高考數(shù)學一輪復習高考大題專項練5高考中的解析幾何含解析

高考大題專項練五高考中的解析幾何

一、非選擇題

1.設A,8為曲線。:片廠上兩點，/與￡的橫坐標之和為4.

4

⑴求直線月8的斜率；

⑵設必為曲線C上一點,C在."處的切線與直線4?平行,且AMA.BM,求直線4?的方程.

解：（1）設A（xhyi）,B@,㈤,則汨羊也,刃〒，鹿干，小,彭泡，

于是直線力8的斜率女=^=」^=L

1-24

⑵由尸，得尸亍

設.1/（^3,y-s）,由題設知三=1,

解得照=2,于是M2,1）.

設直線48的方程為y=x+m,

故線段48的中點為川（2,2甸，/惻/=/m1/.

將y="■必代入萬丁得x~4x~4加=0.

當A=165+1）加，即m>~l時，^2=2±2y/~+T.

從而lAB/=42/xi-x2/=1V2（—+1）.

由題設知力笈/2〃例”，

即4J57+1）=25柏,解得加=7.

所以直線力8的方程為尸”7.

2.已知曲線。:尸〃為直線尸-上的動點,過〃作C的兩條切線,切點分別為A,B.

⑴證明：直線。過定點;

⑵若以《0,3為圓心的圓與直線力?相切，且切點為線段力?的中點,求該圓的方程.

答案：（1）證明設［，-；）,/（小,珀，則彳之兒

由于y，=x,所以切線DA的斜率為擊,故上二汨.

r

整理得2以廣2y㈤=0.

設4(照,㈤，同理可得2以「2%+1=0.

故直線力〃的方程為25-2W14).

所以直線14過定點(0,0.

⑵解由⑴得直線"的方程為y=tx^.

f=+；,

由12可得

于是不出2=2tty\-(-y2=t{x\+XL)+1=2#*1.

設必為線段AB的中點,則.?,2+J

由于一-；而一=(t,t2~2),―與向量(1,，)平行，

所以^(?-2)解得依或t=±l.

當￡空時，/~所求圓的方程為-1)%;

當￡-±1時，/~'他,所求圓的方程為-|7N

3.設拋物線C:寸心、點3(2,0),8(-2,0),過點力的直線1與C交于極3兩點.

⑴當，與x軸垂直時,求直線掰的方程:

⑵證明：/48心乙仍M

答案：(1)解當，與x軸垂直時，/的方程為片2,可得J/的坐標為(2,2)或⑵-2).

所以直線砌的方程為片或尸5T.

⑵證明當/與才軸垂直時，力8為腑，的垂直平分線，

所以NABM=/ABN.

當/與x軸不垂直時，設1的方程為y=k(x-2)(A^O),Mxi,yi),N(x2,刑)，則汨Y,在見

由［-2),得〃於21回，

I=乙

可知必小=,

直線BM,例『的斜率之和為=一：①

1+22+2（［+2）（2+2）

將Xi—*2,及=2+2及乂/M%的表達式代入①式分子,可得

生力+汨%也（%^2）"」"（"2）=—4）.

所以k榭+kB\R,可知B禮外的傾斜角互補，

所以NABM=/ABN.

綜上，4ABM=4ABN.

4.已知中心在原點0,左焦點為四（-1,0）的橢圓C的左頂點為A,上頂點為瓦￡到直線力8的距離為

y/W

⑴求橢圓，的方程；

2222

⑵若橢圓61的方程為fd—（加才以）），橢圓C的方程為一jH—2=（“況且X工1）,則稱橢圓Ci

是橢圓G的4倍相似橢圓.如圖，已知G是橢圓。的3倍相似橢圓,若橢圓。的任意一條切線/交

楸圓G于兩點瓶N,試求弦長/秘V/的取信范闈.

解：（1）設橢圓。的方程為一+一二1（9/水）），

，直線48的方程為^—I--1.

?"（T,0）到直線力4的距離d-.；?=如,才M=7（a-1）2.

V2+27

又lf=a-l,解得a=2,Z）=\/3,

故橢圓C的方程為；■+k=1.

43

⑵橢圓C的3倍相似橢圓Q的方程為《+二=1,

①若切線/垂直于X軸，則其方程為442,

易求得/腑/9通.

