九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點專項突破03實際問題與二次函數(shù)（6種題型）（解析版）

重難點專項突破03實際問題與二次函數(shù)（6種題型）【題型細目表】題型一：圖形問題題型二：圖形運動問題題型三：拱橋問題題型四：銷售問題題型五：投球問題題型六：噴水問題【考點剖析】題型一：圖形問題一、單選題1．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）下面看三個案例：①一個游泳池內(nèi)有水，現(xiàn)打開排水管以每小時的排出量排水．設(shè)游泳池內(nèi)剩余水量為，排水時間為；②一列火車以的速度勻速行駛．設(shè)火車行駛的剩余路程為，行駛時間為；③某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶用長的圍網(wǎng)，在水庫中圍一塊矩形的水面．設(shè)圍成的矩形水面的面積為，矩形的一邊長為，三個案例中都有兩個變量，可以用如圖所示的圖像表示的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】分別表示出每個小問的函數(shù)表達式，然后進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：∵①一個游泳池內(nèi)有水，現(xiàn)打開排水管以每小時的排出量排水．設(shè)游泳池內(nèi)剩余水量為，排水時間為；∴故①滿足題意；∵②一列火車以的速度勻速行駛．設(shè)火車行駛的剩余路程為，行駛時間為；∴，為總路程；故②滿足題意；∵③某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶用長的圍網(wǎng)，在水庫中圍一塊矩形的水面．設(shè)圍成的矩形水面的面積為，矩形的一邊長為，∴，故③不滿足題意；故選：A【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是掌握題意，正確的列出表達式，從而進行判斷．2．（2023春·安徽蚌埠·九年級專題練習(xí)）已知矩形MNPQ的頂點M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，且．在點從移向（與不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（

）A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小【答案】D【分析】以EF之間的對稱軸為y軸，以直線AD上的對稱軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出ED的解析式，從而表示M、N、Q的坐標(biāo)，列出關(guān)于周長和面積的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】正六邊形為軸對稱圖形，以EF之間的對稱軸為y軸，以直線AD上的對稱軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)六邊形的邊長為2，則,,設(shè)直線ED的解析式為y=kx+b，解得，故ED的解析式為，點M在線段ED上，故設(shè)M（x,y），矩形NMQP中，N與M關(guān)于y軸對稱，∴N（-x,y），Q與M關(guān)于x軸對稱，∴Q（x,-y），∴，，∴矩形的周長C=2（NM+MQ）=2(2x+2y)==,由于，故C的值會隨x的增大而減小，點M從E移動到D的過程中，x不斷增大，所以周長會不斷減??；矩形的面積∵<0，拋物線開后向下，當(dāng)x>1時，S隨x的增大而減小，所以面積也會逐漸減?。蔬x：D．【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系利用函數(shù)解題．3．（2023春·安徽蚌埠·九年級專題練習(xí)）點C為線段AB上的一個動點，，分別以AC和CB為一邊作等邊三角形，用S表示這兩個等邊三角形的面積之和，下列判斷正確的是（

）A．當(dāng)C為AB的三等分點時，S最小 B．當(dāng)C是AB的中點時，S最大C．當(dāng)C為AB的三等分點時，S最大 D．當(dāng)C是AB的中點時，S最小【答案】D【分析】根據(jù)四個選擇項，可知要判斷的問題是C在AB的什么位置時，S有最大或最小值．由于點C是線段AB上的一個動點，可設(shè)AC=x，然后用含x的代數(shù)式表示S，得到S與x的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【詳解】解：如圖，△ACD與△BCE是分別以AC和CB為一邊作的等邊三角形，分別過點D、E作DM⊥AC，EN⊥BC，垂足分別為M，N，設(shè)AC=x，則CB=1-x，∵△ACD與△BCE是等邊三角形，DM⊥AC，EN⊥BC，∴，∴，，∴∵，∴當(dāng)x=時，S最小，此時，C是AB的中點．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何結(jié)合問題，解決本題的關(guān)鍵是需建立二次函數(shù)的關(guān)系式，然后利用拋物線的頂點公式求解．4．（2023春·安徽蚌埠·九年級專題練習(xí)）如圖，和都是直角邊長為的等腰直角三角形，它們的斜邊，在同一條直線上，點，重合．現(xiàn)將沿著直線以的速度向右勻速移動，直至點與重合時停止移動．在此過程中，設(shè)點移動的時間為，兩個三角形重疊部分的面積為，則隨變化的函數(shù)圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩種情形討論計算即可解決問題．【詳解】分兩種情況：（1）當(dāng)時，，拋物線開口向上，函數(shù)圖象位于拋物線對稱軸（軸）右側(cè)的一部分；（2）當(dāng)時，，拋物線開口向下，函數(shù)圖象位于拋物線對稱軸（直線）左側(cè)的一部分．故選C．【點睛】本題考查分段函數(shù)、動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，掌握求分段函數(shù)方法是解題關(guān)鍵．5．（2023春·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，E為上一點（不含點A），O為的中點，連接并延長，交于點F，點G為上一點，，連接，．甲、乙二位同學(xué)都對這個問題進行了研究，并得出自己的結(jié)論．甲：存在點E，使；乙：的面積存在最小值．下列說法正確的是（

）A．甲、乙都正確 B．甲、乙都不正確C．甲正確，乙不正確 D．甲不正確，乙正確【答案】D【分析】先證明△EOD≌△FOB得到DE=BF，推出AE=CF，則CF=DG，假設(shè)存在點E使得EG⊥FG，可證△EDG≌△GCF得到DE=CF，從而推出AD=CD，再由，推出CD＞AD，與AD=CD矛盾，即可判斷甲；可假設(shè)設(shè)AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，則BF=DE=3-x，CG=4-x，然后根據(jù)求出△EFG的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，即可求出△EFG的面積的最小值，同理假設(shè)AB=CD=4時，只要滿足BC＜AB，都能求出△EFG的面積關(guān)于線段AE的長的二次函數(shù)關(guān)系式，即可求出△EFG的面積有最小值，即可判斷乙．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴，∠ADC=∠C=90°，AB=CD，∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，∵O是BD的中點，∴OB=OD，∴△EOD≌△FOB（AAS），∴DE=BF，∴AE=CF，又∵AE=DG，∴CF=DG，假設(shè)存在點E使得EG⊥FG，∴∠EGF=90°，∴∠EGD+∠CGF=90°，又∵∠EGD+∠DEG=90°，∴∠DEG=∠CGF，又∵∠EDG=∠GCF=90°，∴△EDG≌△GCF（AAS），∴DE=CG，∴AE+DE=DG+CG，即AD=CD，∵，∴CD＞AD，與AD=CD矛盾，∴假設(shè)不成立，即不存在點E使得EG與GF垂直，故甲說法錯誤；設(shè)AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，則BF=DE=3-x，CG=4-x，∴，即當(dāng)時，△EFG的面積有最小值，同理假設(shè)AB=CD=4時，只要滿足BC＜AB，都能求出△EFG的面積關(guān)于線段AE的長的二次函數(shù)關(guān)系式，即可求出△EFG的面積有最小值，故乙說法正確；故選D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用等等，熟知正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積是_______【答案】4【分析】確定出拋物線的頂點坐標(biāo)，然后求出拋物線的對稱軸與原拋物線的交點坐標(biāo)，從而判斷出陰影部分的面積等于三角形的面積，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】∵，∴平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，?2），對稱軸為直線x＝2，當(dāng)x＝2時，，∴平移后陰影部分的面積等于如圖三角形的面積，×（2＋2）×2＝4，故填：4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，確定出與陰影部分面積相等的三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為、．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)矩形的頂點在軸上（不與重合），另兩個頂點在拋物線上（如圖）．①當(dāng)點在什么位置時，矩形的周長最大？求這個最大值并寫出點的坐標(biāo)；②判斷命題“當(dāng)矩形周長最大時，其面積最大”的真假，并說明理由．【答案】(1)(2)①在時，矩形的周長最大，最大值為；②假命題，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得拋物線的函數(shù)表達式為﹔（2）先求得拋物線的對稱軸為，設(shè)點，則，①根據(jù)關(guān)于對稱，可得的坐標(biāo)，則可以表示出矩形的周長，即可求解；②當(dāng)矩形周長最大時，長為3，寬為2，面積為6，當(dāng)為正方形時，表示，即可求出，算得正方形的面積大于6，矛盾，即可求得假命題．