2024秋高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE6-1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入中國高速鐵路，常被簡稱為“中國高鐵”．中國是世界上高速鐵路發(fā)展最快、系統(tǒng)技術(shù)最全、集成實(shí)力最強(qiáng)、運(yùn)營里程最長、運(yùn)營速度最快、在建規(guī)模最大的國家．同學(xué)們，高速列車，風(fēng)馳電掣，咆哮而過，怎樣確定它的瞬時速度？怎樣探討它的速度與路程的關(guān)系呢？新知導(dǎo)學(xué)1．瞬時速度：物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．若物體運(yùn)動的路程與時間的關(guān)系式是s＝f(t)，當(dāng)Δt趨近于0時，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均改變率eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)趨近于__常數(shù)__，我們就把這個__常數(shù)__叫做t0時刻的瞬時速度．即v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝__eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)__.故瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的瞬時改變率．2．導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時改變率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝__eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)__.預(yù)習(xí)自測1．已知物體的運(yùn)動方程是S＝－4t2＋16t(S的單位為m；t的單位為s)，則該物體在t＝2s時的瞬時速度為(D)A．3m/s B．2m/sC．1m/s D．0m/s[解析]ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，∴eq\f(ΔS,Δt)＝eq\f(－4Δt2,Δt)＝－4Δt，∴v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(ΔS,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－4Δt)＝0.∴物體在t＝2s時的瞬時速度為0m/s.2．設(shè)f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，則a等于(C)A．2 B．－2C．1 D．－1[解析]f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1))eq\f(fx－f1,x－1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1))2a＝2a＝2.∴a＝1.3．設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于(C)A．f′(1) B．3fC．eq\f(1,3)f′(1) D．f′(3)[解析]原式＝eq\f(1,3)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1,3)f′(1)．4．由導(dǎo)數(shù)的定義可求得，函數(shù)f(x)＝x2－2x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝__0__.[解析]f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))Δx＝0.互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?瞬時速度典例1已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2＋3做直線運(yùn)動．(位移單位：cm，時間單位：s)(1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時，求eq\f(Δs,Δt)；(2)當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時，求eq\f(Δs,Δt)；(3)求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時的瞬時速度．[思路分析]先求Δs，Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝2(t＋Δt)2＋3－(2t2＋3)＝4t·Δt＋2(Δt)2，再求eq\f(Δs,Δt)，最終代值，Δt越接近于0，eq\f(Δs,Δt)就越接近某時刻的瞬時速度．[解析]eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt)＝eq\f(2t＋Δt2＋3－2t2＋3,Δt)＝4t＋2Δt.(1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．『規(guī)律總結(jié)』求物體在時刻t0的瞬時速度的一般步驟是：首先要求出平均速度，然后求解當(dāng)時間增量Δt趨近于零時平均速度所趨向的那個定值，這個定值即為物體在t0時刻的瞬時速度．┃┃跟蹤練習(xí)1__■某物體的運(yùn)動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t3－2表示，則此物體在t＝1s時的瞬時速度(單位：m/s)為(B)A．1 B．3C．－1 D．0[解析]由s(t)＝t3－2，得s′(t)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(t＋Δt3－2－t3－2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))3t2＋3t·Δt＋Δt2＝3t2，所以s′(1)＝3.則物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.故選B．命題方向?利用定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)典例2依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．[思路分析]依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本方法．[解析]當(dāng)x＝2時，Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,22＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).『規(guī)律總結(jié)』用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟：(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均改變率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)求極限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).┃┃跟蹤練習(xí)2__■求函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．[解析]因?yàn)棣＝(1＋Δx)＋eq\f(1,1＋Δx)－(1＋1)＝Δx＋eq\f(1,1＋Δx)－1，所以eq\f(Δy,Δx)＝1－eq\f(1,1＋Δx)，所以eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(1－eq\f(1,1＋Δx))＝0.學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求物體的初速度，即求物體在t＝0時刻的速度，很簡單誤認(rèn)為v0＝0，有些函數(shù)表達(dá)式刻畫的直線運(yùn)動并不肯定是由靜止起先的直線運(yùn)動．典例3子彈在槍筒中的運(yùn)動可以看作勻加速運(yùn)動s＝eq\f(1,2)at2，假如它的加速度是a＝5×105m/s2，子彈從槍口射出時所用的時間為t＝1.6×10－3s，求子彈射出槍口時的瞬時速度．[解析]運(yùn)動方程為s＝eq\f(1,2)at2.因?yàn)棣＝eq\f(1,2)a(t＋Δt)2－eq\f(1,2)at2＝atΔt＋eq\f(1,2)a(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝at＋eq\f(1,2)aΔt.所以eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at.由題意知，a＝5×105m/s2，t＝1.6×10所以at＝8×102＝800(m/s)，即子彈射出槍口的瞬時速度為800m/s.『規(guī)律總結(jié)』利用導(dǎo)數(shù)解決問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，特殊是對有關(guān)物理問題肯定要將其物理意義與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來．由導(dǎo)數(shù)的定義知，導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時改變率，它在現(xiàn)實(shí)生活中的作用是比較廣泛的．┃┃跟蹤練習(xí)3__■若一物體運(yùn)動方程如下：(位移s：m，時間t：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度．[思路分析]解答本題可先依據(jù)要求的問題選好運(yùn)用的函數(shù)解析式，再依據(jù)求平均改變率和瞬時改變率的方法求解平均速度和瞬時速度．[解析](1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時間改變量為Δt＝5－3＝2，位移改變量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵物體在t＝0旁邊位移的平均改變率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處位移的瞬時改變率為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度v0＝－18m/s.(3)物體在t＝1時的瞬時速度即為物體在t＝1處位移的瞬時改變率．∵物體在t＝1旁邊位移的平均改變率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，∴物體在t＝1處位移的瞬時改變率為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物體在t＝1時的瞬時速度為－12m/s.易混易錯警示不能精確理解導(dǎo)數(shù)的概念致誤典例4若f′(x0)＝2，則eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)等于(A)A．－1 B．－2C．1 D．eq\f(1,2)[錯解]選C．∵f′(x0)＝2，∴eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0＋k－fx0,k)＝2，∴eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(fx0－fx0－k,－k)＝eq\f(1,2)×2＝1.[辨析]錯解沒有弄明白自變量的增量與函數(shù)的增量的含義及對應(yīng)關(guān)系．當(dāng)函數(shù)增量Δy＝f(x0)－f(x0－k)時，自變量的增量Δx＝x0－(x0－k)＝k，而不是－k.[正解]eq\o