2019-2020學年江蘇省揚州市邗江中學高一數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE江蘇省揚州市邗江中學2019-2020學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B【點睛】本題考查已知直線的斜率求傾斜角，考查學生的基本計算能力以及對基本概念的理解，是一道容易題.2.在中，已知，那么最大內(nèi)角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意，設的三邊分別為，利用余弦定理求得的值，即可求解.【詳解】在中，因為，由正弦定理，可得設的三邊分別為，（其中），因為，所以角為三角形的最大角，又由余弦定理可得，又因為，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用，其中解答中利用余弦定理求得最大角的余弦值是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力.3.當a為任意實數(shù)時，直線（a–1）x–y+2a+1=0恒過的定點是A.（2，3） B.（–2，3） C.（1，–） D.（–2，0）【答案】B【解析】試題分析：直線方程可化為，故選B.考點：直線方程.【方法點晴】本題主要考查直線方程，涉及方程的恒成立問題，對于絕大多數(shù)學生思維跨越較大，屬中等難題．解決本題時，先將直線方程按照的降冪排列得，該方程要恒成立需，從而解得，求得定點．本題還可以通過特值法取得方程組，再解方程組即可得定點．4.設是三個互不重合的平面，是兩條互不重合的直線，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直線，平面直線平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷即可.【詳解】A.同時平行于一條直線的兩個平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A錯誤，B.若，則關系不確定，可能平行也可能相交，也可能異面，故B錯誤，C.若，則，C成立，D.若，則或與相交，故D錯誤，故選：C.【點睛】本小題主要考查空間線線、面面位置關系命題的判斷，屬于基礎題.5.若點在圓外，則直線與圓的位置關系是（）．A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【答案】C【解析】【詳解】由題知，圓心到直線的距離，故選．6.已知圓錐的表面積為9π，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設出圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐的表面積列方程，解方程求得圓錐的底面半徑.【詳解】設圓錐的底面半徑為，由于圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，故其母線長為，所以圓錐的表面積為，解得.故選：B點睛】本小題主要考查圓錐表面積有關計算，屬于基礎題.7.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的應用求出A的值，進一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判斷出三角形的形狀．【詳解】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．則：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC為等邊三角形．故選C．【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題型．8.如果圓上存在兩個不同的點P，Q，使得（O為坐標原點），則a的取值范圍（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由可得P，Q兩點在圓上，然后條件可轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個交點，然后建立不等式求解即可.【詳解】因為（O為坐標原點）所以P，Q兩點在圓上所以條件可轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個交點因為圓的圓心為，半徑為1所以，解得故選：A【點睛】本題考查的是圓的定義、圓與圓的位置關系，解答的關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關系，屬于基礎題..9.第41屆世界博覽會于2010年5月1日至10月31日，在中國上海舉行，氣勢磅礴的中國館——“東方之冠”令人印象深刻，該館以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”為設計理念，代表中國文化的精神與氣質(zhì)．其形如冠蓋，層疊出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗狀的主體建筑，總高度為60.3米，上方的“斗冠”類似一個倒置的正四棱臺，上底面邊長是139.4米，下底面邊長是69.9米，則“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角約為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到和的長度，從而得到的值，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，得到，從而得到答案.【詳解】依題意得“斗冠”的高為米，如圖，，，為“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角，，而，，且在上單調(diào)遞增，因為，所以，故選：C．【點睛】本題考立體幾何中求線段的長度和正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題.10.已知點是直線上一動點，直線是圓的兩條切線，為切點，為圓心，則四邊形面積的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】圓即,表示以C(0,-1)為圓心，以1為半徑的圓．由于四邊形PACB面積等于，而.故當PC最小時，四邊形PACB面積最小.又PC的最小值等于圓心C到直線的距離d,而，故四邊形PACB面積的最小的最小值為，故選A.點睛：直線與圓的位置關系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時要利用圓心與切點連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進而利用勾股定理可以建立等量關系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（３）直線與圓相離時，當過圓心作直線垂線時長度最?。?1.在長方體中，為上任意一點，則一定有（）A.與異面 B.與垂直C.與平面相交 D.與平面平行【答案】D【解析】【分析】取為的中點可判斷A、B、C選項的正誤；證明平面平面，可判斷D選項的正誤.【詳解】如下圖所示：對于A選項，當點為的中點時，平面，則直線與相交，A選項錯誤；對于B選項，當點為的中點時，為銳角，與不垂直，B選項錯誤；對于C選項，當點為的中點時，連接、交于點，則為的中點，在長方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，C選項錯誤；對于D選項，在長方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可證平面，，平面平面，平面，平面.D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.12.在平面直角坐標系中，圓：，圓：，點，動點，分別在圓和圓上，且，為線段的中點，則的最小值為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由得，根據(jù)向量的運算和兩點間的距離公式，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關系，即可求解的最小值，得到答案．【詳解】設，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線，所以,則又由，則，可得，化簡得，∴點的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M在圓C3內(nèi)，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【點睛】本題主要考查了圓的方程及性質(zhì)的應用，以及點圓的最值問題，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關系求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓的圓心到直線的距離為______.