【詳解】（1）解：將、代入中得解得拋物線的函數(shù)表達式為（2）解：拋物線的對稱軸為，設(shè)點，則，①關(guān)于對稱，∴，則，矩形的周長為，當(dāng)時，l的值最大，最大值為，即Р在時，矩形的周長最大，最大值為．②假命題．由①可知，當(dāng)矩形周長最大時，長為3，寬為2，面積為6，當(dāng)為正方形時，，解得∴點Р的坐標(biāo)為，點Q的坐標(biāo)為，正方形的面積；故命題是假命題．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．8．（2023秋·安徽安慶·九年級安慶市石化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）一塊三角形材料如圖所示，．用這塊材料剪出一個矩形，其中，點D，E，F(xiàn)分別在上，要使剪出的矩形的面積最大，點E應(yīng)選在何處？【答案】點E選在AB的中點時，剪出的矩形CDEF的面積最大【分析】根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)求出FE，根據(jù)勾股定理求出ED，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，且四邊形CDEF是矩形，∴DE∥AC，EF∥BC，∴∠DEB＝∠A＝30°，在Rt△AFE中，F(xiàn)E＝AE，在Rt△EDB中，DB＝EB，設(shè)AE＝x，則FE＝x，ED＝＝＝（12－x），令矩形CDEF的面積為S，則S＝EF·ED＝x·（12－x）＝（12x－x2）＝·（x－6）2＋9，∴當(dāng)x＝6時，S最大值＝9，此時AE＝6，EB＝12－x＝6，∴AE＝EB，即點E是AB的中點，∴當(dāng)點E選在AB的中點時，剪出的矩形CDEF的面積最大．【點睛】本題考查的是30°直角三角形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、根據(jù)矩形的面積公式列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽淮北·?？寄M預(yù)測）如圖，學(xué)校準(zhǔn)備在長為米，寬為米的矩形草地上規(guī)劃甲、乙、丙三個區(qū)域栽種花卉，正方形和正方形面積相等，且各有兩邊與長方形邊重合，矩形是這兩個正方形的重疊部分，設(shè)為米，為米．

(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式；（不用寫出自變量的取值范圍）(2)設(shè)甲、乙、丙的總面積為（），求關(guān)于的函數(shù)表達式及其最大值．【答案】(1)(2)關(guān)于的函數(shù)表達式為；最大值為56【分析】（1）由于正方形和正方形面積相等，可得出兩個正方形的邊長相等，根據(jù)題意可得，，代入即可得到關(guān)于的函數(shù)表達式．（2）由（1）可知的面積，又因為，即可得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，為開口向上的拋物線，在離對稱軸遠的點的位置取最大值，可判斷出在當(dāng)時，取最大值，從而可計算出最大面積．【詳解】（1）解：由題可知，，，∴，即，∴．（2）解：∵正方形和正方形的面積相等，∴，∴，∴，又，∴整理得關(guān)于的函數(shù)表達式為；由，∵，故：當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，又，∴當(dāng)時，取最大值，，即最大值為56．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用—圖形的面積問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，開口向上在頂點處取最大值，開口向下在離對稱軸遠的點的位置取最大值是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，，拋物線經(jīng)過點A，B，C．(1)求拋物線的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出不等式的解集；(3)若點P是拋物線上的一動點，過點P作直線的垂線段，垂足為Q，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式可得，從而可得，利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）將不等式整理為，再找出拋物線位于直線上方時，的取值范圍即可得；（3）作軸于點，交于點，作于點，分三種情況：①點在上方，②點在點左側(cè)和③點在點右側(cè)，先利用勾股定理求出，再利用點的坐標(biāo)求出，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：由題意得：當(dāng)時，，∴，，∵.，，∴，，把，代入得：，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：不等式整理為，這個不等式表示的是拋物線位于直線上方，由（1）已得：，，則不等式的解集為．（3）解：∵直線與坐標(biāo)軸交于，兩點，∴，解得，∴，設(shè)點，則點，作軸于點，交于點，作于點，①如圖1，當(dāng)點在上方時，則，在中，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，，解得，，則此時點的坐標(biāo)為；②如圖2，當(dāng)點在點左側(cè)時，則，同理①可得，，解得，由函數(shù)圖象可知，此時點在第三象限，∴，，則此時點的坐標(biāo)為；③如圖3，當(dāng)點在點右側(cè)時，則，在中，∵，∴，∴，∴，∴，，解得，由函數(shù)圖象可知，此時點在第一象限，∴，，則此時點的坐標(biāo)為，綜上，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．11．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖1，一塊鋼板截面的一邊為線段，另一邊曲線為拋物線的一部分，現(xiàn)沿線段將這塊鋼板分成①、②兩部分，以邊所在直線為x軸，經(jīng)過點C且與垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，規(guī)定一個單位代表1米．已知：米，米，米．(1)求曲線所在拋物線的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出自變量的取值范圍）；(2)如圖2，在該鋼板第①部分中截取一個矩形，其中D為的中點，E，F(xiàn)均在線段上，G在曲線上，求的長；(3)如圖3，在該鋼板第②部分中截取一個，其中點P在曲線上，記的面積為S，求S的最大值．【答案】(1)所在拋物線的函數(shù)表示式為(2)(3)S的最大值為24【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先由中點坐標(biāo)公式求得點D的坐標(biāo)為，從而得出點E的坐標(biāo)為，再令，則，解得，，所以G點橫坐標(biāo)為，從而求得點F的坐標(biāo)為，即可由兩點距離公式求解；（3）先用等定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，，過點P作軸于H，交BC于點Q，則點Q的坐標(biāo)為，所以，所以，然后利用求二次函數(shù)最值求解即可．【詳解】（1）解：∵米，可設(shè)所在拋物線的函數(shù)表示式，∵米，米，∴，，∴，解得，∴所在拋物線的函數(shù)表示式為；（2）解：∵D為BC的中點，∴點D的坐標(biāo)為，∴點E的坐標(biāo)為，當(dāng)時，，解得，，則G點橫坐標(biāo)為，∵矩形，∴軸，軸，∴點F的坐標(biāo)為，∴；（3）解：設(shè)直線的解析式為．把，代入，得，解，∴直線的解析式為．∵點P在拋物線上，∴設(shè)點P的坐標(biāo)為，，如圖，過點P作軸于H，交BC于點Q，則點Q的坐標(biāo)為，∴∴，即∴S的最大值為24．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·安徽滁州·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b、c為常數(shù)）的頂點坐標(biāo)為，與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點C，點D關(guān)于x軸對稱，連結(jié)，作直線．(1)求b、c的值；(2)求點A、B的坐標(biāo)；(3)求證：；(4)點P在拋物線上，點Q在直線BD上，當(dāng)以點C、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)或或或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）令，代入函數(shù)解析式，解一元二次方程即可求解；（3）先求出D點坐標(biāo)，分別表示出的長度，再求解的正切值相等即可得到角相等；（4）當(dāng)為平行四邊形的對角線時，由中點坐標(biāo)公式列出方程組，進而求解；當(dāng)、是平行四邊形的對角線時，同理可解．【詳解】（1）∵拋物線（b、c為常數(shù)）的頂點坐標(biāo)為，，；（2）當(dāng)時，或，∵點A在點B左側(cè)，；（3），點C，點D關(guān)于x軸對稱，，，，，，，，；（4）設(shè)直線的解析式為，把B、D的坐標(biāo)代入解析式，得，解得，∴直線的解析式為，∴設(shè)點，點，，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，由中點坐標(biāo)公式得：，整理得：，解得：（舍去）或2，則，即點；當(dāng)是平行四邊形的對角線時，同理可得：，解得：，即點；當(dāng)是平行四邊形的對角線時，同理可得：，解得：，即點的坐標(biāo)為或，綜上，點的坐標(biāo)為：或或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題和二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，正切，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．題型二：圖形運動問題一、單選題1．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，點E是CD的中點，射線AE與BC的延長線相交于點F，點M從A出發(fā)，沿A→B→F的路線勻速運動到點F停止．過點M作MN⊥AF于點N．