第十一章 反比例函數(shù)（4類壓軸題專練）

第十一章反比例函數(shù)（4類壓軸題專練）題型一反比例函數(shù)與全等綜合1．如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，且，直線與雙曲線交于點，則（n為正整數(shù)）的坐標是（

）A． B． C． D．2．兩個反比例函數(shù)，在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，點、、……反比例函數(shù)圖像上，它們的橫坐標分別是、、……，縱坐標分別是1，3，5，…，共2020個連續(xù)奇數(shù)，過點、、……分別作軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖像交點依次是、、……，則等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．40393．如圖，點為反比例函數(shù)（，）上的一點，點為軸負半軸上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉，點的對應點為點．若點恰好也在反比例函數(shù)的圖像上，且點的橫坐標是點橫坐標的兩倍，則的值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形的一條邊軸于點B，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)（，）的圖象交于點D，連結，，若點D是中點，的面積為3，則k的值為__________________．題型二反比例函數(shù)中k的應用5．如圖，在軸正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An，過點A1、A2、A3、…、An分別作軸的垂線，與反比例函數(shù)(＞0)交于點P1、P2、P3、…、Pn，連接P1P2、P2P3、…、Pn－1Pn，過點P2、P3、…、Pn分別向P1A1、P2A2、…、Pn－1An－1作垂線段，構成的一系列直角三角形(圖中陰影部分)的面積和等于（

）A．2 B． C．2n+1 D．6．如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點分別作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，得直角三角形，并設其面積分別為，則的值為（

）

A． B． C． D．7．如圖，在軸正半軸上依次截取，過點、、、……分別作軸的垂線，與反比例函數(shù)交于點、、、…、，連接、、…，，過點、、…、分別向、、…、作垂線段，構成的一系列直角三角形（圖中陰影部分）的面積和等于（

）.A． B． C． D．題型三反比例函數(shù)與特殊平行四邊形結合8．（1）如圖，已知點、在雙曲線上，軸與，軸于點，與交于點，是的中點，點的橫坐標為2．與的坐標分別為____、______（用表示），由此可以得與的數(shù)量關系是____．（2）四邊形的四個頂點分別在反比例函數(shù)與的圖象上，對角線軸，且于點，是的中點，點的橫坐標為6．①當，時，判斷四邊形的形狀并說明理由．②若四邊形為正方形，直接寫出此時，之間的數(shù)量關系．

9．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)的圖象交于點，．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式；(2)點為軸正半軸上一點，當?shù)拿娣e為9時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，將直線向上平移，平移后的直線交反比例函數(shù)圖象于點，交軸于點，點為平面直角坐標系內(nèi)一點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標；并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．10．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點A的橫坐標是，點A關于坐標原點O的對稱點為點B，作直線．

(1)判斷點B是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；(2)如圖1，過坐標原點O作直線交反比例函數(shù)的圖象于點C和點D，點C的橫坐標是4，順次連接，，和．求證：四邊形是矩形；(3)已知點P在x軸的正半軸上運動，點Q在平面內(nèi)運動，當以點O，B，P和Q為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出此時點P的坐標．11．如圖1，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且，）的圖像經(jīng)過點兩點．(1)m與n的數(shù)量關系是(

)A． B． C． D．(2)如圖2，若點A繞x軸上的點P順時針旋轉，恰好與點B重合．①求點P的坐標及反比例函數(shù)的表達式；②連接、，則的面積為_____；(3)若點M在反比例函數(shù)的圖像上，點N在y軸上，在（2）的條件下，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．題型四反比例函數(shù)與一次函數(shù)結合12．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于B，與x軸交于A，與y軸交于C．

(1)若點．①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；②在y軸上取一點P，當?shù)拿娣e為5時，求點P的坐標；(2)過點B作軸于點D，點E為中點，線段交y軸于點F，連接．若的面積為11，求k的值．13．如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象分別交于點A和點B，與x軸交于點C，與y軸交于點D．

