2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點(diǎn)《空間向量研究距離、夾角問題》含答案解析

高中PAGE1高中清單02空間向量研究距離、夾角問題（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.【清單02】用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點(diǎn)，，為所成的角為，則①②.【清單03】用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）【清單04】用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；【考點(diǎn)題型一】利用空間向量求點(diǎn)面距核心方法：【例1】（24-25高二上·云南普洱·期中）如圖，在棱長為4的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到截面的距離為（

）

A． B． C． D．【變式1-1】（24-25高二上·山東青島·期中）已知//面，平面的一個(gè)法向量，平面內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線到平面的距離為．【變式1-2】（24-25高二上·安徽阜陽·期中）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別是底面、側(cè)面的中心，點(diǎn)分別是棱，所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.【變式1-3】（24-25高二上·上海·期中）如圖，在長方體中，，，則棱與平面的距離為.【考點(diǎn)題型二】利用等體積法求點(diǎn)面距核心方法：等體積法【例2】（24-25高二上·上?！て谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【變式2-1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為1的菱形，高為2，，則點(diǎn)到截面的距離為．

【變式2-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，平面平面，M是PD的中點(diǎn).

(1)證明：平面PCD；(2)若，求點(diǎn)C到平面的距離.【考點(diǎn)題型三】異面直線所成角核心方法：向量法【例3-1】（24-25高二上·浙江紹興·期中）如圖所示，已知直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，，，，分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（24-25高二上·湖北·期中）如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【變式3-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱錐中，平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型四】異面直線所成角的最值或范圍核心方法：向量法【例4】（24-25高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）四棱柱中，側(cè)棱底面，，底面中滿足，，，為上的動(dòng)點(diǎn)，為四棱錐外接球的球心，則直線與所成角的正弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4-3】（2024·山東濱州）在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型五】已知線線角求參數(shù)核心方法：向量法【例5】（24-25高二上·山西·期中）如圖，已知多面體中，底面是邊長為的正方形，，，平面，平面，，若異而直線與所成的角的余弦值為，則的值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】.（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，SD⊥平面ABCD，邊AB、SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).若直線EC與BF所成角的余弦值為，則SD＝（

）A．2 B． C．4 D．1【變式5-2】（24-25高二上·重慶云陽·）在三棱錐中，，，平面，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，，Q為線段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B），若使異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A．或4 B． C． D．【變式5-3】（24-25高二上·浙江寧波）在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E為PB的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．2【考點(diǎn)題型六】直線與平面所成角（定值）核心方法：向量法，法向量【例6】（24-25高二上·福建泉州·期中）P為長方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，平面平面，若，則與面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【變式6-1】（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，直三棱柱各棱長都相等，D是棱CC?的中點(diