中考必會幾何模型：婆羅摩笈多模型資料

婆羅摩笈多模型模型講解【結(jié)論1】(知中點得垂直)如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，連接AD，CE，過點B的直線分別交AD，CE于點N，M，M是CE的中點，則MN⊥AD.【證明】如圖，延長BM至點P，使MP=BM，連接EP.∴△BMC≌△PME(SAS)，∴BC=PE，∠BCM=∠PEM.∴BC∥PE.∴∠CBE+∠PEB=180°.又∵∠CBE+∠ABD=360°-90°-90°=180°，∴△∠PEB=∠ABD.在△PEB與△ABD中，PE=AB

∴△PEB≌△ABD

∴∠PBE=∠ADB.又∵∠PBE+∠NBD=180°-90°=90°，

∴∠ADB+∠NBD=90°.

∴∠BND=90°,即MN⊥AD.【結(jié)論2】（知垂直得中點）如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，連接AD，CE，過點B的直線分別交AD，CE于點N，M，MN⊥AD，則點M是CE的中點.【證明】如圖，過點C作CP⊥MN，交MN于點P，過點E作EQ⊥MN，交NM的延長線于點Q.易證△ANB≌△BPC，△DNB≌△BQE(一線三垂直模型）.∴CP=BN，EQ=BN.∴CP=EQ.在△CPM與△EQM中，∠C∴△CPM≌△EQM(AAS).∴CM=EM,即點M是CE的中點.典型例題典例1如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE=2AM.典例2定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，當∠BAC+∠DAE=180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的中線AM叫做△ADE的“頂心距”.特例感知：(1)在圖2、圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM，AN分別是“頂心距”.①如圖2，當∠BAC=90°時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=_____DE;②如圖3，當∠BAC=120°，BC=6時，AN的長為_________.猜想論證：(2)在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.拓展應(yīng)用：(3)如圖4，在四邊形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四邊形ABCD的內(nèi)部是否存在點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”?若存在，請給予證明，并求出△PBC的“頂心距”的長；若不存在，請說明理由.典例3已知△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.連接AD，BC，點H為BC的中點，連接OH.(1)證明OH=12AD(2)將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系？選擇一個圖形并證明你的結(jié)論.初露鋒芒如圖，AD是△ABC的中線，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，連接EF.試猜想線段AD與EF的關(guān)系，并證明.我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'.當a+β=180°時，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'的邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”.特例感知：(1)在圖2、圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”.①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=________BC；②如圖3，當△BAC=90°，BC=8時，AD的長為_________.(2)猜想論證：在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(3)如圖4，在四邊形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12,CD=2感受中考(2020江蘇宿遷中考真題)【感知】如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：AE【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點E在邊CD上，點F在邊AD的延長線上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB【拓展】如圖3，點E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=2.(2020黑龍江中考模擬)以Rt△ABC的兩邊AB，AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過點A作AM⊥BC于點M，延長MA交EG于點N.(1)如圖1，若∠BAC=90°，AB=AC，求證：EN=GN.如圖2，∠BAC=90°；如圖3，∠BAC≠90°，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，選擇一個圖形進行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由.婆羅摩笈多是一個非常重要的模型，主要強調(diào)的是兩個等腰直

角

三角形的手拉手，知中點證垂直，知垂直證中點，涉及相對應(yīng)的輔助線，知中證垂可倍長，知垂證中可繼續(xù)作垂直.這是一個相對復(fù)雜的幾何模型，我們需要左右兩邊同時去構(gòu)造全等或相似，所以一定要注意這個細節(jié)。參考答案典例1【解析】如圖，延長AM至點N，使MN=AM，連接BN.∵點M為BC的中點，∴CM=BM.在△AMC和△NMB中，AM=MN∴△NMB≌△AMC(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC,∴∠EAB=∠DAC=90°,∴∠EAD+∠BAC=180°,∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在△EAD和△ABN中，AE=AB∴△EAD≌△ABN(SAS)，∴DE=AN=2AM.典例2【解析】(1)①當∠BAC=90°時，∠DAE=180°-∠BAC=90°.∵AB=AC=AD=AE，∴BC=DE.∵AM是BC邊上的中線，∴AM=12BC=12故AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為