【答案】【解析】【分析】先得到圓的圓心坐標，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】圓的圓心為：，所以圓心到直線的距離為.故答案為：【點睛】本題主要考查圓的方程以及點到直線的距離，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.14.直線與平行，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得出實數(shù)滿足的等式與不等式，解出即可.【詳解】由于直線與平行，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查運算求解能力，屬于基礎題.15.2019年10月1日，在慶祝新中國成立70周年閱兵中，由我國自主研制的軍用飛機和軍用無人機等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門，壯軍威，振民心，令世人矚目．飛行員高超的飛行技術離不開艱苦的訓練和科學的數(shù)據(jù)分析．一次飛行訓練中，地面觀測站觀測到一架參閱直升飛機以千米/小時的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測到該飛機在北偏西的方向上，1分鐘后第二次觀測到該飛機在北偏東的方向上，仰角為，則直升機飛行的高度為________千米．（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】【分析】根據(jù)飛行時間和速度可求飛行距離，結(jié)合兩次觀察的方位角及三角形知識可得.【詳解】如圖，根據(jù)已知可得設飛行高度為千米，即，則;在直角三角形中，,所以，；在直角三角形中，同理可求；因為飛行速度為千米/小時，飛行時間是1分鐘，所以,所以，解得，故答案為.【點睛】本題主要考查以現(xiàn)實問題為背景的解三角形問題，準確理解方位角是求解本題的關鍵，融合了簡單的物理知識，側(cè)重考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).16.在正三棱錐中，M、N分別是棱、的中點，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是______.【答案】【解析】取中點，連接，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可確定兩兩互相垂直，由此可將所求的外接球轉(zhuǎn)化為以為棱的正方體的外接球的求解問題，根據(jù)正方體外接球的半徑可求得結(jié)果.【詳解】取中點，連接.三棱錐為正三棱錐，，，又為中點，，，平面，，平面，又平面，，又分別為中點，，，又，，平面，平面，平面，又平面，，，由正三棱錐特點知：兩兩互相垂直，三棱錐的外接球即為以為棱的正方體的外接球，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球表面積.故答案為：.【點睛】本題考查幾何體外接球表面積的求解問題，關鍵是能夠利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理得到三條側(cè)棱兩兩互相垂直，進而將問題轉(zhuǎn)化為正方體外接球表面積的求解問題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知頂點的坐標為，，，求外接圓的方程；（2）求直線被圓截得的弦長.【答案】（1）（2）【解析】（1）設出圓的一般方程，代入三個點的坐標，即可由方程組解得參數(shù)，求得圓的方程.（2）利用點到直線距離公式先求得弦心距，再根據(jù)勾股定理即可求得弦長一半，進而得弦長.【詳解】（1）設所求圓的方程為.因為點A，B，C在所求的圓上，故有解得故所求圓的方程為，化為標準方程可得.（2）圓，圓心，半徑，直線，所以圓心到直線的距離為，故由勾股定理可得弦長一半為，所以截得的弦長為.【點睛】本題考查了由三個點坐標求圓的一般方程的方法，直線與圓相交所得弦長的求法，屬于基礎題.18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，它的面積為S且滿足，.（1）求角B的大?。唬?）當時，求S.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，，結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求角B；（2）由，結(jié)合余弦定理求出，則S可求.【詳解】解：（1）根據(jù)余弦定理，所以由，得，∵，∴，∵，∴.又，∴.（2）由（1）及余弦定理得：，∴，又，∴，，故.【點睛】考查余弦定理、三角形面積公式的應用以及恒等變形，中檔題.19.如圖，三棱柱中，平面平面，是的中點．（1）求證：平面；（2）若，，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】（1）連結(jié)交于點，則為的中點，可知，進而由線面平行的判定定理可證明平面；（2）在中，利用余弦定理可求得，進而可知，即，再結(jié)合平面平面，可知平面，進而求出，從而由可求出答案.【詳解】（1）連結(jié)交于點，則為的中點，因為是的中點，所以，又平面，平面，所以平面．（2），，，，，，．又平面平面，平面平面，平面，平面．，，∴四邊形為菱形，為正三角形，.．．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查三棱錐體積的求法，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于基礎題.20.在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7nmile以內(nèi)海域被設為警戒水域.點E正北55nmile處有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40nmile的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東(其中，)且與點A相距10nmile的位置C．（I）求該船的行駛速度（單位：nmile/h）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.【答案】（I）船的行駛速度為（海里/小時）.（II）船會進入警戒水域.【解析】試題分析：(I)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值，從而可求出船的行駛速度.(II)判斷船是否會進入警戒水域，關鍵是看點E到直線l的距離與半徑7的關系，因而可求出直線l的方程，以及E點坐標，然后再根據(jù)點到直線的距離公式得到結(jié)論.（I）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為（海里/小時）.（II）解法一如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B、C的坐標分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點為D.由題設有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點E（0，-55）到直線l的距離d=所以船會進入警戒水域.解法二:如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.從而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.過點E作EPBC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin=所以船會進入警戒水域.考點：正余弦定理在解三角形當中的應用，直線方程，點到直線的距離，直線與圓的位置關系.點評：掌握正余弦定理及能解決的三角形類型是解三角形的前提.第（II）問關鍵是知道如何判斷船是否會進入警戒水域,實質(zhì)是直線與圓的位置關系的判斷.21.已知圓M的方程為，直線l的方程為，點P在直線l上，過P點作圓M的切線，，切點為A，B.（1）若，試求點P的坐標；（2）求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標；（3）設線段的中點為N，求點N的軌跡方程.【答案】（1）或（2）證明見解析；定點和（3）【解析】（1）設，由題可知，代入兩點間的距離公式可得，求解可得點的坐標；（2）的中點，因為PA是圓M的切線，進而可知經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關于m的恒等式，進而可求得x和y，得到結(jié)果；（3）結(jié)合（2）將