(1)如圖1，當點A坐標為時，①求直線的解析式：②若點P是反比例函數(shù)在第一象限直線上方一點，當面積為2時，求點P的坐標；

第十一章反比例函數(shù)（4類壓軸題專練）答案全解全析題型一反比例函數(shù)與全等綜合1．如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，且，直線與雙曲線交于點，則（n為正整數(shù)）的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的坐標，由題意容易得到為等腰直角三角形，即可得到，然后過作交y軸于H，，通過反比例函數(shù)解析式可求出x，從而能夠得到，再同樣求出，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【詳解】解：聯(lián)立，解得，∴，，由題意可知，∵，∴為等腰直角三角形，∴，過作交y軸于H，則容易得到，設，則，∴，解得，（舍），∴，，∴，用同樣方法可得到，因此可得到，即故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于規(guī)律問題，求出是解題的關鍵．2．兩個反比例函數(shù)，在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，點、、……反比例函數(shù)圖像上，它們的橫坐標分別是、、……，縱坐標分別是1，3，5，…，共2020個連續(xù)奇數(shù)，過點、、……分別作軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖像交點依次是、、……，則等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039【答案】A【分析】主要是找規(guī)律，找出規(guī)律即可求出本題答案，先根據(jù)已知條件求出分別為1、3、5時的值，即可求出當時的值，再將其代入中即可求出．【詳解】解：當時，、、…分別為6、2、…將、、…代入，得：、、…，故選：A．3．如圖，點為反比例函數(shù)（，）上的一點，點為軸負半軸上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉，點的對應點為點．若點恰好也在反比例函數(shù)的圖像上，且點的橫坐標是點橫坐標的兩倍，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先可證得，得出，，再得出點的橫坐標，進而得出點的縱坐標，再利用，求出點B的縱坐標，進而得出點的橫坐標，最后根據(jù)，建立方程求解即可得出結論．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，

，，由旋轉知，，，，，，，，點的橫坐標是點橫坐標的兩倍，且點，點，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構造出是解本題的關鍵．4．如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形的一條邊軸于點B，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)（，）的圖象交于點D，連結，，若點D是中點，的面積為3，則k的值為__________________．

【答案】【分析】利用反比例函數(shù)的幾何意義，表示出點A的坐標的關系，利用的面積，求出點A的坐標的積，從而求出答案．【詳解】解：如下圖，過C作、軸，作軸，

設點，∴，，∵為等邊三角形且，∴，，∴矩形中，，∵D是中點，∴DE=14b，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義的應用，等邊三角形的“三線合一”和中位線的應用是解題的關鍵．題型二反比例函數(shù)中k的應用5．如圖，在軸正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An，過點A1、A2、A3、…、An分別作軸的垂線，與反比例函數(shù)(＞0)交于點P1、P2、P3、…、Pn，連接P1P2、P2P3、…、Pn－1Pn，過點P2、P3、…、Pn分別向P1A1、P2A2、…、Pn－1An－1作垂線段，構成的一系列直角三角形(圖中陰影部分)的面積和等于（

）A．2 B． C．2n+1 D．【答案】B【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=An－1An=1可知P1點的坐標為（1，y1），P2點的坐標為（2，y2），P3點的坐標為（3，y3），…，Pn點的坐標為（n，yn），把x=1，x=2，x=3代入反比例函數(shù)的解析式即可求出y1、y2、y3、…、yn的值，再由三角形的面積公式可得出S1、S2、S3、…、Sn－1的值，故可得出結論．【詳解】設OA1=A1A2=A2A3=…=An－1An=1，∴設P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…，Pn（n，yn）∵P1，P2，P3，…，Pn在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，，，，…，．∴，，，……，∴．故選B．【點睛】考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．6．如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點分別作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，得直角三角形，并設其面積分別為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義再結合圖象即可解答．【詳解】解：因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，S=|k|=1又因為OA?=A?A?=A?A?=A?A4=…所以S?=1，S?=S?=，S?=S?=，S4=S?=S5=S?=…依次類推：Sn=S?=當n=2018時，S2018=故選：A【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)及直角三角形的面積，根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義求面積是解題的關鍵．7．如圖，在軸正半軸上依次截取，過點、、、……分別作軸的垂線，與反比例函數(shù)交于點、、、…、，連接、、…，，過點、、…、分別向、、…、作垂線段，構成的一系列直角三角形（圖中陰影部分）的面積和等于（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由可設點的坐標為（1，），點的坐標為（1，），點的坐標為（1，）…點的坐標為（1，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函數(shù)的解析式即可求出的值，再由三角形的面積公式可以得出…的值，即可得出答案.【詳解】∵∴設（1，），（1，），（1，）…（1，）∵、、、…、在反比例函數(shù)的圖像上∴∴∴∵∴…∴因此答案選擇B.【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖像上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵.題型三反比例函數(shù)與特殊平行四邊形結合8．（1）如圖，已知點、在雙曲線上，軸與，軸于點，與交于點，是的中點，點的橫坐標為2．與的坐標分別為、（用表示），由此可以得與的數(shù)量關系是．（2）四邊形的四個頂點分別在反比例函數(shù)與的圖象上，對角線軸，且于點，是的中點，點的橫坐標為6．①當，時，判斷四邊形的形狀并說明理由．②若四邊形為正方形，直接寫出此時，之間的數(shù)量關系．【答案】（1），，；（2）①菱形，理由見解析；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）①先確定出點，坐標，再利用待定系數(shù)法即可得出結論，確定出點，，坐標，進而求出，，即可得出結論；②先確定出，，進而求出點的坐標，再求出，坐標，最后用，即可得出結論．【詳解】解：（1）軸于，軸于點，，由題意得，，，，，，故答案為：，，．（2）①當時，，點的坐標為；當時，，，點為線段的中點，設，則，，，，，，，，點的坐標為，，四邊形為平行四邊形．又，四邊形為菱形．②四邊形能成為正方形．當四邊形為正方形時，設．，當時，，點的坐標為，點的坐標為．點在反比例函數(shù)的圖象上，，解得：或（舍去），點的縱坐標為，點的坐標為，，整理得：．即四邊形能成為正方形，此時．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握菱形的判定以及正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．9．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)的圖象交于點，．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式；(2)點為軸正半軸上一點，當?shù)拿娣e為9時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，將直線向上平移，平移后的直線交反比例函數(shù)圖象于點，交軸于點，點為平面直角坐標系內(nèi)一點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標；并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】(1)，(2)(3)點坐標為或或，見解析【分析】（1）先確定點坐標，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設，，則，再由，求出的值即可求點坐標；（3）先求平移后的直線解析式為，則，設，根據(jù)平行四邊形對角線的情況分三種情況討論即可．【詳解】（1）點，在反比例函數(shù)圖象上，，解得，，反比例函數(shù)的解析式為；設一次函數(shù)的解析式為，，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）直線與軸的交點，設，，，，，解得，；（3）設直線向上平移后的函數(shù)解析式為，在反比例函數(shù)圖象上，，，將點代入，則，平移后的直線解析式為，，設，①當為平行四邊形的對角線時，，，；②當為平行四邊形的對角線時，，，；③當為平行四邊形的對角線時，，，；綜上所述：點坐標為或或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的方法是解題的關鍵．10．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點A的橫坐標是，點A關于坐標原點O的對稱點為點B，作直線．

