2024秋高中數(shù)學模塊綜合評價課堂演練含解析新人教A版選修4-4

PAGE10-模塊綜合評價(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．在極坐標系中，圓ρ＝sinθ的圓心的極坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B．(1，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))解析：將圓的極坐標方程ρ＝sinθ化成直角坐標方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，可知圓心的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，化為極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2))).答案：C2．在極坐標系中，過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))且與極軸平行的直線方程是()A．ρ＝2 B．θ＝eq\f(π,2)C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2解析：極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))的點的直角坐標為(0，2)，過該點且與極軸平行的直線的方程為y＝2，其極坐標方程為ρsinθ＝2.答案：D3．在同一坐標系中，將曲線y＝2sinx變?yōu)榍€y′＝sin2x′的伸縮變換是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝\f(1,2)y′)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,2)y))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′，,y＝2y′)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))解析：設eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))則μy＝sin2λx，即y＝eq\f(1,μ)sin2λx，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,μ)＝2，,2λ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,2)，,λ＝\f(1,2).))答案：B4．若曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，則下列說法中正確的是()A．曲線C是直線且過點(－1，2)B．曲線C是直線且斜率為eq\f(\r(3),3)C．曲線C是圓且圓心為(－1，2)D．曲線C是圓且半徑為|t|解析：曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，消去參數(shù)t得曲線C的一般方程為eq\r(3)x－y＋2＋eq\r(3)＝0.該方程表示直線，且斜率是eq\r(3).把(－1，2)代入，成立，所以曲線C是直線且過點(－1，2)．答案：A5．點M的極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))，它關于直線θ＝eq\f(π,2)的對稱點坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(11π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,6))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(11π,6)))解析：當ρ<0時，它的極角應在反向延長線上．如圖，描點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))時，先找到角－eq\f(π,6)的終邊，又因為ρ＝－2<0，所以再在反向延長線上找到離極點2個單位長度的點即是點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6))).直線θ＝eq\f(π,2)就是極角為eq\f(π,2)的那些點的集合．故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))關于直線θ＝eq\f(π,2)的對稱點為M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，但是選項沒有這樣的坐標．又因為M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))的坐標還可以寫成M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7π,6)))，故B項正確．答案：B6．已知雙曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3secθ，,y＝4tanθ))(θ為參數(shù))，在下列直線的參數(shù)方程中(下列方程中t為參數(shù))：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3t，,y＝4t；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝1－\f(1,2)t；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－\f(4,5)t；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3t，,y＝－4－4t.))可以作為雙曲線C的漸近線方程的是()A．①③⑤ B．①⑤C．①②④ D．②④⑤解析：由雙曲線的參數(shù)方程知，在雙曲線中對應的a＝3，b＝4且雙曲線的焦點在x軸上，因此其漸近線方程是y＝±eq\f(4,3)x.檢驗所給直線的參數(shù)方程可知只有①③⑤符合條件．答案：A7．已知過曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3sinθ，,y＝3cosθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上一點P與原點O的連線PO的傾斜角為eq\f(π,2)，則點P的坐標是()A．(0，3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，－\f(12,5)))C．(－3，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(12,5)))解析：曲線的一般方程為x2＋y2＝9(0≤x≤3)，因為點P與原點O的連線PO的傾斜角為eq\f(π,2)，所以點P的橫坐標為0，將x＝0代入x2＋y2＝9得y＝3(y＝－3舍去)，所以P(0，3)．答案：A8．在極坐標系中，由三條直線θ＝0，θ＝eq\f(π,3)，ρcosθ＋ρsinθ＝1圍成的圖形的面積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3－\r(3),4)C.eq\f(2－\r(3),4) D.eq\f(1,3)解析：三條直線的直角坐標方程依次為y＝0，y＝eq\r(3)x，x＋y＝1，如圖．圍成的圖形為△OPQ，可得S△OPQ＝eq\f(1,2)|OQ|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),\r(3)＋1)＝eq\f(3－\r(3),4).答案：B9．極坐標方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ為參數(shù))所表示的圖形分別是()A．直線、射線和圓 B．圓、射線和雙曲線C．兩直線和橢圓 D．圓和拋物線解析：因為(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圓，θ＝π(ρ≥0)表示一條射線，參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ為參數(shù))化為一般方程為eq\f(y2,4)－x2＝1，表示雙曲線．答案：B10．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝at，,y＝a2t－1))(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，且它們總有公共點．則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪(0，＋∞)B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，4))解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(at＝1＋cosθ，,a2t－1＝2sinθ，))則4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0，Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a＋3)．直線l與橢圓總有公共點的充要條件是Δ≥0，即a≥－eq\f(3,2).答案：C11．已知直線l過點P(－2，0)，且傾斜角為150，以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ＝15.若直線l交曲線C于A，B兩點，則|PA|·|PB|的值為()A．5 B．7C．15 D．20解析：易知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))，把曲線C的極坐標方程ρ2－2ρcosθ＝15化為直角坐標方程是x2＋y2－2x＝15.將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得t2＋3eq\r(3)t－7＝0.