②若切線1不垂直于才軸,可設其方程為y=kx+b,

將尸府歷代入橢圓C的方程，得（3用〉療那劫尸4匕12力,

???A=（846）29（3尚芯）（4爐一12）工8（4足+3-歷R,

即爐可N+3,（近

設M,N兩點的坐標分別為（小,'），（*2,㈤，

將切代入橢圓G的方程,得（3片冷f用相次也9—364,

,LLn4,842-36

此時M,照二句"可小心工p下，

/,“3（122+9-2）

Mr?尸―一，

:.網(wǎng)■嗎+看"存叫］+G

???3用★。3,??.1<1停工/

即2遙<2^J1+7^-2^472.

綜合①?,得弦長"W/的取值范圍為［2遍,4方］.

5.已知橢圓C:+一=1（屆功刈的離心率為今且過點4（2,1）.

⑴求。的方程:

⑵點制N在。上,且力肛例ADLMN,。為垂足.證明:存在定點Q,使得/%為定值.

答案：（1）解由題設得為+心力,—=

解得才8電所以。的方程為=+—刁

03

⑵證明設玳小,y）,MM,㈤.

若直線JW與x軸不垂直,設直線JW的方程為y=kx+m,代入;+J=1

06

得（1+2女2）x他kmx也#-6=0.

于是M涇三①

由力ML4V知--->?---->=0,

故（汨-2）（照-2）+（y】T）（度T）=0,

可得（/+1）小照+（〃0-4-2）（用+照）*（/?-l）2-M=0.

將①代入上式可得（人1）篇=-（既-公2）號^+（初-1）2陷4整理得（2右3"1）（25加-1）=0.

因為4（2,1）不在直線.機V上,所以2女加TWO,

故2k埒m+lR,21.

于是?映的方程為y="-|）一321）.

所以直線助V過點需,-?.

若直線助V與X軸垂直,可得以為，

由一k?一得（小-2）（汨-2）Ay.-1）（-yi-1）力

又一+一二1,可得3彳~8乂司R.

解得乂卻舍去），若.此時直線榔過點電,6）.

令0為4的中點，即砥，g）.

若〃與尸不重合,則由題設知"是RtZ\4產的斜邊，

故/因耳/474.

若〃與P重合,則IDQ/^IAPI.

綜上,存在點祐，J使得/制/為定值.

6.已知橢圓△一+-=1（9加0）的離心率為也以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-

y^/6-O相切,過點一（4,0）且不垂直于x軸的直線1與橢圓C相交于48兩點.

⑴求橢圓。的方程；

⑵求的取值范圍;

⑶若8點關于X軸的對稱點是￡證明：直線AE與A■軸相交于定點.

答案:⑴解由題意知，一=舞"即鵬

又a=l)-f-c,所以a=2,Z?=\/3.

故橢圓。的方程為:+產=1.

⑵解由題意知直線1的斜率存在,

設直線/的方程為

=(一4),

由22可得(3掰如)/一32A"64*T2R.

(T+T=1>

設A(xhyi),8(x2,72),

則4-322A*-4(3V4A2)(64^-12)加,

所以

4

,322642-12公

則小塊下廠‘亂"3『?①

所以*?＞和照力/i座

二為生小人?、葍x⑷

=（1+1＜）M照~4分（小+照）+16/

E11）?喘生八言？16六

因為。或q,所以手忘―吁,

則YW25一〈號

即一.一中,胃

⑶證明因為B,￡關于x軸對稱,所以可設￡（a-⑸,

則直線4?的方程為尸y=^（『?。?

2

令片0,可得廣汨r1（「2）

因為（小Y）,%=A（X2Y）,

所I、j212-4(1+2)2x26得1

所以X上—y-=一吊”2什=1,

1+2-8.-8

3+42

所以直線力￡與矛軸交于定點(1,0).

7.(2021新高考/,21)在平面直角坐標系宜/中，已知點￡(向,0),E(X/H,0),點/滿足/痂卜

/；物/=2.記"的軌跡為C.

⑴求軌跡C的方程；

⑵設點7在直線號上,過7的兩條直線分別交軌跡C于4〃兩點和P,0兩點,且

/必/?/陽/=/9/?求直線48的斜率與直線用的斜率之和.

解：⑴???/班HMA/=2，且E(V17,0),((V17,0),

22

==忌

2=2+2,

2=i,1

.(

???)2=16.

[2=17.

J。的方程為frj=l(x21).

10

⑵設/(；,),顯然直線AB的斜率與直線PQ的斜率都存在.

設直線力6的方程為y=k{

得16H12-+3+2,-2卜6,

即（16-?）+{J-2A1Z7）x-j*hmdT6=0.

??ITA!?/TB/=(1^I)[(i-0(2-0]

設k*k?、同理可得/%/?/%/=("!)?普.

216

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8.如圖，已知橢圓一+一口的左焦點為區(qū)過點尸的直線交橢圓于48兩點,線段力4