(1)判斷點B是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；(2)如圖1，過坐標原點O作直線交反比例函數(shù)的圖象于點C和點D，點C的橫坐標是4，順次連接，，和．求證：四邊形是矩形；(3)已知點P在x軸的正半軸上運動，點Q在平面內(nèi)運動，當以點O，B，P和Q為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出此時點P的坐標．【答案】(1)點B在反比例函數(shù)的圖象上，理由見解析(2)證明見解析(3)點P的坐標為或或【分析】（1）求出點的坐標，判斷即可；（2）證明，，推出四邊形是平行四邊形，再證明，可得結論；（3）分三種情況：當四邊形是菱形時，；當四邊形是菱形時，；當四邊形是菱形時，．【詳解】（1）解：結論：點B在反比例函數(shù)的圖象上．理由：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點A的橫坐標是，∴，∵A，B關于原點對稱，∴，∵時，，∴點B在反比例函數(shù)的圖象上；（2）證明：由題意，，，∵C，D關于原點對稱，∴，∵A，B關于原點對稱，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴四邊形是矩形；（3）解：如圖，當四邊形是菱形時，．當四邊形是菱形時，．當四邊形是菱形時，，綜上所述，滿足條件的點P的坐標為或或．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．11．如圖1，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且，）的圖像經(jīng)過點兩點．(1)m與n的數(shù)量關系是(

)A． B． C． D．(2)如圖2，若點A繞x軸上的點P順時針旋轉，恰好與點B重合．①求點P的坐標及反比例函數(shù)的表達式；②連接、，則的面積為_____；(3)若點M在反比例函數(shù)的圖像上，點N在y軸上，在（2）的條件下，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)B(2)①，反比例函數(shù)的表達式為，②8(3)存在，或【分析】（1）把分別代入得：，即可解答；（2）①過點A作軸于點C，過點B作軸于點D，證明，得出，，，，根據(jù)，，即可求出m和n的值，進而得到點P坐標，用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達式；②設所在直線函數(shù)表達式為，直線交x軸于點C，求出所在直線函數(shù)表達式為，再求出，則，最后根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)M在反比例函數(shù)的圖像上，點N在y軸上，設，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標公式，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：把分別代入得：，∴，整理得：，故選：B．（2）解：①過點A作軸于點C，過點B作軸于點D，∴，∴，∵點A繞x軸上的點P順時針旋轉90°，恰好與點B重合∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∵，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵反比例函數(shù)的表達式為過，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；②設所在直線函數(shù)表達式為，直線交x軸于點C，將代入得：，解得：，∴所在直線函數(shù)表達式為，把代入得，解得：，∴，則，∴，故答案為：8．（3）解：∵M在反比例函數(shù)的圖象上，點N在y軸上，∴設，∵以A、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，∴以A、B、M、N為頂點的四邊形對角線互相平分，①當為對角線時，，解得：，∴；②當為對角線時，，解得：，∴；∵，∴不符合題意，舍去③當為對角線時，，解得：，∴綜上：存在，或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，割補法求面積，平行四邊形的存在性問題，解決本題的關鍵在于各知識的綜合應用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．題型四反比例函數(shù)與一次函數(shù)結合12．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于B，與x軸交于A，與y軸交于C．

(1)若點．①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；②在y軸上取一點P，當?shù)拿娣e為5時，求點P的坐標；(2)過點B作軸于點D，點E為中點，線段交y軸于點F，連接．若的面積為11，求k的值．【答案】(1)①②或(2)【分析】（1）①根據(jù)點，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式