高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題練習(xí)-函數(shù)值域的求法知識(shí)歸納及典型例題分析

求函數(shù)的值域

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、求值域的步驟：

（1）確定函數(shù)的定義域

（2）分析解析式的特點(diǎn)，并尋找相對(duì)應(yīng)的方法（此為關(guān)鍵步驟）

（3）計(jì)算出函數(shù)的值域

2、求值域的常用工具：盡管在有些時(shí)候，求值域就像神仙施法念口訣一樣，一

種解析式特點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即

可操作，但也要掌握一些常用的思路與工具。

（1）函數(shù)的單調(diào)性：決定函數(shù)圖像的形狀，同時(shí)對(duì)函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作用。

若/（力為單調(diào)函數(shù)，則在邊界處取得最值（臨界值）。

（2）函數(shù)的圖像（數(shù)形結(jié)合）：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然

（3）換元法：/（%）的解析式中可將關(guān)于x的表達(dá)式視為一個(gè)整體，通過換元可

將函數(shù)解析式化歸為可求值域的形式。

（4）最值法：如果函數(shù)/（x）在［。,可連續(xù)，且可求出/（x）的最大最小值,

則/（x）的值域?yàn)椋踡,M］

注：一定在“X）連續(xù)的前提下，才可用最值來解得值域

3、常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時(shí)，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結(jié)合，利用

函數(shù)圖像將值域解出，熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過變形

與換元向常見函數(shù)進(jìn)行化歸。

（1）一次函數(shù)（y=b+b）：一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可

利用邊界點(diǎn)來確定值域

（2）二次函數(shù)（丁=初2+陵+。）：二次函數(shù)的圖像為拋物線，通常可進(jìn)行配方

確定函數(shù)的對(duì)稱軸，然后利用圖像進(jìn)行求解。（關(guān)鍵點(diǎn)：①掘物線開口方向，②

頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)）

例1：函數(shù)/(x)=2x-G”的值域是()

「17、「5、「15、

A.[0,+oo)B.—,4-ooIC.—,+8D.—,+co

L)I_4JL8)

思路：解析式中只含一個(gè)根式，所以可將其視為一個(gè)整體換元，從而將解析式轉(zhuǎn)

為二次函數(shù)，求得值域即可。

解：“X)的定義域?yàn)閇1,伊)

令/=?-1:.t>0,則A=Z2+1

???y=2（*+i）T=2,-￡|

vrG[0,-KO）

15、

.?"（X）的值域?yàn)?/p>

87

例2(1)函數(shù)y=31的值域?yàn)?)

A.(0,+oo)B.(0,l)U(h+°°)C.{x|x^1}D.(l,+oo)

(2)函數(shù)/(x)=4、一2V+,-8,XG[-2,2]的值域?yàn)?/p>

(3)函數(shù)y=ln=Z的值域?yàn)開_________

e-1

思路：(1)本題可視為y=的形式，所以可將指數(shù)進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)化為指

數(shù)函數(shù)值域問題：令i=」~,則f￡(y,O)U(O,”)，所以可得

x-\

y=3lG(0,1)U(1,+°O)

(2)如前文所說，/(X)=4'-2V+,-8=(2A)2-2.2V-8,將2、視為一個(gè)整體令

/=2\則可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得值域

XV+,X2X

解：/（X）=4-2-8=（2）-2-2-8

令f=2‘vxe[-2,2]

二?tG-,4

_4.

j=r2-2r-8=(r-l)2-9

,，(x)的值域?yàn)閇-9,0]

(3)所求函數(shù)為ln[/(x)]的形式，所以求得蕓?的范圍，再取對(duì)數(shù)即可。對(duì)

二^進(jìn)行變形可得：亨=1+――,從而將產(chǎn)-1視為一個(gè)整體，即可轉(zhuǎn)為

e-1e-1e-1

反比例函數(shù)，從而求得范圍

解：定義域：/一1>0=X￡(0,+oO)

x12

V—e——+=1+———令Z.rG((),+00)

ex—1ex—1

2

14—G(1,+00)

e"+1

:.y=\n——-G(0,-K?)

答案：(1)B(2)[-9,0](3)(0,+oo)

例3：已知函數(shù)/(x)=3+log2%,xe[l,4],則g(x)=/(f)-"(x)丁的值域?yàn)?/p>

()

A.[-18,-2]B.[-11,-6]C.[-18,6]D.[-11,-2]

思路：依題意可知g(x)=3+log212-(3+k)g2X)2=-(k)g2X)2-410g2%-6,所以

可將log?X視為一個(gè)整體換元，從而將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但本題要注

意的是g（x）的定義域，由己知“X）的定義域?yàn)椋?,4］,則晨耳=/（巧一］/（切2

1<x2<4

的定義域?yàn)?解得:xe[l,2],而不是[1,4]

l<x<4

22

解：g(%)=3+log2X-(3+log2x)

=3+2log2x-|^(log2x)~+6log2x+9j

2

=-(log2X)_410g2x-6

?.力力的定義域?yàn)閇1,4],且g(x)=f(巧_[/(耳了

1<x2<4

解得：xe[l,2]

l<x<4

令f=k)g2X,則

22

.?.y=-r-4/-6=-(r+2)-2

”[-11,-6],即g(x)的值域?yàn)閇-11,-6]

答案：C

例4：(1)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義域?yàn)镽,對(duì)給定正數(shù)”，定義函數(shù)

f()f(x)<M

ZwW=1Lx/(x)>Af則稱函數(shù)九(力為的“攣生函數(shù)”，若給定函數(shù)

2-x2-2<x<0

/(x)='~~,M=1,則y=R(x)的值域?yàn)?)