設(shè)AN的長為x，△AMN的面積為S，則能大致反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再求出當(dāng)點與點重合時，，然后分①和②兩種情況，分別解直角三角形求出的長，最后利用三角形的面積公式可得與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得．【詳解】解：在矩形中，，，點是的中點，，在和中，，，，，，，，如圖，當(dāng)點與點重合時，，，，①如圖，當(dāng)點在邊上，即時，在中，，在中，，，解得，則此時；②如圖，當(dāng)點在上，即時，在中，，在中，，，解得，則此時；綜上，，觀察四個選項可知，只有選項B符合，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、二次函數(shù)的圖象等知識點，正確分兩種情況討論，并熟練掌握二次函數(shù)的圖象特征是解題關(guān)鍵．2．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD是菱形，，且，作，交的延長線于點E．現(xiàn)將沿的方向平移，得到．設(shè)與菱形ABCD重合的部分（圖中陰影部分）的面積為y，平移距離為x，則y與x的函數(shù)圖像為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)題意，進行分類討論，求出不同情況下陰影部分面積的表達式，即可進行解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，且，∴，∵，∴，，∵平移距離為x，∵沿的方向平移，得到，∴，，，∵平移距離為x，∴，∴，∴，，①當(dāng)時，，整理得：，∵，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，有最大值；

②當(dāng)時，∵，∴，，∴，整理得：，∵，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，有最大值；當(dāng)時，有最小值；

③當(dāng)時，，整理得：，∵，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，

綜上：，故選：D．【點睛】本題主要考查了動點問題于函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是正確找出不同情況下陰影部分面積的求法．3．（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，對角線AC與BD相交于點O，線段BD沿射線AD方向平移，平移后的線段記為PQ，射線PQ與射線AC交于點M，連結(jié)PC，設(shè)OM長為，△PMC面積為．下列圖象能正確反映出與的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四邊形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的長，再設(shè)OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分點M在線段OC上（不含點O）時和當(dāng)點在線段OC延長線上時兩種情況分別表示出y再結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷出正確答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°?∠ABC＝120°，∴∠DAO＝∠BAD＝60°，∴△DAC是等邊三角形，∴AD＝AC＝2，∴AO＝CO＝AC＝1，設(shè)OM＝x，∵AC⊥BD，PQ為BD平移而來，∴∠AOD＝∠AMP＝90°，∴△AMP為直角三角形，∴PM＝AM?tan∠PAM＝（1＋x），①當(dāng)點M在線段OC上（不含點O）時，即0≤x＜1，此時CM＝1?x，則y＝（1?x）×（1＋x）＝?，∴0≤x＜1，函數(shù)圖象開口應(yīng)朝下，故B、C不符合題意，②當(dāng)點在線段OC延長線上時，即x＞1，如圖所示：此時C＝x?1，則y＝（x?1）×(x＋1)＝，∴只有D選項符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形面積，解直角三角形，二次函數(shù)圖象等知識，熟練掌握上述知識并能分點M在線段OC上（不含點O）時和當(dāng)點在線段OC延長線上時兩種情況分別表示出y再結(jié)合函數(shù)圖象進行判斷是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽淮北·九年級淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角的斜邊AB=，正方形DEFG的邊長為，把和正方形DEFG如圖放置，點B與點E重合，邊AB與EF在同一條直線上，將沿AB方向以每秒個單位的速度勻速平行移動，當(dāng)點A與點E重合時停止移動．在移動過程中，與正方形DEFG重疊部分的面積S與移動時間t（s）的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別判斷，，，的函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：①如下圖當(dāng)時，與正方形DEFG重疊部分的面積是一個等腰直角三角形，且腰長，∴，∴函數(shù)是開口方向向上的拋物線；②當(dāng)時，如下圖所示，設(shè)交于點，交于點，則，∴，，函數(shù)為開口向下的拋物線；③當(dāng)時，如圖所示，；④，如圖所示，同理可得：設(shè)交于點，交于點，，∴，函數(shù)為開口方向向下的拋物線；綜上，選項D符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖像，根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分析好變化的量是得出函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵．二、解答題5．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市五十中學(xué)西校?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，兩條線段AB和CD關(guān)于直線x＝1對稱，（點A、B分別與點C、D對應(yīng)），且C，D兩點的坐標(biāo)分別為C（﹣2，0），D（2，﹣4）．(1)直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)；(2)以直線x＝1為對稱軸的拋物線l經(jīng)過A，B，C，D四點．①求拋物線l的函數(shù)解析式；②若點P是拋物線l上AB之間的一個動點，過點P分別作x軸和y軸的垂線，與直線AB分別相交于M，N兩點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，記W＝PM+PN，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最大值．【答案】(1)A（4，0），B（0，﹣4）；(2)①；②W＝﹣+4m（0≤m≤4），W的最大值為4．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于軸對稱的性質(zhì)即可得到點A和點B的坐標(biāo)；（2）①設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣1）2+c，利用待定系數(shù)法即可求解；②用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，先證明PM＝PN，由點P的坐標(biāo)為（m，），點M的坐標(biāo)為（m，m﹣4），代入W＝PM+PN后整理即可得到答案．【詳解】（1）解：∵兩條線段AB和CD關(guān)于直線x＝1對稱，（點A、B分別與點C、D對應(yīng)），且C，D兩點的坐標(biāo)分別為C（﹣2，0），D（2，﹣4）．∴A（4，0），B（0，﹣4）；（2）①設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣1）2+c，∵C（﹣2，0），D（2，﹣4）．∴，解得，故拋物線的表達式為；②設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，把A（4，0），B（0，﹣4）代入得到，，解得，∴直線AB的表達式為y＝x﹣4，∵OA＝OB＝4，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵過點P分別作x軸和y軸的垂線，與直線AB分別相交于M，N兩點，∴PMy軸，PNx軸，∴∠PNM＝∠OAB＝45°，∠PMN＝∠OBA＝45°，∴∠PNM＝∠PMN＝45°，∴PM＝PN，∵點P的橫坐標(biāo)為m，∴點P的坐標(biāo)為（m，），點M的坐標(biāo)為（m，m﹣4），則W＝PM+PN＝2PM＝2（m﹣4﹣）＝﹣+4m＝，即W＝﹣+4m（0≤m≤4），W的最大值為4．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．6．（2022秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的兩邊長，，點、分別從A、B同時出發(fā)，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運動，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運動．當(dāng)?shù)竭_點時，、停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(2)求的面積的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）分別表示出、的長，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；（2）把函數(shù)關(guān)系式整理成頂點式解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．【詳解】（1）∵，，，，即；（2）由知，，，當(dāng)時，隨的增大而增大，而，當(dāng)時，，即的最大面積是．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意表示出、的長度是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線過B，C兩點，與x軸的另一個交點為A，點D是在直線上方的拋物線上一動點，連接，，．(1)求b、c的值；(2)設(shè)四邊形的面積為S，求S的最大值．