2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明課時作業(yè)3合情推理含解析新人教A版選修1-2

PAGEPAGE1課時作業(yè)3合情推理時間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題6分，共計36分)1．?dāng)?shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)…的一個通項公式是()A．a(chǎn)n＝eq\r(3n－3) B．a(chǎn)n＝eq\r(3n－1)C．a(chǎn)n＝eq\r(3n＋1) D．a(chǎn)n＝eq\r(3n＋3)解析：方法一：因為a1＝eq\r(3×1－1)，a2＝eq\r(3×2－1)，a3＝eq\r(3×3－1)，a4＝eq\r(3×4－1)，由此揣測an＝eq\r(3n－1)，方法二：由a1＝eq\r(2)可解除A、C、D，選B.答案：B2．下邊所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)覺的，稱為楊輝三角形，依據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是()1121133114a4115101051A．2 B．4C．6 D．8解析：由楊輝三角形可以發(fā)覺：每一行除1外，每個數(shù)都是它肩膀上的兩數(shù)之和．故a＝3＋3＝6.答案：C3．類比平面正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，則在正四面體的下列性質(zhì)中，你認為比較恰當(dāng)?shù)氖?)①各棱長相等，同一頂點上的隨意兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，隨意相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形．A．① B．①②C．①②③ D．③解析：由平面幾何與立體幾何的類比特點可知三條性質(zhì)都是恰當(dāng)?shù)模鸢福篊4．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋aC．a(chǎn)1a2…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×解析：等比數(shù)列中的積運算類比等差數(shù)列中的和運算，從而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋2eq\o(,\s\do4(9個))＝2×9.答案：D5．視察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2041，…，則72013的末兩位數(shù)字為()A．01 B．43C．07 D．49解析：因為71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2013＝4×503＋1，所以72013的末兩位數(shù)字與71的末兩位數(shù)字相同，為07.答案：C6．將正整數(shù)排成下表：12345678910111213141516…則在表中數(shù)字2013出現(xiàn)在()A．第44行第78列 B．第45行第78列C．第44行第77列 D．第45行第77列解析：第n行有2n－1個數(shù)字，前n行的數(shù)字個數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2013<2025，∴2013在第45行．又2025－2013＝12，且第45行有2×45－1＝89個數(shù)字，∴2013在第89－12＝77列．答案：D二、填空題(每小題8分，共計24分)7．有下列不等式：a2＋b2≥2ab，a3＋b3≥a2b＋ab2，…，其中a，b都大于0，試猜想：若a，b都大于0，m，n∈N*，則am＋n＋bm＋n≥________.解析：由a2＋b2≥ab＋ab，a3＋b3≥a2b＋ab2，由此猜想，am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.答案：ambn＋anbm8．在平面上，若兩個正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：189．下圖(1)所示的圖形有面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則下圖(2)所示的圖形有體積關(guān)系：eq\f(VP—A′B′C′,VP—ABC)＝________.答案：eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)三、解答題(共計40分)10．(10分)已知在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.解：(1)a2＝eq\f(3a1,a1＋3)＝eq\f(3×\f(1,2),\f(1,2)＋3)＝eq\f(3,7)＝eq\f(3,2＋5)，同理，a3＝eq\f(3a2,a2＋3)＝eq\f(3,8)＝eq\f(3,3＋5)，a4＝eq\f(3,9)＝eq\f(3,4＋5)，a5＝eq\f(3,10)＝eq\f(3,5＋5)，(2)猜想an＝eq\f(3,n＋5).11．(15分)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，視察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…依據(jù)以上事實，由歸納推理歸納當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)的表達式．解：由已知可歸納如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).所以歸納得到當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).12．(15分)在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地，在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和．(1)寫出相應(yīng)的結(jié)論，推斷該結(jié)論是否正確？并加以證明；(2)寫出該結(jié)論的一個更為一般的情形(不必證明)．解：(1)數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的．證明如下：因為等差數(shù)列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10eq\o