重難點35 圖形的分割與拼接

重難點35圖形的分割與拼接第171天化整歸一有妙用1.已知三角形紙片的面積為的長為按下列步驟將三角形紙片進行裁剪和拼圖：第一步:如圖(1),沿的中位線將紙片剪成兩部分.在線段上任意取一點,在線段上任意取一點,沿將四邊形紙片剪成兩部分;第二步:將左側(cè)紙片繞點旋轉(zhuǎn),使線段與重合;將右側(cè)紙片繞點旋轉(zhuǎn),使線段與重合,再與三角形紙片拼成一個與三角形紙片面積相等的四邊形紙片.(1)當(dāng)點在如圖②所示的位置時,請按照第二步的要求,在圖2中補全拼成的四邊形;(2)在按以上步驟拼成的所有四邊形紙片中,求其周長的最小值.補全圖形如解圖所示;的面積是,點到的距離為12,是的中位線,平行線與間的距離為6,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,,點在同一條直線上,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,點在同一條直線上.同理:點直線上,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,,,四邊形是平行四邊形,的周長為.拼成的所有四邊形紙片中,其周長最小時,最小,即周長的最小值為.第172天修修補補煥新容2.如圖,面積為6的平行四邊形紙片中,,按下列步驟裁剪和拼圖.第一步:如圖(1),將平行四邊形紙片沿對角線剪開,得到和紙片,再將紙片沿剪開為線段上任意一點),得到和紙片;第二步:如圖(2),將紙片平移至處,將紙片平移至處;第三步:如圖(3),將紙片翻轉(zhuǎn)過來使其背面朝上置于處邊與重合,和在同側(cè)將紙片翻轉(zhuǎn)過來使其背面朝上置于處,(邊與重合,和在同側(cè)).則在由紙片拼成的五邊形中,求的長及對角線的長度的最小值.解:這一系列操作下,會有多個三角形全等,這些都是隱含條件,我們要充分利用.是等腰直角三角形,當(dāng)最小時,對角線最小,即取最小值,當(dāng)時,取最小值.如解圖,過點作于點,平行四邊形的面積為6,,.第173天歸納推理新突破3.操作探究聰明的小紅在學(xué)習(xí)了相關(guān)知識后給出了一個“可裁長方形”的定義：當(dāng)相鄰兩邊長分別為的長方形通過下圖中的方法裁剪掉一個最大的正方形后，再把剩下的部分裁剪出一個最大的正方形，如此反復(fù)，最后剩下的部分也是一個正方形，像這樣一類長方形稱為可裁長方形.并進行了以下探索：（1）當(dāng)一個可裁長方形經(jīng)過一次裁剪就可以得到全部正方形，則的值為________；（2）當(dāng)一個可裁長方形經(jīng)過兩次裁剪就可以得到全部正方形，則所有符合條件的的值為________；（3）當(dāng)一個可裁長方形經(jīng)過三次裁剪就可以得到全部正方形，畫出所有符合條件的可裁長方形，標(biāo)注出裁剪線，并在對應(yīng)的圖形下方寫出的值.方法遷移取一個自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以加上；若它是偶數(shù)，則除以，按此規(guī)則經(jīng)過若干步的計算最終可得到.這個結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明.但舉例驗證都是正確的.例如：取自然數(shù).最少經(jīng)過下面步運算可得，即：，如果自然數(shù)最少經(jīng)過步運算可得到，則所有符合條件的的值為________.3.解：考考大寶貝們的推理能力.準(zhǔn)備好了嗎.操作探究：（1）；（2）或；（3）當(dāng)一個可裁長方形經(jīng)過三次裁剪就可以得到全部正方形,畫出符合條件的可裁長方形如解圖：方法遷移：.第174天勾股分割常相隨4.（1）小明同學(xué)在網(wǎng)絡(luò)直播課中學(xué)習(xí)了勾股定理，他想把這一知識應(yīng)用在等邊三角形中：邊長為的等邊三角形面積是________(用含的代數(shù)式表示)；（2）小明同學(xué)進一步思考：是否可以將正方形剪拼成一個等邊三角形(不重疊、無縫隙)？①如果將一個邊長為的正方形紙片剪拼成等邊三角形，試求該三角形邊長的平方；②小明同學(xué)按下圖切割方法將正方形剪拼成一個等邊三角形分別為邊上的中點，是邊上兩點，為上一點，且.請補全圖形,畫出拼成正三角形的各部分分割線，并標(biāo)號；③正方形的邊長為，設(shè)，求的值.4.解：（1）；（2）①∵邊長為的正方形的面積為，∴剪拼成的等邊三角形的面積為，∴，∴，即該三角形邊長的平方是.②補全圖形如解圖所示；③有要想起神器——勾股定理，小寶貝們.如解圖，連接，由題意知，.