【答案】(1)(2)18【分析】（1）先求出，坐標(biāo)，再把，坐標(biāo)代入拋物線解析式即可；（2）由圖形可知，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，最大，過點作軸交于，設(shè)點坐標(biāo)為，，則，得出，然后由三角形面積公式得出關(guān)于的解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：對于直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，拋物線過，兩點，，解得，，；（2）由（1）知，拋物線解析式為，令，則，解得，，，，的面積為定值，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，最大，過點作軸交于，設(shè)點坐標(biāo)為，，則，，，，當(dāng)時，最大，最大值為8，，的最大值為．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式等知識，求出關(guān)于的解析式是解題關(guān)鍵．8．（2022秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期末）如圖，中，，，，點P從B點出發(fā)以每秒的速度向C點運動，同時Q從C點出發(fā)以相同和速度向A點運動，當(dāng)其中一個點到達目的的地時，另一點自動停止運動，設(shè)運動時間為？（1）用含t的代數(shù)式表示、的長，并直接寫出t的取值范圍；（2）多長時間后的面積為？（3）設(shè)，直接定出y的取值范圍；【答案】（1）CP＝8?t；CQ＝t，0≤t≤6；（2）經(jīng)過2s或6s時△CPQ的面積為6cm2；（3）32≤y≤64【分析】（1）根據(jù)CP＝BC?BP，CQ＝t，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)勾股定理列出二次函數(shù)解析式，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意得：CP＝BC?BP＝8?t；CQ＝t；t的取值范圍為：0≤t≤6；（2）設(shè)t秒后△CPQ的面積為6cm2，根據(jù)題意得，（8?t）t＝6，解得：t＝2，t＝6，答：經(jīng)過2s或6s時△CPQ的面積為6cm2；（3）∵=CP2+CQ2=（8?t）2+t2，∴y=2t2-16t+64=2（t-4）2+32，∵0≤t≤6；∴當(dāng)t=0時，y最大=64，當(dāng)t=4時，y最小=32，∴32≤y≤64．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程或函數(shù)解析式．9．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點，交軸于點，為拋物線頂點，直線垂直于軸于點，當(dāng)時，．(1)求拋物線的表達式；(2)點是線段上的動點（除、外），過點作軸的垂線交拋物線于點．①當(dāng)點的橫坐標(biāo)為2時，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于、兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②是，定值為，理由見解析【分析】（1）由當(dāng)時，，可知，是的兩根，代入方程可得從而得解；（2）①把代入拋物線解析式可得D點坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可得C點坐標(biāo)，從而得知線段軸，利用配方法可知點F坐標(biāo)，從而利用求面積；②設(shè)，用待定系數(shù)法求出直線與直線的解析式，再令得，，從而得出，的長，從而得到是定值8．【詳解】（1）解：∵當(dāng)時，，∴，是的兩根，，∴，解得：，拋物線的表達式為：；（2）①把代入得：，．又當(dāng)，，，線段軸．，，；②設(shè)，直線，，因此可得：或，解得：或，直線，．令得，，，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及四邊形的面積求法，待定系數(shù)法等知識，掌握待定系數(shù)法和面積求法是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽六安·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C點坐標(biāo)為（0，-3），且OA＝OC＝3OB，拋物線圖象經(jīng)過A，B，C三點，D點是該拋物線的頂點．(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)判斷△ADC的形狀，并求△ADC的面積；(3)如圖2，點P是該拋物線位于第三象限的部分上的一個動點，過P點作PE⊥AC于點E，PE的值是否存在最大值？如果存在，請求出PE的最大值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)三角形ACD是直角三角形，3(3)PE有最大值為【分析】(1)根據(jù)C點坐標(biāo)為(0，-3)，且OA=OC=3OB，得出A，B點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解析式即可；(2)根據(jù)坐標(biāo)求出三角形各邊的長，利用勾股定理判斷其為直角三角形，再用三角形面積公式求面積即可；(3)求出直線AC的解析式，過點P作PH//y軸交AC于H，設(shè)出P點和H點坐標(biāo)，用含x的代數(shù)式求出PE的值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可．（1）解：∵C點坐標(biāo)為（0，-3），且OA＝OC＝3OB，∴A（-3，0），B（1，0），將A，B兩點坐標(biāo)分別代入解析式得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：由（1）知拋物線的解析式為，∴D點的坐標(biāo)為（-1，-4），∴，，，∵，即，∴三角形ACD是直角三角形，∴；（3）PE的值存在最大值,理由如下：設(shè)直線AC的解析式為，把A，C點的坐標(biāo)分別代入，得，解得，∴直線AC的解析式為，如圖，過點P作y軸的平行線交AC于點H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，設(shè)點，則點，∴，∴，∴PE有最大值為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，一次函數(shù)，勾股定理等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．題型三：拱橋問題一、填空題1．（2022秋·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）一座石拱橋的橋拱是近似的拋物線形．建立如圖所示的坐標(biāo)系，其函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨仁菚r，水面的寬度為__________m．【答案】【分析】根據(jù)題意可得的縱坐標(biāo)為，把代入解析式確定的坐標(biāo)，進而求得的長即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意的縱坐標(biāo)為，把代入，得，，，．即水面寬度為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的對稱性是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽·九年級期末）如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在正常水位的情況下，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．則當(dāng)水位下降m=________時，水面寬為5m？【答案】【分析】以拋物線的頂點為原點建立坐標(biāo)系，則可以設(shè)函數(shù)的解析式是y=ax2，然后求得水面與拋物線的交點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再利用點的坐標(biāo)特點即可求解．【詳解】解：如圖，建立如下的坐標(biāo)系：水面與拋物線的交點坐標(biāo)是（-2，-2），，設(shè)函數(shù)的解析式是y=ax2，則4a=-2，解得，則函數(shù)的解析式是．當(dāng)水面寬為5米時，把代入拋物線的解析式可得：（米），故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求得水面與拋物線的交點是解題的關(guān)鍵．二、解答題3．（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）合肥老城西大門有一處城門橫斷面分為兩部分，上半部分為拋物線形狀，下半部分為正方形（OMNE為正方形），已知城門寬度為4米，最高處離地面6米，如圖1所示，現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在的直線為x軸，OE所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求出上半部分拋物線的函數(shù)表達式，并寫出其自變量的取值范圍；（2）有一輛寬3米，高4.5米的貨車需要通過該城門進入城區(qū)，請問該貨車能否正常進入？（3）由于城門年久失修，需要搭建一個矩形“鞏固門”ABCD，該“鞏固門”關(guān)于拋物線對稱軸對稱，如圖2所示，其中AB、AD、CD為三根承重鋼支架，點D在拋物線上，B、C在地面上，已知鋼支架每米300元，問搭建這樣一個矩形“鞏固門”，僅鋼支架一項，最多需要花費多少元？【答案】（1）y=-x+2x+4（0≤x≤4）；（2）消防車能正常進入；（3）3900元【分析】（1）由題意得，拋物線的頂點為（2，6），設(shè)拋物線的表達式為：，因為拋物線經(jīng)過點E（0，4），則可求出，即可得（2）由題意得，當(dāng)貨車走最中間時，進入可能性最大，即當(dāng)時，求出函數(shù)值，與4.5比較，即可得；（3）設(shè)B點的橫坐標(biāo)為m，AB+AD+CD的長度為L，則，即，，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時，L最大，求出L的最大值，再乘300即可得．