九年級數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專項(xiàng)突破10解直角三角形之“背靠背”模型（解析版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破10解直角三角形之“背靠背”模型【知識梳理】【模型展示】【考點(diǎn)剖析】一、單選題1．（2020·湖南永州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30°，看這棟樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（

）A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出BD、CD的長，進(jìn)而可求出BC的長.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD?tan30°＝120×＝m；在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD?tan60°＝120×＝m.∴BC＝BD＋DC＝m.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)知識，并牢記特殊角的三角函數(shù)值.二、填空題2．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD，AE，DF為梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡長AB=10米，背水坡CD的坡度i=1：，則背水坡的坡長CD為_____米．【答案】20【分析】先根據(jù)坡角α=45°，坡長AB=10米求得AE的長，從而知DF的長，再根據(jù)背水坡CD的坡度i=1：得到∠C的度數(shù)，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得CD的長．【詳解】解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡長AB=10米，∴AE=10×sin45°=10（米），∴DF=AE=10，∵背水坡CD的坡度i=1：，∠DFC=90°，∴tan∠C=，∴∠C=30°，∴DC=2DF=2AE=20（米），故答案為20．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及到坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖示確定在哪個直角三角形中進(jìn)行求解．三、解答題3．（2020秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，嘉琪家對面新建了一幢圖書大廈，她在自家窗口處測得大廈底部點(diǎn)的俯角為，大廈頂部點(diǎn)的仰角為，和是方程的兩根．嘉琪量得兩幢樓之間的距離為．（1）求出、的度數(shù)；（2）求出大廈的高度．（結(jié)果保留根號）【答案】（1），；（2）大廈的高度BD為（20+20）米．【分析】（1）利用公式法解出方程的兩根，即可求出、的度數(shù)；（2）易得四邊形AEDC是矩形，即可求得AC的長，然后分別在Rt△ABC與Rt△ACD中，利用三角函數(shù)的知識求得BC與CD的長，繼而求得答案．【詳解】（1）∵，，∴∴∴，∴，∴，（2）如圖，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，AE⊥DE，∴四邊形AEDC是矩，∴AC=DE=20米，∵在Rt△ABC中，=45°，∴BC=AC=20米，在Rt△ACD中，tan30°=，∴CD=AC?tan30°=20×=20（米），∴BD=BC+CD=20+20（米）；∴大廈的高度BD為（20+20）米．【點(diǎn)睛】此題考查了仰角與俯角的定義．注意能借助仰角與仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是關(guān)鍵．4．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考一模）如圖，某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測得B在北偏東32°方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據(jù)上述測量結(jié)果，請你幫小明計(jì)算A、B之間的距離是多少？（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin32°＝0．5299，cos32°＝0．8480）【答案】138m【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，根據(jù)題意求出CD和BD的長度，然后根據(jù)Rt△ACD的性質(zhì)求出AD的長度，然后根據(jù)AB=AD+DB求出AB的長度．【詳解】解：過點(diǎn)C作正北線交AB于點(diǎn)D．∵BC=100m，∴在Rt△CBD中，BD=BC?sin32°=100×0．5299=52．99（m）．DC=BC?cos∠DCB=100?cos32°=100×0．8480=84．80（m）．在Rt△ADC中，tan∠ACD=．AD=CD?tan∠ACD=84．80×tan45°=84．80（m）．AB=AD+DB=84．80+52．99≈138（m）．考點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用．5．（2020·吉林·三模）吉林省廣播電視塔（簡稱“吉塔”）是我省目前最高的人工建筑，也是俯瞰長春市美景的最佳去處．某科技興趣小組利用無人機(jī)搭載測量儀器測量“吉塔”的高度．已知如圖將無人機(jī)置于距離“吉塔”水平距離138米的點(diǎn)C處，則從無人機(jī)上觀測塔尖的仰角恰為30°，觀測塔基座中心點(diǎn)的俯角恰為45°．求“吉塔”的高度．（注：≈1.73，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】218米【詳解】試題分析：分別利用正切定義求AH,BH,最后求和.試題解析：解：如圖，根據(jù)題意，有∠ACH=30°，∠HCB=45°，CH=138米，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=，∴tan30°=，∴AH=138×=46≈79.58，在Rt△BCD中，∵∠DCB=45°，CD=138，∴BH=CH=138米，∴AB=AH+BH≈79.58+138≈218．答：“吉塔”的高度約為218米．6．（2020秋·四川成都·九年級?？计谥校┙鹋^(qū)某學(xué)校開展“數(shù)學(xué)走進(jìn)生活”的活動課，本次任務(wù)是測量大樓AB的高度.如圖，小組成員選擇在大樓AB前的空地上的點(diǎn)C處將無人機(jī)垂直升至空中D處，在D處測得樓AB的頂部A處的仰角為，測得樓AB的底部B處的俯角為.已知D處距地面高度為12m，則這個小組測得大樓AB的高度是多少？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】這個小組測得大樓AB的高度是31m.【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，本題涉及到兩個直角三角形△BDE、△ADE，通過解這兩個直角三角形求得DE、AE的長度，進(jìn)而可解即可求出答案．【詳解】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則，在中，，∵，∴，∴.在中，，∵，，∴，∴.答：這個小組測得大樓AB的高度是31m.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．解直角梯形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的問題．7．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）大雁塔南廣場玄奘銅像是為紀(jì)念唐代高僧玄奘而設(shè)計(jì)．在一次課外活動中，甲、乙兩位同學(xué)測量玄奘銅像的高度他們分別在A，B兩處用高度為1.8m的測角儀測得銅像頂部C的仰角分別為30°，60°，兩人間的水平距離AB為10m，求玄奘銅像的高度CF．（結(jié)果保留根號）【答案】玄奘銅像的高度CF為【分析】設(shè)CG＝m，利用正切的定義用表示出DG、EG，根據(jù)題意列方程求出，結(jié)合圖形進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】設(shè)CG＝m，在Rt△CGD中，tan∠CDG＝，∴DG＝＝，在Rt△CGE中，tan∠CEG＝，∴EG＝，由題意得，，解得，，即CG＝，∴CF＝CG+GF＝，答：玄奘銅像的高度CF為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.8．