2"-l,x>0

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.

(2)定義min{a,b,c}為中的最小值，設(shè)=min{2x+3,V+1,5-3X},

則了(力的最大值是

思路：(1)根據(jù)“李生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點(diǎn)，即以

y=M為分界線，/(x)圖像在y=M下方的圖像不變，在朋

上方的圖像則變?yōu)閥=M,通過作圖即可得到九(x)的值域?yàn)?/p>

卜冽

(2)本題若利用min{4/c}的定義將/(x)轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，則需要對(duì)三個(gè)式子兩

兩比較，比較繁瑣，故考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，將三個(gè)解析式的圖像作在同一坐標(biāo)系

下，則八月為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從而通過數(shù)形結(jié)合可得〃工)的最大

值點(diǎn)為丁=/+1與5—3%在第一象限的交點(diǎn)，即,所以

[y=5-3x[y=2

/(x)g=2

答案：(1)A(2)2

例5：已知函數(shù)/(%)=.2一2(4+2.+/次(%)=一%2+2(-一2)%-/+8,設(shè)

%(%)=max{/(%),g(x)},用(%)=min{/(x),g(%)},(其中max{p,q}表示p,q中

的較大值，min{p,g}表示p,q中的較小值)記//"x)的值域?yàn)锳,7^(力的值域

/(x)=[x-(a+2)7-4a-4

〃x),g(x)配方可得一,其中Ta—4vTtz+12>

g(x)=-[x-(a-2)]2-4a+12

故g(x)的頂點(diǎn)在f(x)頂點(diǎn)的上方。由圖像可得：褐色部分為儀(X)的圖像，紅

色部分為"2(x)的圖像，其值域與〃x),g(x)的交點(diǎn)有關(guān)，即各自的頂點(diǎn)

(a—2,Ta+12),(a+2,Ta—4),所以""x)的值域A=[j—4,”)，區(qū)(%)的

值域5=(e,Ta+12]。從而8=[-4a—4,-4a+12]

答案：[-4〃-4,-4a+12]

例6:(1)函數(shù)y=四上￡［2,4］的值域?yàn)椤?/p>

X—1

(2)函數(shù)y=+4+-2「+io的值域?yàn)?/p>

思路：(1)函數(shù)為分式，但無(wú)法用“變形+換元”的方式進(jìn)行處理，雖然可以用

導(dǎo)數(shù)，但求導(dǎo)后需對(duì)分子的符號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步研究。那

么換一個(gè)視角，從分式的特點(diǎn)可聯(lián)想到直線的斜率，

即y是(x,xlnx)與定點(diǎn)(1,-3)連線的斜率，那么只需

在坐標(biāo)系中作出〃x)=xlnx在［2,4］的圖像與定點(diǎn)

(1,-3),觀察曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的取值范圍

即可

解：所求函數(shù)y是(xRnx)與定點(diǎn)(1,-3)連線的斜率

設(shè)y(x)=xlnx

(x)=l+lnx,當(dāng)x€[2,4]時(shí),/(x)>0恒成立

/./W為增函數(shù)/(2)=21n2,/(4)=41n4=81n2

設(shè)曲線上兩點(diǎn)A(2,21n2),6(4,81n2)定點(diǎn)。(1,一3)

81n2+3

k=21n2+3,k=

ACRC3

..__81n2

??ywRec，砥c]21n2+3,--------F1

3

(2)思路：y=&+4+&-2/+10=Jl+22+/元一11+32,所以y可視

為點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(0,2),(1,3)距離和的取值范圍。結(jié)合圖形可

利用對(duì)稱性求出其最小值，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)向x軸兩側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，

其距離和趨向無(wú)窮大，進(jìn)而得到值域。

解：

y=VX2+4+VX2-2X+10=次+(0—2)2+7(X-1)2+(O-3)2

.?.y為動(dòng)點(diǎn)尸(x,0)到點(diǎn)A(0,2),B(l,3)距離和,即y=|R4|+|因

作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(0,-2)

.-.|PA|+|PB|=|PA|+|PB|>|A5|=>/26(等號(hào)成立條件：P,4,8共線)

當(dāng)x—或1—>-oo時(shí)、|R4|+|夫國(guó)f+oo

函數(shù)的值域?yàn)?8)

小煉有話說：本題在選擇點(diǎn)時(shí)要盡量讓更少的點(diǎn)參與進(jìn)來簡(jiǎn)化問題，所以要抓住

兩個(gè)距離共同的特點(diǎn)(例如本題中都抓住含根式中的尤0,所以找到了一個(gè)共同

的動(dòng)點(diǎn)(昌0))

答案：(1)21n2+3,^^+1(2)[726,4-00)

如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，見由定義域結(jié)合單調(diào)性(增、減)即可快速求出函數(shù)

的值域

(1)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法與結(jié)論：

①增+增一增減+