【詳解】解：（1）由題意得，拋物線的頂點為（2，6），∴設(shè)拋物線的表達式為：，∵拋物線經(jīng)過點E（0，4），∴，解得，∴拋物線的表達式為：，即；（2）由題意得，當(dāng)貨車走最中間時，進入的可能性最大，即當(dāng)時，，∴該貨車能正常進入；（3）設(shè)B點的橫坐標(biāo)為m，AB+AD+CD的長度為L，則，由題意知，，即，，∴，當(dāng)，L最大，L最大=+2×1+12=13，（元），則最多需要花費3900元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)．4．（2022秋·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期末）某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系（以中點為原點，拋物線對稱軸所在直線為y軸）中，拱橋高度，跨度．(1)求拋物線的解析式．(2)拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形（H，G分別在拋物線的左右側(cè)上），已知搭建“腳手架”的三邊所用鋼材長度為（在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離．(3)已知公園要進行改造，在原位置上將拱橋改造為圓弧，跨度不變，且（2）中“腳手架”矩形仍然適用（E，F(xiàn)打樁位置不變，H，G依然在拱橋上），求改造后拱橋的高度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)(2)“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為(3)改造后拱橋的高度為【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，把，代入計算即可求解；（2）設(shè)點G的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得，，又∵，∴，解之求得，（不合題意，舍去），即可得，，則，由即可求解；（3）取中點K，在延長線上取圓心M，連接，，設(shè)長為，由勾股定理得，即，解得，所以，，然后由，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，經(jīng)過，，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)點G的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得，，∵，∴，解得，（不合題意，舍去），∴，，∴，∴．答：“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為．（3）解：如圖，取中點K，在延長線上取圓心M，連接，，設(shè)長為，在中，，在中，，∴，即，解得，∴，，∴，答：改造后拱橋的高度為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)要修建一條公路隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計要求，隧道上距點O水平方向2米及豎直方向6米的A點有一照明燈．(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)需在這個隧道中間位置設(shè)置雙向通行車道，加中間隔離帶合計寬度9米，隧道入口對車輛要求限高，請通過計算說明高度不超過米的車輛能否安全通過該隧道？【答案】(1)(2)能安全通過【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為，把點代入，即可求解；(2)令，求得y的值，再與比較，即可解答．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，，∴可以設(shè)拋物線的解析式為，把點代入，可得，∴拋物線的解析式為即；（2）解：，根據(jù)對稱性，令，得﹒，高度不超過米的車輛能安全通過該隧道．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．6．（2023春·安徽蚌埠·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示的是一座古橋，橋拱為拋物線型，，是橋墩，橋的跨徑為，此時水位在處，橋拱最高點P離水面，在水面以上的橋墩，都為．以所在的直線為x軸、所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求此橋拱所在拋物線的表達式．(2)當(dāng)水位上漲時，若有一艘船在水面以上部分高，寬，問此船能否通過橋洞？請說明理由．【答案】(1)(2)此船不能通過橋洞，理由見解析【分析】（1）先求出點A，點B，點P的坐標(biāo)，再把拋物線解析式設(shè)為頂點式進行求解即可；（2）求出當(dāng)時x的值，然后計算出兩個對應(yīng)的x的值之間的差值即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，則點P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：此船不能通過橋洞，理由如下：當(dāng)時，即，解得或，∵，∴此船不能通過橋洞．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意求出拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·安徽滁州·九年級校考階段練習(xí)）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面8米時，水面寬AB為12米．當(dāng)水面上升6米時達到警戒水位，此時拱橋內(nèi)的水面寬度是多少米？下面是兩個興趣小組解決這個問題的兩種方法，請補充完整：方法一：如圖1，以點A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，此時點B的坐標(biāo)為，拋物線的頂點坐標(biāo)為，可求這條拋物線的解析式為．方法二：如圖2，以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，這時這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為．當(dāng)取y＝﹣6時，即可求出此時拱橋內(nèi)的水面寬度為，解決了這個問題【答案】方法一：（12，0）；（6，8）；；方法二；．【分析】方法一：根據(jù)題意，以點A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，先求出，，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把點的坐標(biāo)代入解方程即可；方法二：根據(jù)題意，以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，先求出，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入，可得二次函數(shù)的解析式為；當(dāng)時，可得，解方程即可求出此時拱橋內(nèi)的水面寬度．【詳解】解：方法一：如圖1，以點A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，∵水面寬AB為12米．點A（0，0），點B在x軸上，∴點B（12，0），拋物線對稱軸,∵拱頂離水面8米，∴拋物線的頂點M（6，8），設(shè)這條拋物線解析式為∵拋物線過原點，∴解得∴這條拋物線解析式為，故答案為（12，0）；（6，8）；；方法二∵以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，當(dāng)拱頂離水面8米時，水面寬AB為12米．∴對稱軸與水面的交點坐標(biāo)C（0，-8），∴AC=BC=，∴點A（-6，-8），點B（6，-8），設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，解得，二次函數(shù)的解析式為；當(dāng)時，即：∴∴，∴此時拱橋內(nèi)的水面寬度為，故答案為：；．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系及熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·安徽·九年級統(tǒng)考期中）跳繩是一項很好的健身活動，如圖是小明跳繩運動時的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，甩繩近似拋物線形狀，腳底、相距20cm，頭頂離地175cm，相距60cm的雙手、離地均為80cm．點、、、、在同一平面內(nèi)，腳離地面的高度忽略不計．小明調(diào)節(jié)繩子，使跳動時繩子剛好經(jīng)過腳底、兩點，且甩繩形狀始終保持不變．(1)求經(jīng)過腳底、時繩子所在拋物線的解析式．(2)判斷小明此次跳繩能否成功，并說明理由．【答案】(1)(2)不成功，理由見解析【分析】（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系：結(jié)合題意可得：由雙手、離地均為80cm，可得C點坐標(biāo)為：再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；（2）由可得跳繩不過頭頂，從而可得答案．【詳解】（1）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：結(jié)合題意可得：雙手、離地均為80cm．C點坐標(biāo)為：設(shè)拋物線為：解得：所以拋物線為（2）解：∵y=0.1x2－90，∴頂點為（0，－90）.即跳繩頂點到手的距離是90cm，跳繩不過頭頂，小明此次跳繩能不成功．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意，建立合適的坐標(biāo)系是解本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考期中）某公園有一個截面由拋物線和矩形構(gòu)成的觀景拱橋，如圖1所示，示意圖如圖2，且已知圖2中矩形的長為12米，寬為4米，拋物線的最高處E距地面為8米．(1)請根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)解析式；(2)若觀景拱橋下放置兩根長為7米的對稱安置的立柱，求這兩根立柱之間的水平距離；(3)現(xiàn)公園管理處打算在觀景橋側(cè)面搭建一個矩形“腳手架”（如圖2），對觀景橋表面進行維護，P，N點在拋物線上，Q，M點在上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿的長度之和的最大值，請你幫管理處計算一下．