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級期末）如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東方向的B營地，由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過橋．經(jīng)過測量得知，A、B之間的距離為13km，∠A和∠B的度數(shù)分別是37°和53°，橋CD的長度是0.5km，圖中的區(qū)域CDFE近似看做一個矩形區(qū)域．（1）求CE的長；（2）該考察小組希望到達(dá)B營地的時(shí)間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）CE的長為；（2）他們的行進(jìn)速度至少是．【分析】（1）設(shè)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，，再解直角三角形分別求出，，然后根據(jù)線段的和差列出等式，求解即可得；（2）先根據(jù)題（1）的結(jié)論求出AE、BF、DF的長，再利用勾股定理分別求出AC、BD的長，然后根據(jù)速度的計(jì)算公式列出不等式，求解即可得．【詳解】（1）設(shè)四邊形CDFE是矩形，，，在中，，即解得在中，，，即解得又解得故CE的長為；（2）由（1）可知，，，則設(shè)他們的行進(jìn)速度為由題意得：，即解得答：他們的行進(jìn)速度至少是．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．9．（2020秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，從一熱氣球的探測器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30°，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為60m，求這棟高樓的高度．【答案】80米【分析】過A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD與Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BD和CD，再根據(jù)BC＝BD＋CD即可求解．【詳解】過A作AD⊥BC，垂足為D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝60m，∴BD＝AD?tan30°＝60×＝20（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝60m，∴CD＝AD?tan60°＝60×＝60（m），∴BC＝BD＋CD＝20＋60＝80（m），即這棟高樓高度是80m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】1．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部C的仰角是30°，測得底部B的俯角是60°，此時(shí)無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為__________米（結(jié)果保留根號）．【答案】【分析】由題意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分別解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD和BD的長，進(jìn)一步即可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，則在Rt△ADC中，米，在Rt△ADB中，米，∴米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握解直角三角形的知識是解題關(guān)鍵．2．（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達(dá)B處，這時(shí)測得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是________．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）【答案】20.8【分析】證明△ABP是等腰三角形，過P作PD⊥AB，從而求得PD的長即可．【詳解】解：過P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案為：20.8.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出垂線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．3．（2020·四川樂山·中考真題）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯的傾斜角為，在自動扶梯下方地面處測得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函數(shù)即可得出答案．【詳解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，得出BC=AB=4是解題關(guān)鍵．三、解答題4．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）過C作于點(diǎn)D，解直角三角形即可；（2）由已知條件可知，求得，勾股定理求得，解即可求得的長【詳解】（1）如圖，過C作于點(diǎn)D,即（2），，,在中，設(shè)，則在中，即:解得：（不符題意，舍）【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．5．（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測量對面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】18(+1)m【分析】根據(jù)仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】如圖，依題意可得∠BCA=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CE=∵∠DBE=30°∴DE=BE×tan30°=18∴的高度為CE+ED=18(+1)m．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義．6．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動，具體過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測得和的度數(shù)（在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量：地面上兩點(diǎn)的距離為．問題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．【答案】【分析】設(shè)，再利用銳角三角函數(shù)用含的代數(shù)式表示再列方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)，在中，，

在中，，

，解得，．