AM=12②當∠BAC=120°時，∠DAE=180°-∠BAC=60°.∵AB=AC，BC

=6，∴BM=12BC=3，∴AB=BMcos30°=332∴AD=AE=AB=23.又∵∠DAE=60°，∴∠ADE是等邊三角形.∵AN是△ADE的邊DE上的中線，∴AN⊥DE，∴AN=ADsin60故AN的長為3.(2)當∠BAC為任意角時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=1設(shè)∠BAC=α，則∠DAE=180°-∠BAC=180°-α.∵AB=AC=AD=AE，AM，AN分別為△ABC，△ADE的中線，∴AM⊥AN⊥DE，DN=EN=∴∠D=90∵AM=AB?cos∠BAM=AB?cos1DE=2DN=2AD?cosD=2AD?cos12∴AMDE=12故當△BAC為任意角時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=1(3)存在.如圖，連接AC，取AC的中點P，連接PD，PB，作△PAD的中線PE，△PBC的中線PF，則點P即為所求.證明：∵AD=AB，CD=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB(SSS),∴∠DAC=∠BAC=12∴PD=PA=PC=PB，∠APD=120°，∠BPC=60°，即∠APD+∠BPC=180°,故在四邊形ABCD的內(nèi)部存在點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”，△PBC的“頂心距”的長PE=1典例3【解析】(1)∵△AOB與△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB.在△AOD與△BOC中，O∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴∠OAD=∠OBC，BC=AD.∵點H為線段BC的中點，∴OH=HB=∴∠OBH=∠HOB=∠又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD.2①如圖1，延長OH到點E，使得HE=OH，連接BE.∵點H是BC的中點，∴BH=CH，在△BEH和△COH中，EH=OH∴△BEH≌△COH(SAS)，∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOD=180°-∠BOC=∠OBE.又OB=OA，BE=OC=OD，∴△BEO≌△ODA(SAS),∴OE=AD，∴OH=12OE=12由△BEO≌△ODA知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°,∴OH⊥AD.②如圖2，延長OH到點E，使得HE=OH，連接BE，延長EO交AD于點G.∵點H是BC的中點，∴BH=CH，在△BEH和△COH中，HE=OH∴△BEH≌△COH(SAS),∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.∴∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOD=180°-∠BOC=∠OBE.又OB=OA，BE=OC=OD，∴△BEO≌△ODA(SAS),∴OE=AD,∴OH=由△BEO≌△ODA知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°,∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD.初露鋒芒1.【解析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD.證明：如圖，延長AD到點M，使得AD=DM，連接MC，延長DA交EF于點N.∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD.在△ABD和△MCD中，AD=DM∴△ABD≌△MCD(SAS)，∴AB=MC，∠BAD=∠M.∵AB=AE，∵AE=MC.∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°.∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°,∴∠BAC+∠EAF=180°.∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°,∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°,即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA.在△AEF和△CMA中，AF=AC∴△AEF≌△CMA(SAS)∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD.∵∠CAF=90°,∴∠CAM+∠FAN=90°.又∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°,∴∠ANF=90°,∴EF⊥AD.2.【解析】(1)①∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=AB'=AC'，∠BAC=60°.∵AD是△ABC的“旋補中線”，∴DB'=DC',∴AD⊥B'C'.∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=120°,∴∠B'=∴C'=30°,∴AD=②∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=∠BAC=90°.∵AB=AB'，AC=AC',∴△BAC≌△B'AC'(SAS),∴BC=B'C'.∵B'D=DC',∴AD=(2)猜想：AD=理由：如圖，延長AD到點M，使得AD=DM，連接B'M，C'M.∵B'D=DC'，AD=DM,∴四邊形AC'MB'是平行四邊形，∴AC'=B'M=AC.∵∠BAC+∠B'AC∴∠BAC=∠AB'M.在△BAC和△AB'M中，AB=A∴△BAC≌△AB'M(SAS),∴BC=AM.∴AD=(3)存在.理由：如圖，延長AD，BC交于點M，作BE⊥AD于點E，作線段BC的垂直平分線交BE于點P，交BC于點F，連接PA，PD，PC，作△PCD的中線PN，連接DF交PC于點O.∵∠ADC=150°,∴∠MDC=30°.在Rt△DCM中，∵CD=23,∠DCM=90°,∴CM=2,DM=4,∠M=60°.在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM=14,∠M=60°,∴∠MBE=30°,∴EM=∴DE=EM-DM=3.又∵AD=6，∴AE=DE=3.又∵BE⊥AD，∴PA=PD.∵PF垂直平分BC，∴PB=PC.在Rt△CDF中，`∵CD=23，CF=6，∴tan∠CDF=3,∴∠CDF=60°,∴∠ADF=90°=∠AEB,∴OF∥EB,∴∠CBE=∠CFD.又∵∠CBE=∠PCF,∴∠CFD=∠PCF.∵∠CFD+∠CDF=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∴∠CPF=∠CDF=60°.易證△FCP≌△CFD，∴CD=PF.∵CD∥PF,∴四邊形CDPF是平行四邊形.∵∠DCF=90°,∴∠CDP=90°.∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°,∴△ADP是等邊三角形，∴∠APD=60°.∵∠BPF=∠CPF=60°,∴∠BPC=120°.∴∠APD+∠BPC=180°,∴△PDC是△PAB的“旋補三角形”.在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6,∴PN=感受中考1.【解析】【感知】：∵∠C=∠D=∠AEB=90°,∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°,∴∠BEC=∠EAD.∴Rt△AED∽Rt△EBC,∴AE【探究】如圖，過點G作GM⊥CD于點M.由(1)同理可知EF又∵EF∴DE∴BC=GM.又∵∠C=∠GMH=90°，∠CHB=∠MHG,∴△BCH≌△GMH(AAS)，∴BH=GH.【拓展】如圖，在EG上取點M，使∠BME=∠AFE，過點C作CN∥BM，交EG的延長線于點N，則∠N=∠BMG.∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°,∠EFA=∠AEB,∴∠EAF=∴BEM,∴△AEF∽△EBM,∴AE∵∠BMG+∠BME=180°,∠EFA+∠DFE=180°,∠BME=∠AFE,∴∠BMG=∠EFD.又∵∠N=∠BMG，∴∠N=∠EFD.∵∠AEB+∠EDC=180°,∠EFA+∠EFD=180°,而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD.∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°,∴∠EDF=∠CEN,∴△DEF∽△ECN,∴DE又∵AE∴EF∴BM=CN.又∵∠N=∠BMG，∠BGM=∠CGN，∴△BGM≌△CGN(AAS),