【答案】(1)(2)6米(3)20.5米【分析】（1）以所在的直線為x軸，點E為頂點建立直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求解即可；（2）確定立柱的縱坐標(biāo)，解方程可得答案；（3）設(shè)，則，，三根支桿的總長度，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：如圖，以所在的直線為x軸，點E為頂點建立直角坐標(biāo)系，由題意得，，，設(shè)拋物線的解析式為，代入可得，解得，∴；（2）依題意可得：，解得：，∴（米），答：這兩根立柱之間的水平距離是6米；（3）設(shè)，則，，∴三根支桿的總長度，∵，∴時，w的最大值為，∴三根支桿的長度之和的最大值為20.5米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握不同坐標(biāo)系中頂點式求解析式，能把實際問題轉(zhuǎn)化為拋物線是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖1，一段高架橋的兩墻，由拋物線一部分連接，為確保安全，在拋物線一部分內(nèi)修建了一個菱形支架，拋物線的最高點到的距離米，，點，在拋物線一部分上，以所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，確定一個單位長度為1米．(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)求高架橋兩端的的距離；(3)如圖2，現(xiàn)在將菱形做成廣告牌，且在菱形內(nèi)再做一個內(nèi)接矩形廣告牌，已知矩形廣告牌的價格為80元/米，其余部分廣告牌的價格為160元/米，試求菱形廣告牌所需的最低費用．【答案】(1)(2)米(3)元【分析】（1）過點作于點，作軸于點，在中，軸，，勾股定理得出，進而得出，根據(jù)，得出，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)，解方程，得出的坐標(biāo)，即可求解．（3）待定系數(shù)法得出直線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)矩形中，米，則，代入，，繼而得出，由（1）得出，設(shè)總費用為，進而根據(jù)面積乘以廣告牌的價格得出的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，作軸于點，∵四邊形是菱形，，∴，，在中，軸，，∴，，∴，∵，∴，設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為，將，代入得，，解得：，∴；（2）令，解得：，∴，∴（米）（3）設(shè)直線的解析式為，將點代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將點，代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)矩形中，米，則，代入，，得，∴，∴，由（1）可得，，設(shè)總費用為，∴；當(dāng)時，取得最小值，最小值為，∴菱形廣告牌所需的最低費用為元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，某一拋物線型隧道在墻體處建造，現(xiàn)以地面和墻體分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知，且拋物線經(jīng)過．請根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；(2)有一輛寬，高的貨車想要通過隧道，請問該貨車能否正常通過？請說明理由；(3)現(xiàn)準(zhǔn)備在拋物線上一點E處，安裝一直角形鋼拱架支護材料對隧道進行維修（點F，G分別在x軸，y軸上，且軸，軸），現(xiàn)有鋼拱架支護材料是否夠用？請說明理由．【答案】(1)(2)不能，見解析(3)現(xiàn)有鋼拱架支護材料夠用，見解析【分析】（1）由待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式方程；（2）先求出拋物線的對稱軸，然后取，求出的值，再與貨車的高度進行比較，即可得到答案；（3）由題意，設(shè)點，則點，然后表示出的值，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意，∵，∴設(shè)拋物線的表達式為，由得，，解得：，∴；（2）解：∵，∴拋物線對稱軸為直線，∵貨車寬，∴當(dāng)貨車從門中間進入時，把代入，得，∴貨車不能正常駛?cè)?；?）解：由題意，設(shè)點，則點，由題意得，∵點G在點A的下方，∴，∴或，∵令，∴或，∴或（舍去）；∵，∴當(dāng)時，有最大值，∴的最大值為：，∴現(xiàn)有鋼拱架支護材料夠用．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．12．（2022·安徽滁州·統(tǒng)考二模）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點到水面的距離是．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點時，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）；（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在時，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤m≤8【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到對應(yīng)的y值，進而即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據(jù)題意得：A(8，0)，B(4，4)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；（3）由題意得：當(dāng)0≤x≤8時，新函數(shù)表達式為：y=x2-2x，當(dāng)x＜0或x＞8時，新函數(shù)表達式為：y=-x2+2x，∴新函數(shù)表達式為：，∵將新函數(shù)圖象向右平移個單位長度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如圖所示，根據(jù)圖像可知：當(dāng)m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數(shù)圖象在時，的值隨值的增大而減?。军c睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．題型四：銷售問題一、解答題1．（2023·安徽合肥·校考一模）某市公安局交警支隊在全市范圍內(nèi)開展“一盔一帶”安全守護行動，某商場的頭盔銷量不斷增加，該頭盔銷售第天與該天銷售量（件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式為：（且為整數(shù)），為減少庫存，該商場將此頭盔的價格不斷下調(diào)，其銷售單價（元）與第天成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時，，當(dāng)時，．已知該頭盔進價為元／件．(1)求與之同的函數(shù)關(guān)系式；(2)求這天中第幾天銷售利潤最大，并求出最大利潤；(3)在實際銷售的前天，為配合“騎乘人員佩戴頭盔專題周”活動的開展，商場決定將每個頭盔的單價在原來價格變化的基上再降價元（）銷售，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前8天中，每天的利潤隨時間（天）的增大而增大，試求的取值范圍．【答案】(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）(2)第天利潤最大，最大值為元(3)的取值范圍為【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)總利潤為元，可得出總利潤與第天的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)頂點式即可求解；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）．（2）解：設(shè)總利潤為元，則，當(dāng)時，取得最大值，∴第天利潤最大，最大值為：（元）．（3）解：由題意可設(shè)第天的銷售利潤為元，則，∴對稱軸為又知前天中，每天的利潤隨時間（天）的增大而增大，∴即，又，∴．【點睛】本題主要考查銷售問題，理解題目中數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）某快餐店給顧客提供A，B兩種套餐．套餐A每份利潤8元，每天能賣90份；套餐B每份利潤10元，每天能賣70份．若每份套餐A價格提高1元，每天少賣出4份；每份套餐B價格提高１元，每天少賣出2份．（注：兩種套餐的成本不變）(1)若每份套餐價格提高了x元，求銷售套餐A，B每天的總利潤元，元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)物件部門規(guī)定這兩種套餐提高的價格之和為10元，問套餐A提高多少元時，這兩種套餐每天利潤之和最大？【答案】(1)，(2)套餐提高4元時，這兩種套餐每天利潤之和最大【分析】（1）由題意可知，每份套餐價格提高了元，套餐每天賣出份，套餐每天賣出份，根據(jù)利潤每份利潤份數(shù)即可求得函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)套餐每份提高了元，則套餐每份提高了，結(jié)合兩個函數(shù)關(guān)系可得兩種套餐每天利潤之和，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意可得：套餐每份提高了x元，則每天賣出份，套餐每份提高了x元，則每天賣出份，則：套餐每天的總利潤，套餐每天的總利潤；（2）設(shè)套餐每份提高了元，則套餐每份提高了，∴，則兩種套餐每天利潤之和為：，即：，∴當(dāng)時，有最大值，即：套餐提高4元時，這兩種套餐每天利潤之和最大．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意列出等式，找到量之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）某商店銷售一種商品，每件的進價為20元．根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)售價不低于30元/件時，銷售量（件）與售價（元/件）之間的關(guān)系如圖所示（實線）．(1)寫出銷售量（件）與售價（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)售價為多少時，獲利最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)售價為64元/件時，可以獲利最大，最大利潤為1936元【分析】（1）由圖可知銷售量銷售量（件）與售價（元/件）之間成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，根據(jù)的范圍，分別代入求解即可；（2）根據(jù)的范圍分類討論，分別求出總利潤與售價的函數(shù)關(guān)系式，再求最大值即可．【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)當(dāng)時，圖象經(jīng)過代入得：解得：∴當(dāng)時，當(dāng)時，圖象經(jīng)過代入得：解得：∴當(dāng)時，∴銷售量（件）與售價（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式為（2）解：設(shè)總利潤為，由題意得：當(dāng)時，，∴當(dāng)時，取得最大值，此時