∴是的中位線，∴，∵為邊上的中點，∴，∵邊長為的正方形的面積，∴剪拼成的等邊三角形的面積，∴，∴，即邊長的平方是，∴，∴.∵，∴，∴.第175天豐富多彩七巧板5.七巧板游戲是將一個正方形分割成七塊，然后用這七塊拼接成豐富多彩的幾何圖形.如圖所示是正方形的一種分割方法，并在每塊上標(biāo)了號碼.（1）設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為，則面積為的有________號圖形；（2）只改變圖中的號圖形的位置，使它和其他部分拼成一個新的多邊形，請在圖中畫出所拼的圖形（只需畫出號圖形）;（3）將這副七巧板的七塊圖形重新拼成一個與圖、圖形狀不同的多邊形，（不留縫隙且不相互重疊），請在圖中畫出所拼的圖形，并使多邊形的頂點落在格點上.5.解：（1）；小小機靈鬼們，是時候質(zhì)示我們的才藝了，比比誰畫得更美.（2）號圖形的位置如解圖①，②所示；（只需畫出一種即可）（3）拼成多邊形,如解圖③（答案不唯一）.綜合強化練351.如圖，將長為、寬為的長方形紙片分割成個三角形后，拼成面積為的正方形，則不等于（）A.2B.3C.4D.51.小鹿相信你們都可以拼出來的.A【解析】如解圖，將長為、寬為的長方形紙片分割成個三角形后，拼成面積為的正方形,則可以為，故.2.如圖甲，將一個長為，寬為的長方形紙片剪去兩個小長方形，得到一個“”的圖案，如圖乙所示，再將剪下的兩個小長方形拼成一個新的長方形，如圖丙所示.則新長方形的周長可以表示為（）A.B.C.D.2.這個“”有點熟悉，你們有沒有想起什么，哈哈，B【解析】觀察題圖可得，新的長方形的寬為，長為，∴新長方形的周長可表示為.3.(2020浙江自主招生)已知的三條邊長分別為，在所在平面內(nèi)畫一條直線，將分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A.5條B.6條C.7條D.8條3.深思熟慮，思考全面，可不能漏掉一條喲，我的寶.C【解析】如解圖所示，當(dāng)時，都能得到符合題意的等腰三角形.4.將一個無蓋正方體紙盒展開(如圖①)，沿虛線剪開，用得到的張紙片(其中張是全等的直角三角形紙片)拼成一個正方形(如圖②).則所剪得的直角三角形較短的與較長的直角邊的比是________.4.【解析】由題圖可得，所剪得的直角三角形較短的邊是原正方體棱長的一半，而較長的直角邊正好是原正方體的棱長，所以所剪得的直角三角形較短的與較長的直角邊的比是.不錯不錯，有理有據(jù)，小鹿被說服了.5.如圖，已知四邊形紙片，現(xiàn)將該紙片剪拼成一個與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到：________(用“能”或“不能”填空).若“能”，請確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若“不能”，請簡要說明理由.方法或理由：________.5.能；取四邊形紙片各邊的中點，連接，則為裁剪線，將繞旋轉(zhuǎn)繞旋轉(zhuǎn)沿方向平移，使與重合.6.手工課上，老師要求同學(xué)們將邊長為的正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形，聰明的你請在下列四個正方形中畫出不同的剪裁線，并直接寫出每種不同分割后得到的最小等腰直角三角形的面積.(注：不同的分法，面積可以相等)6.解：當(dāng)你說出自己的想法，你才會去實行它，所以我的寶，有想法就嘗試寫出來，萬一都對呢.根據(jù)分析，分割方法如解圖：（1）第一種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是，每個最小的等腰直角三角形的面積是：.（2）第二種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是，每個最小的等腰直角三角形的面積是：.（3）第三種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是,每個最小的等腰直角三角形的面積是：.（4）第四種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是，每個最小的等腰直角三角形的面積是：7.把一個等腰直角三角形沿斜邊上的中線(裁剪線)剪一刀，把分割成的兩部分可以拼成一個平行四邊形，如圖①所示.(以下有畫圖要求的，工具不限，不必寫畫法和證明)（1）試一試：按上述的裁剪方法，請你在圖②中再畫出一個拼得的特殊四邊形的示意圖.（2）想一想：在等腰直角三角形中，請你沿一條中位線(裁剪線)剪一刀，把分割成的兩部分拼成一個特殊四邊形，請你在圖③、圖④中分別畫出拼得的特殊四邊形的示意圖.(要求：畫不同拼接方法的示意