設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝－7，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝7.答案：B12．過橢圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))的右焦點F作直線l交C于M，N兩點，|MF|＝m，|NF|＝n，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3) D．不能確定解析：曲線C為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，右焦點為F(1，0)，設l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))(t為參數(shù))，代入橢圓方程得(3＋sin2θ)t2＋6tcosθ－9＝0，設M、N兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝－eq\f(9,3＋sin2θ)，t1＋t2＝－eq\f(6cosθ,3＋sin2θ)，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1－t2|,|t1t2|)＝eq\f(\r(（t1＋t2）2－4t1t2),|t1t2|)＝eq\f(4,3).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))過定點P，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C交于A，B兩點，則|PA|·|PB|的值為________．解析：將直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))代入曲線C：ρ＝2sinθ的直角坐標方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(eq\r(3)＋1)t＋1＝0，設直線l與曲線C的交點A，B的對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝1，即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝1.答案：114．已知圓的漸開線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ＋3φsinφ，,y＝3sinφ－3φcosφ))(φ為參數(shù))，當φ＝eq\f(π,4)時，對應的曲線上的點的坐標為________．解析：當φ＝eq\f(π,4)時，代入漸開線的參數(shù)方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cos\f(π,4)＋3·\f(π,4)·sin\f(π,4)，,y＝3sin\f(π,4)－3·\f(π,4)·cos\f(π,4)，))x＝eq\f(3\r(2),2)＋eq\f(3\r(2)π,8)，y＝eq\f(3\r(2),2)－eq\f(3\r(2)π,8)，所以當φ＝eq\f(π,4)時，對應的曲線上的點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8)))15．若直線l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝3eq\r(2)，曲線C：ρ＝1上的點到直線l的距離為d，則d的最大值為________．解析：直線的直角坐標方程為x＋y－6＝0，曲線C的方程為x2＋y2＝1，為圓；d的最大值為圓心到直線的距離加半徑，即為dmax＝eq\f(|0＋0－6|,\r(2))＋1＝3eq\r(2)＋1.答案：3eq\r(2)＋116．在直角坐標系Oxy中，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù)，a>b>0)．在極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，若直線l與x軸、y軸的交點分別是橢圓C的右焦點、短軸端點，則a＝________.解析：橢圓C的一般方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直線l的直角坐標方程為x－eq\r(3)y－eq\r(3)＝0，令x＝0，則y＝－1，令y＝0，則x＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a＝2.答案：2三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ，,y＝2tanθ))(θ為參數(shù))．試求直線l和曲線C的一般方程，并求出它們的公共點的坐標．解：因為直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t為參數(shù))，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線l的一般方程為2x－y－2＝0.同理得到曲線C的一般方程為y2＝2x.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2（x－1），,y2＝2x，))解得公共點的坐標為(2，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).18．(本小題滿分12分)已知某圓的極坐標方程為ρ2－4eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋6＝0，求：(1)圓的一般方程和參數(shù)方程；(2)圓上全部點(x，y)中，xy的最大值和最小值．解：(1)原方程可化為ρ2－4eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.①因為ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以①可化為x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即為所求圓的一般方程．設eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(\r(2)（x－2）,2)，,sinθ＝\f(\r(2)（y－2）,2)，))所以參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(2)cosθ，,y＝2＋\r(2)sinθ))(θ為參數(shù))．(2)由(1)可知xy＝(2＋eq\r(2)cosθ)(2＋eq\r(2)sinθ)＝4＋2eq\r(2)(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ＝3＋2eq\r(2)(cosθ＋sinθ)＋(cosθ＋sinθ)2.設t＝cosθ＋sinθ，則t＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．所以xy＝3＋2eq\r(2)t＋t2＝(t＋eq\r(2))2＋1.當t＝－eq\r(2)時，xy有最小值1；當t＝eq\r(2)時，xy有最大值9.19．(本小題滿分12分)已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))．(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的一般方程；(2)當m＝2時，直線l與曲線C交于A、B兩點，求|AB|的值．解：(1)由ρ＝2cosθ，得：ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))得x＝eq\r(3)y＋m，即x－eq\r(3)y－m＝0，所以直線l的一般方程為x－eq\r(3)y－m＝0.(2)設圓心到直線l的距離為d，由(1)可知直線l：x－eq\r(3)y－2＝0，曲線C：(x－1)2＋y2＝1，圓C的圓心坐標為(1，0)，半徑1，則圓心到直線l的距離為d＝eq\f(|1－\r(3)×0－2|,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq\f(1,2).所以|AB|＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3).因此|AB|的值為eq\r(3).20．(本小題滿分12分)已知圓C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C2的極坐標方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3))).(1)將圓C1的參數(shù)方程化為一般方程，將圓C2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)圓C1，C2是否相交？若相交，懇求出公共弦長；若不相交，請說明理由．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))，得圓C1的一般方程為x2＋y2＝4.由ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，得ρ2＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,3)＋cosθsin\f(π,3)))，即x2＋y2＝2y＋2eq\r(3)x，整理得圓C2的直角坐標方程為(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4.(2)由于圓C1表示圓心為原點，半徑為2的圓，圓C2表示圓心為(eq\r(3)，1)，半徑為2的圓，又圓C2的圓心(eq\r(3)，1)在圓C1上可知，圓C1，C2相交，由幾何性質易知，兩圓的公共弦長為2eq\r(3).21．(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\v