答：寶塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2020·湖南永州·中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時(shí)30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）（1）這艘漁船在航行過程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請說明理由．（2）漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．【答案】（1）沒有危險(xiǎn)，理由見解析；（2）79.50海里【分析】（1）過A點(diǎn)作于點(diǎn)D，在中求出AD與50海里比較即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根據(jù)勾股定理求出AC.【詳解】解：（1）過A點(diǎn)作于點(diǎn)D，∴，由題意可得，∴在中，，∴漁船在航行過程中沒有觸礁的危險(xiǎn)；（2）在中，，∵，∴，在中，，即A，C之間的距離為79.50海里.【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形，將已知的線段和角度放在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵.8．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，A處與樓的水平距離為，若，求這棟樓高．【答案】270米【分析】根據(jù)正切的定義分別求出BD、DC的長，求和即可.【詳解】解：在Rt△ABD中，tanα=，則BD=AD?tanα=90×0.27=24.3，在Rt△ACD中，tanβ=，則CD=AD?tanβ=90×2.73=245.7，∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，答：這棟樓高約為270米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正切理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2020·湖北恩施·中考真題）如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在處測得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)處，在處測得小島位于其北偏東方向．求此時(shí)船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】此時(shí)船與小島的距離約為44海里【分析】過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x值即可求解【詳解】如圖，過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30o=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），答：此時(shí)船與小島的距離約為44海里．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關(guān)鍵．10．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．【答案】、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BD的長，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．11．（2020·山東濰坊·中考真題）某校“綜合與實(shí)踐”小組采用無人機(jī)輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，求橋的長度．【答案】【分析】過C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，根據(jù)橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：如圖示：過C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，則有：，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)算，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶——銅奔馬，又稱“馬踏飛燕”，于1969年10月出土于武威市的雷臺漢墓，1983年10月被國家旅游局確定為中國旅游標(biāo)志，在很多旅游城市的廣場上都有“馬踏飛燕”雕塑，某學(xué)習(xí)小組把測量本城市廣場的“馬踏飛燕”雕塑（圖②）最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動，同學(xué)們制定了測量方案，并完成了實(shí)地測量，測得結(jié)果如下表：課題測量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)到地面的高度為，在測點(diǎn)用儀器測得點(diǎn)的仰角為，前進(jìn)一段距離到達(dá)測點(diǎn)，再用該儀器測得點(diǎn)的仰角為，且點(diǎn)，，，，，均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一條直線上．測量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長度儀器（）的高度5米米請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【分析】如圖，延長交于，設(shè)利用銳角三角函數(shù)表示，再表示，再利用銳角三角函數(shù)列方程求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長交于，由題意得：設(shè)由由經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度為【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形所的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2020·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）共抓長江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長度．（結(jié)果精確到，，，，）【答案】新建管道的總長度約為．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)方位角的定義求出，設(shè)，則，再在中，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得AC、CD的長，然后在中，解直角三角形可得x的值，從而可得AC、BC的長，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D由題意得：，設(shè)，則是等腰直角三角形在中，，即解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，在中，，即解得則答：新建管道的總長度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、方位角的定義、解直角三角形等知識點(diǎn)，掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．14．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）成都“339”電視塔作為成都市地標(biāo)性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成都旅游打卡的網(wǎng)紅地．如圖，為測量電視塔觀景臺處的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂處測得塔處的仰角為45°，塔底部處的俯角為22°．已知建筑物的高約為61米，請計(jì)算觀景臺的高的值．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】觀景臺的高約為214米．【分析】過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，由題意可得四邊形DCBM是矩形，由矩形的性質(zhì)可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再證明△ADM為等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得觀景臺的高的長．【詳解】過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，由題意可得四邊形DCBM是矩形，∴BM=CD=61米，在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，tan∠BDM=，∴tan22°=，解得，DM=152.5米；∵∠ADM=45°，DM⊥AB，∴△ADM為等腰直角三角形，∴DM=AM=152.5米，∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）．答：觀景臺的高約為214米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)建直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．15．（2021·四川阿壩·統(tǒng)考中考真題）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】這棟樓的高度約為95米．【分析】利用正切函數(shù)分別在Rt△ABD與Rt△ACD中求得BD與CD的