示.如圖，直線

AB

與CD互相垂直(O為垂足)，記作“AB⊥CD”.讀做“AB垂直于CD”.

如圖，當(dāng)直線AB與CD相交于O點(diǎn)，∠AOD=90°時(shí)，AB⊥CD，垂足為點(diǎn)O數(shù)學(xué)語言：因?yàn)椤螦OD=90°（已知）所以AB⊥CD.(垂直的定義)反之，若直線AB與CD垂直，垂足為點(diǎn)O，那么∠AOD=90°.兩條直線互相垂直的情形在生活中隨處可見，舉出教室內(nèi)一些互相垂直的實(shí)例，并于同學(xué)交流.若兩條直線相交所成的四個(gè)角中沒有直角，則稱其中一條直線為另一條直線的斜線，如圖，直線CD是AB的斜線，同樣，直線AB也是CD的斜線.(1)如圖，在同一平面內(nèi)，如果直線a⊥l，b⊥l，那么a//b嗎？因?yàn)閍⊥l，b⊥l，所以∠1＝∠2＝90

°，所以a∥b（同位角相等，兩直線平行）．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.(2)如圖，在同一平面內(nèi)，如果直線a∥b，l⊥a，那么l⊥b嗎？因?yàn)閘⊥a，所以∠1＝90°．因?yàn)閍∥b，所以∠2＝∠1＝90°(兩直線平行，同位角相等)，因此l⊥b．在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線也垂直于另一條.在如圖的簡易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1＝60°，求∠2的度數(shù)．解:因?yàn)锽D，AE都垂直于CG，所以BD∥AE

(在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行).從而∠2＝∠1＝60°(兩直線平行，同位角相等)．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠1＝∠2，求∠BEF的度數(shù)．解:因?yàn)镃D⊥AB，所以∠BDC=90°.又因?yàn)椤?=∠2，所以DC∥EF（）.所以∠BEF=∠BDC=90°（）.同位角相等，兩直線平行兩直線平行，同位角相等[選自教材P115練習(xí)]解：因?yàn)镋O⊥CD，所以∠COE=∠DOE=90°.因?yàn)椤螧OE=60°，所以∠BOD=30°，所以∠AOC=∠BOD=30°.1.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，∠BOE＝60°，求∠AOC的度數(shù)．2.如圖，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度數(shù)．[選自教材P115練習(xí)]解：因?yàn)镈A⊥AB，CD⊥DA，所以CD∥AB.(在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行)所以∠B+∠C=180°，所以∠C=180°－56°=124°.1.兩條直線相交形成四個(gè)角，如果其中一個(gè)角為70°，則另外三個(gè)角的度數(shù)分別是_____________________.110°、70°、110°2.下面所敘述的兩條直線是否垂直？①兩條直線相交所成的四個(gè)角相等；②兩條直線相交，有一組鄰補(bǔ)角相等；③兩條直線相交，對頂角互補(bǔ).解：①②③都是垂直的.隨堂演練3.如圖所示，AB⊥CD，垂足為

O，OE是一條射線，且∠AOE=35°求∠BOE、∠COE的度數(shù).解：因?yàn)?/p>

AB⊥CD，所以∠AOC=90°.因?yàn)椤螦OE=35°，所以∠COE=55°.又因?yàn)椤螩OB=90°，所以∠BOE=145°.4.如圖，直線

AB、CD相交于點(diǎn)

O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于點(diǎn)

O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF的度數(shù).解：因?yàn)?/p>

OE⊥CD，所以∠DOE=90°，∠COE=90°.因?yàn)椤?=50°，所以∠AOD=40°.所以∠COB=40°(對頂角相等).所以∠EOB=130°.因?yàn)?/p>

OD平分∠AOF，所以∠DOF=∠AOD=40°.所以∠BOF=180°-∠COB-∠DOF=100°.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線也垂直于另一條直線.課堂小結(jié)垂線