重難點21 角平分線問題

重難點21角平分線問題第101天面積運算有捷徑1.數(shù)學閱讀:古希臘數(shù)學家海倫曾提出一個利用三角形三邊之長求面積的公式:若一個三角形的三邊長分別為,則這個三角形的面積為,其中.這個公式稱為“海倫公式”.數(shù)學應用:如圖,在中,已知，，.(1)請運用海倫公式求的面積；(2)若，為的兩條角平分線,它們的交點為,求的面積.第1題圖解：（1）小康怎么想到了海倫·凱勒的《假如給我三天光明》，小寶貝們你們想到了什么，可以分享給小鹿.，，；(2)過點作,垂足為,,連接,自己動手試試看.為的兩條角平分線,,解得,故.第102天角平分線解鎖碼2.已知，是平分線上一點,點在射線上,過點作,交直線于點,過點作于點.(1)如圖①,若,求證:;(2)如圖②,若,寫出線段及之間的數(shù)量關系,并說明理由.圖①圖②第2題圖(1證明:不就證明相等嗎,簡直小case,二話不說,先作垂直看看.過點作于點,∵點在的平分線上，且于點，,,ASA;(2)解:,理由如下:就算換條件,換結(jié)論,也同樣小意思,不變的依然是找全等.過點作于點,同(1,可證,易證，.數(shù)學家簡介畢達哥拉斯(約公元前580年～公元前年),古希臘數(shù)學家,晢學家.畢達哥拉斯在宇宙論方面,結(jié)合了米利都學派以及自己有關數(shù)的理論.他認為存在著許多但有限個世界,并堅持大地是圓形的,不過他拋棄了米利都學派的地心說.畢達哥拉斯對數(shù)學的研究還產(chǎn)生了后來的理念論和共相論.他還堅持數(shù)學論證必須從“假設”出發(fā),開創(chuàng)演繹邏輯思想,對數(shù)學發(fā)展影響很大.第103天勾股全等齊上陣在中,和的平分線相交于點.(1)如圖①,直線交于點,直線交于點,求證:；(2)如圖②,把三角板上角的頂點放在點處,角的兩邊分別與邊相交于點,連接,若,求的周長.圖①圖②第3題圖(1)證明：看完題圖，就知道一定要作輔助線，思來想去，還是作角平分線.如解圖①,在上截取,連接.易證和分別是和的平分線，，，， 又，，；(2)解：如解圖②，過點分別作于點，于點，在上截取，連接，則，由（1）得：，，，，即，，即，，又，，，即，。的周長,,,,在中,，,的周長.圖①圖②第3題解圖第104天兩種平分靈活用4.如圖,在中,平分的垂直平分線交于點,交于點,連接(1)若,求的度數(shù)；(2)若,求點到的距離.第4題圖解:這里是在座各位的主場,showtime,開始你們的才藝展示.(1)平分,,,是的垂直平分線,,;(2)如解圖,過點分別作于點于點,平分,,,即點到的距離為.第4題解圖第105天尺規(guī)巧做三等分 5.(1)閱讀理解:我們知道,只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個經(jīng)典希臘問題之一是三等分任意角,但是這個任務可以供助如圖所示的一邊上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角頂點為,"寬臂"的寬度(這個條件很重要哦!),勾尺的一邊滿足三點共線(所以.下面以三等分為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：第一步:畫直線使,且這兩條平行線的距離等于；第二步:移動勾尺到合適位置,使其頂點落在上,使勾尺的邊經(jīng)過點,同時讓點落在的邊上;第三步:標記此時點和點所在位置,作射線和射線.請完成第三步操作,則圖中的三等分線是射線_______、_________； (2)請你完成證明的過程;(3)在的條件下探究:是否成立?如果成立,請說明理由;如果不成立,請在下圖中的外部畫出(無需寫畫法,保留畫圖痕跡即可).有沒有跟小鹿一樣喜歡閱讀材料的題呢,理解了，做起來簡單快速，仿佛上課一樣.(1)解:作射線如解圖：;(2)證明:..;(3)解:在的條件下探究:不成立,在外部所畫.如解圖.第5題解圖綜合強化練211.如圖,已知為平分線上一點,于點于點,點分別是射線上的點,且.(1)當點在線段上,點在線段的延長線上時,求證:;(2)在的條件下,求與之間的數(shù)量關系.第1題圖如此絕好的展現(xiàn)機會,小鹿就留給各位寶貝們了.(1)證明:為平分線上一點,,,,;(2)解:由知,,.2.在中,為銳角,平分交于點的垂直平分線交的延長線于點,交于點,連接.(1)如圖①,若,判斷之間有怎樣的數(shù)量關系,并加以證明;(2)如圖(2),若,求的度數(shù).圖①圖②第2題圖解:(1);證明:尋寶游戲開始,這是小鹿的第一條線索.如解圖①,在線段上截取,連接,平分,,SAS.垂直平分,又，是等邊三角形,;(2)這是小鹿提供的第二條線索.如解圖(2