當(dāng)時，，∴當(dāng)時，取得最大值，此時，答：當(dāng)售價為64元/件時，可以獲利最大，最大利潤為1936元.．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握利潤計算公式列函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）烏饅頭是江北慈城地方特色點心，用麥粉發(fā)酵，再摻以白糖黃糖，蒸制而成．因其用黃糖，顏色暗黃，所以稱之謂“烏饅頭”．某商店銷售烏饅頭，通過分析銷售情況發(fā)現(xiàn)，烏饅頭的日銷售量（盒）是銷售單價（元/盒）的一次函數(shù)，銷售單價、日銷售量的部分對應(yīng)值如下表，已知銷售單價不低于成本價且不高于20元，每天銷售烏饅頭的固定損耗為20元，且銷售單價為18元/盒時，日銷售純利潤為1180元．銷售單價（元/盒）1513日銷售量（盒）500700(1)求烏饅頭的日銷售量（盒）與銷售單價（元/盒）的函數(shù)表達式；(2)“端午烏饅重陽粽”是慈城的習(xí)俗．端午節(jié)期間，商店決定采用降價促銷的方式回饋顧客．在顧客獲得最大實惠的前提下，當(dāng)烏饅頭每盒降價多少元時，商店日銷售純利潤為1480元？(3)當(dāng)銷售單價定為多少時，日銷售純利潤最大，并求此日銷售最大純利潤．【答案】(1)(2)當(dāng)烏饅頭每盒降價3元時，商店每天獲利為1480元(3)當(dāng)銷售單價定為16元/盒時，日銷售純利潤最大，最大純利潤為1580元【分析】（1）設(shè)，根據(jù)表格即可求解；（2）根據(jù)：銷售量單件利潤損耗費用銷售總利潤，列出方程即可求解；（3）設(shè)日銷售純利潤為元，根據(jù)：銷售量單件利潤損耗費用銷售總利潤，列出函數(shù)關(guān)系式，并在求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)，由題意得，解得，∴．（2）解：當(dāng)時，，即銷售200盒的純利潤為1180元，成本價為：（元），，解得：（舍），，（元）．答：當(dāng)烏饅頭每盒降價3元時，商店每天獲利為1480元．（3）解：設(shè)日銷售純利潤為元，由題意得，，，當(dāng)時，有最大值1580元，答：當(dāng)銷售單價定為16元/盒時，日銷售純利潤最大，最大純利潤為1580元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)，一元二次方程，二次函數(shù)在銷售利潤中的應(yīng)用，掌握銷售問題中的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺相關(guān)政策，本市企業(yè)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，政府還給予大學(xué)畢業(yè)生一定補貼．已知某種品牌服裝的成本價為每件100元，每件政府補貼20元，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：．(1)若第一個月將銷售單價定為160元，政府這個月補貼多少元?(2)設(shè)獲得的銷售利潤（不含政府補貼）為（元），當(dāng)銷售單價為多少元時，每月可獲得最大銷售利潤?(3)若每月獲得的總收益（每月總收益=每月銷售利潤+每月政府補貼）不低于28800元，求該月銷售單價的最小值．【答案】(1)8400元(2)200元(3)140元【分析】（1）把代入，求出銷售的件數(shù)，從而得到政府補貼金額；（2）根據(jù)總利潤=數(shù)量×單件利潤列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值求解；（3）每月獲得的總收益為，列出函數(shù)關(guān)系式，再令，求出x值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得到最小值．【詳解】（1）解：在中，令，則，∴政府這個月補貼元；（2）由題意可得：，∵，∴當(dāng)時，w有最大值30000．即當(dāng)銷售單價定為200元時，每月可獲得最大利潤30000元．（3）設(shè)每月獲得的總收益為，由題意可得：，令，則，解得：或，∵，則拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，，∴該月銷售單價的最小值為140元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求解，此題難度不大．6．（2023·安徽蚌埠·?？寄M預(yù)測）某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能，消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價是一次函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過測算，工廠每千度電產(chǎn)生利潤y（元/千度））與電價x（元/千度）的函數(shù)圖象如圖：(1)當(dāng)電價為600元/千度時，工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤是多少？(2)為了實現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo)，有關(guān)部門規(guī)定，該廠電價x（元/千度）與每天用電量m（千度）的函數(shù)關(guān)系為，為了獲得最大利潤，工廠每天應(yīng)安排使用多少度電？工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元？(3)由于地方供電部門對用電量的限制，規(guī)定該工廠每天的用電量，請估算該工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤的取值范圍．【答案】(1)180元/千度(2)當(dāng)工廠每天使用50千度電時，工廠每天電產(chǎn)生最大利潤為5000元(3)4200元～5000元【分析】（1）利用待定系數(shù)法先求出y與x的關(guān)系式，然后把代入所求得的函數(shù)關(guān)系式計算即可；（2）設(shè)工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為w元，根據(jù)利潤=每千度電產(chǎn)生利潤y×每天用電量m（千度）即可得出w與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得出范圍．【詳解】（1）解：設(shè)工廠每千度電產(chǎn)生利潤y（元/千度）與電價x（元/千度）的函數(shù)解析式為：（k、b是常數(shù)，且）．將點代入可得：，解得：，故．當(dāng)電價元/千度時，該工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤（元/千度）．答：工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤是180元/千度．（2）解：設(shè)工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為w元，由題意得：，當(dāng)時，w取得最大，，即當(dāng)工廠每天使用50千度電時，工廠每天電產(chǎn)生最大利潤為5000元．（3）由（2）可得，當(dāng)時，利潤取得最大，最大為5000元，∵當(dāng)時，w隨著m的增大而減小，且，∴當(dāng)時，利潤取得最小，最小為4200元．故該工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤的取值范圍為4200元～5000元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、得出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式、熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某超市以40元/個的價格購進一批冬奧會吉祥物，當(dāng)以50元/個的價格出售時，每天可以售出60個．為了促銷，在確保不虧本的前提下采取降價促銷的方式招攬顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價每降低元時，每天可多賣出5個吉祥物．(1)設(shè)該吉祥物的售價降低了x元，每天的銷售量為y個，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．(2)設(shè)銷售這種吉祥物一天可獲利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)這種吉祥物的售價定為每個多少元時，商店每天獲得的利潤最大？【答案】(1)(2)(3)售價為48元/個時每天利潤最大為640元【分析】（1）根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式即可，再根據(jù)售價>進價，降價的金額為非負數(shù)，即可寫出x的取值范圍；（2）根據(jù)利潤=單個利潤×數(shù)量，即可列出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）將（2）中得出的關(guān)系式化為頂點式，即可進行解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，∴．