2019-2020學年湖北省武漢市鋼城第四中學高一數(shù)學下學期期中試題

PAGE湖北省武漢市鋼城第四中學2019-2020學年高一數(shù)學下學期期中試題考試時長：120分鐘，滿分150分1．數(shù)列，，，，的一個通項公式是（B）A.B.C. D.2．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，則a4等于(A)A．11 B．15C．17 D．203.在中，內(nèi)角為鈍角，，，，則（A）A.B.C.D.4．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學的名著，在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒問甲歌”就是其中一首:一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問小兒多少歲，各兒歲數(shù)要誰推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（B）A.8歲 B.11歲 C.20歲 D.35歲5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與b的夾角是(C)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為(B)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定7．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)等于(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．28.已知四個實數(shù)成等差數(shù)列，－4，，，，－1五個實數(shù)成等比數(shù)列，則（

C

）A.1 B.2 C.－1 D.±19．已知等差數(shù)列的公差，若的前項之和大于前項之和，則（C）A． B． C． D．10．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項，S8＝32，則a1等于(D)A．3 B．2C．-4 D．-311.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比.若，，，數(shù)列的前n項和為，則當取最大值時，n的值為（D）A.17 B.8 C.9 D.8或912．銳角三角形ABC中，若C＝2B，則eq\f(AB,AC)的取值范圍是(C)A．(0,2) B．(eq\r(2)，2)C．(eq\r(2)，eq\r(3)) D．(eq\r(3)，2)第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確的答案填在題中的橫線上)13.的內(nèi)角，，所對應(yīng)的三條邊分別為，，，若，，則.14．設(shè)等比數(shù)列的前項和記為,若,則__15．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝___50.16．設(shè)數(shù)列的前項和，若，則_______85．三、解答題：17．(10分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝2，cosB＝eq\f(3,5).(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面積S△ABC＝4，求b，c的值．解：(1)因為cosB＝eq\f(3,5)，所以sinB＝eq\f(4,5).因為a＝2，b＝4，所以eq\f(2,sinA)＝eq\f(4,\f(4,5))，所以sinA＝eq\f(2,5).(2)由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝c·eq\f(4,5)＝4，可解得c＝5，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋25－2×2×5×eq\f(3,5)＝17.所以b＝eq\r(17).18．(12分)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè){bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an＋bn}的前n項和．解：(1)設(shè)q為等比數(shù)列{an}的公比，則由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.∴{an}的通項為an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．(2)Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＋n×1＋eq\f(nn－1,2)×2＝2n＋1＋n2－2.19．已知的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【解析】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，所以.因為，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以.①又的面積為，即，即，即.②由①②得，則，得.所以的周長為.20．數(shù)列滿足，，．（1）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（2）求的通項公式．（1）證明由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）解由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2,經(jīng)檢驗，此式對n=1亦成立，所以，{an}的通項公式為an＝n2－2n＋2.21.已知三角形ABC的面積是S，．（1）求的值；（2）若，當三角形ABC的周長取得最大值時，求三角形ABC的面積S．變式：【解析】（1）由得，所以.在三角形ABC中得，所以,，（2）：在三角形ABC中得所以周長由得，當時，周長取得最大值為此時所以面積22．(12分)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其中a1＝1，且a2，a4，a6＋2成等比數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn＋bn＝1.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式．(2)如果cn＝anbn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得Tn>Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得方程(1＋3d)2＝(1＋d)×(3＋5d)，解得d＝1或d＝－eq\f(1,2)(舍)，由a1＝1知，數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.2Sn＋bn＝1，①2Sn＋1＋bn＋1＝1，②②－①得2(Sn＋1－Sn)＋bn＋1－bn＝0，即3bn＋1－bn＝0，即eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(1,3)，n＝1時，2b1＋b1＝1，b1＝eq\f(1,3)，所以數(shù)列{bn}是以eq\f(1,3)為首項，eq\f(1,3)為公比的等比數(shù)列．所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.(2)Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))，cn＝n·eq\f(1,3n)，Tn＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,32)＋3×eq\f(1,33)＋…＋(n－1)×eq\f(1,3n－1)＋n×eq\f(1,3n)，③eq\f(1,3)Tn＝1×eq\f(1,32)＋2×eq\f(1,33)＋…＋(n－2)×eq\f(1,3n－1)＋(n－1)×eq\f(1,3n)＋n×eq\f(1,3n＋1)，④eq\f(2,3)Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,32)＋\f(1,33)＋…＋\f(1,3n)))－n×eq\f(1,3n＋1)＝eq\f(\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))－n×eq\f(1,3n＋1)＝eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(n,3)))×eq\f(1,3n)，Tn＝eq\f(3,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋3,4)))·eq\f(1,3n)，Tn－Sn＝eq\f(1,4)－eq\b