福建省南平市小湖中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

福建省南平市小湖中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“m⊥β”是“α⊥β”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.下列各式中，最小值等于2的是（

）A. B. C. D.參考答案：D解：選項(xiàng)A，中當(dāng)x,y同號時(shí)，滿足題意，選項(xiàng)B，取不到等號，選項(xiàng)C，正切值符號不定，因此只能選擇D，一正二定三相等。這是均值不等式使用的注意點(diǎn)。

3.中心在原點(diǎn)的雙曲線，一個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)焦點(diǎn)到最近頂點(diǎn)的距離是，則雙曲線的方程是（）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a9=2a52，a2=1，則a1=(

)A． B． C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把a(bǔ)3?a9=2a25化簡得到關(guān)于q的方程，由此數(shù)列的公比為正數(shù)求出q的值，然后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：設(shè)公比為q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為正數(shù)，所以q=，故a1=．故選B．【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡求值，是一道中檔題．5.已知函數(shù)f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】畫出函數(shù)f（x）、g（x）的圖象，由題意可得函數(shù)f（x）的圖象（藍(lán)線）和函數(shù)g（x）的圖象（紅線）有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．【解答】解：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象（藍(lán)線）和函數(shù)g（x）的圖象（紅線）有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：KOA=，數(shù)形結(jié)合可得＜k＜1，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．6.設(shè)，若，則=（

）A.

B.1 C. D.參考答案：B略7.已知向量,,若,則（

）A. B. C. D.3參考答案：B【分析】根據(jù)向量,求得，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡，即可求解.【詳解】由題意，向量,,因?yàn)?所以，即，即，則，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)向量的共線定理得到的值，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡、求值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知的右焦點(diǎn)F2恰好為y2=4x的焦點(diǎn)，A是兩曲線的交點(diǎn)，|AF2|=，那么橢圓的方程是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知實(shí)數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最小值為﹣1，則實(shí)數(shù)m等于(

)A．7 B．5 C．4 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最小值是﹣1，確定m的取值．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即當(dāng)z=﹣1時(shí)，函數(shù)為y=x+1，此時(shí)對應(yīng)的平面區(qū)域在直線y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同時(shí)A也在直線x+y=m上，即m=2+3=5，故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件求出m的值是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．10.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．18

B．17

C．16

D．15參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知表示兩個(gè)不同的平面，是一條直線，且，則“”是“”的

條件（填：充分條件、必要條件、充要條件、既不充分也不必要條件）參考答案：充分不必要條件12.直線y=2x關(guān)于x軸對稱的直線方程是_______________.參考答案：略13.拋物線y=x2–4x–a2+4a(0<a≤2)和x軸交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)圓M過點(diǎn)A、B且和y軸切于點(diǎn)C，O是原點(diǎn)，則|OC|的取值范圍是

。參考答案：(0，2]14.在等腰直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，如果的長為，則的值為

；參考答案：415.若函數(shù)f（x）=﹣x3+x2+2ax在[，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值大于0，轉(zhuǎn)化為a的表達(dá)式，求出最值即可得到a的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=﹣x3+x2+2ax，f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2++2a．當(dāng)x∈[，+∞）時(shí)，f′（x）的最大值為f′（）=2a+，令2a+＞0，解得a，所以a的取值范圍是．故答案為：．16.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為____.參考答案：【分析】焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，可知，由此可求出雙曲線的離心率?！驹斀狻坑深}可設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為，由于該雙曲線的漸近線方程為，則，在雙曲線中，所以雙曲線的離心率，故雙曲線的離心率為。【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，雙曲線漸近方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。17.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1-i(i是虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)=.參考答案：i略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與y軸垂直。（1）求a的值；（2）求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.參考答案：（1）；（2），【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，利用切線與軸垂直可得a；（2）令0，解得或，列出表格，即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值．【詳解】（1），由題可知，，即，解得.（2）由（1）知，因此，，

令

解得或列表:當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．19.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足．（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若?p是?q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】（1）現(xiàn)將a=1代入命題p，然后解出p和q，又p∧q為真，所以p真且q真，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）先由￢p是￢q的充分不必要條件得到q是p的充分不必要條件，然后化簡命題，求解實(shí)數(shù)a的范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q為真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為（2，3）（2）因?yàn)椹Vp是￢q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]【點(diǎn)評】充要條件要抓住“大能推小，小不能推大”規(guī)律去推導(dǎo)．20.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和是，若都是等差數(shù)列，且公差相等，求的通項(xiàng)公式；（2）若恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對任意參考答案：（1）設(shè)的公差為，則，且又，所以，，（2）易知，

∴。當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，+，且故對任意，．略21.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．（1）若函數(shù)，在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減，求的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在(0,1)上是否有零點(diǎn)，并說明理由．參考答案：見解析．解：（）由得，∴，即，∴，∴，；∴，∴在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減；∴，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．（）假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即存在，使得，即，記．①若，則，即，由于，有，即證在上恒成立，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．而，，，∴在上存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，∴在上恒成立，即恒成立，②若，則，即，由于，有，即證在恒成立，令，則，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，而，，∴在上存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故在上成立，即成立，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)．22.（12分）在數(shù)列{an}中,已知a1=