（2）解：．（3）∵，，∴當(dāng)時，w有最大值，最大值為640，當(dāng)時，定價為（元），∴售價為48元/個時每天利潤最大為640元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意列出函數(shù)表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答．8．（2023·安徽阜陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．(1)求第二批每個掛件的進價；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，則每周多賣10個．求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少?【答案】(1)第二批每個掛件的進價為40元；(2)當(dāng)每個掛件售價定為52元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1440元．【分析】（1）設(shè)第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據(jù)題意列出方程，求解即可；（2）設(shè)每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，則可列出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為元，根據(jù)題意可得，，解得．經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合實際意義，∴．∴第二批每個掛件的進價為40元；（2）解：設(shè)每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，根據(jù)題意可知，，∵，∴當(dāng)時，w取最大，此時．∴當(dāng)每個掛件售價定為52元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1440元．【點睛】本題綜合考查分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程、函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．9．（2023·安徽蚌埠·校考二模）某水果店一種水果的日銷售量（千克）與銷售價格（元千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表．售價x（元/千克）日銷售量y（千克）(1)求這種水果日銷售量與銷售價格之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若將這種水果每千克的價格限定在元元的范圍，求這種水果日銷售量的范圍；(3)已知這種水果購進的價格為元千克，求這種水果在日銷售量不超過千克的條件下可獲得的最大毛利潤．（假設(shè)：毛利潤銷售額購進成本）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，將分別代入即可求解；（3）設(shè)最大毛利潤為，根據(jù)題意，列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：依題意，設(shè)一次函數(shù)解析式為，將代入得，解得：∴；（2）解：∵中，，∴隨的增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，,∴當(dāng)時，（3）解：設(shè)最大毛利潤為，根據(jù)題意，得∵，，拋物線開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，隨的增大而減小，∵，∴，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為（元）．答：最大毛利潤為元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽宣城·?？既＃┠彻菊{(diào)研了歷年市場行情和生產(chǎn)情況以后，對今年某種商品的銷售價格和成本價格進行預(yù)測，提供了兩方面的信息，如圖所示．圖1的圖象是線段，圖2的圖象是部分拋物線．

(1)在3月份和6月份出售這種商品，哪個月商品的單件利潤更大？(2)從3月份到8月份，哪個月商品的單件利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)3月(2)8月，元【分析】（1）用銷售價格減去成本價格即可得出利潤；（2）分別求出線段和拋物線的解析式，即可得出單件利潤關(guān)于t的二次函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：由圖可知：3月份的單件利潤為：（元），6月份的單件利潤為：（元），在3月份和6月份出售這種商品，3月商品的單件利潤更大；（2）解：設(shè)M與t的函數(shù)關(guān)系式為：，由圖1可知，該圖象經(jīng)過點，，將，代入，可得，解得，；由圖（2）知，Q與t的函數(shù)圖象頂點為，經(jīng)過點，設(shè)Q與t的函數(shù)關(guān)系式為：，將代入，可得，解得，，設(shè)單件利潤為P，則，P與t的函數(shù)圖象的對稱軸為，，當(dāng)時，P取最大值，最大值為，即從3月份到8月份，8月份商品的單件利潤最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出單件利潤關(guān)于t的二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．題型五：投球問題一、單選題1．（2023春·安徽蚌埠·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一場籃球比賽中，一名籃球運動員投籃，球沿拋物線運行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知球出手時離地面高2.25米，距籃筐中心的水平距離是4米，籃筐的中心離地面的高度為，該拋物線的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得拋物線經(jīng)過點，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得拋物線經(jīng)過點，代入解析式得：，解得：，∴拋物線的表達式為，故選：B．【點睛】題目主要考查利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，理解題意是解題關(guān)鍵．二、解答題2．（2022秋·安徽安慶·九年級?？茧A段練習(xí)）年里約奧運會，中國跳水隊贏得個項目中的塊金牌，優(yōu)秀成績的取得離不開艱辛的訓(xùn)練．某跳水運動員在進行跳水訓(xùn)練時，身體看成一點在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板長為米，跳板距水面的高為米，訓(xùn)練時跳水曲線在離起跳點水平距離米時達到距水面最大高度米，現(xiàn)以為橫軸，為縱軸建立直角坐標(biāo)系．(1)當(dāng)時，求這條拋物線的解析式；(2)圖中米，米，若跳水運動員在區(qū)域內(nèi)含點，入水時才能達到訓(xùn)練要求，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)，可設(shè)拋物線解析式為，將點代入可得a，即可解得．（2）若跳水運動員在區(qū)域內(nèi)含點，入水達到訓(xùn)練要求，則在函數(shù)中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解不等式即可得．【詳解】（1）解：如圖所示：根據(jù)題意，可得拋物線頂點坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析為：，則，解得：，故拋物線解析式為：；（2）解：根據(jù)題意，拋物線解析式為：，將點代入可得：，即若跳水運動員在區(qū)域內(nèi)含點，入水，則當(dāng)時，，即，解得：，當(dāng)時，，即，解得：，故．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解不等式，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點O，守門員位于點A，OA的延長線與球門線交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離=水平速度×?xí)r間）與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如下表：s/m…912151821…h(huán)/m…4.24.854.84.2…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測足球落地時，s=m；(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對足球后退過程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對足球向球門前進過程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對足球后退，能否成功防守？試計算加以說明；②若守門員背對足球向球門前進并成功防守，求此過程守門員的最小速度．【答案】(1)30(2)(3)①守門員不能成功防守；說明見解析；②守門員的最小速度為m/s【分析】（1）由函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)信息可得答案；（2）由數(shù)據(jù)表得拋物線頂點（15，5），設(shè)解析式為，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（3）①設(shè)守門員到達足球正下方的時間為ts．由題意得15t=20+2.5t，解得t=，再計算足球此時的高度即可；②由題意判斷：當(dāng)h=1.8m且守門員剛好到達足球正下方時，此時速度最?。偾蠼獯藭r足球飛行的水平距離s=27m，可得足球的飛行時間，從而可得答案．【詳解】（1）解：由函數(shù)圖象信息可得：頂點坐標(biāo)為：所以預(yù)測足球落地時，故答案為：30（2）解：由數(shù)據(jù)表得拋物線頂點（15，5），故設(shè)解析式為，把（12，4.8）代入得所以解析式為．（3）解：設(shè)守門員到達足球正下方的時間為ts．①由題意得15t=20+2.5t，解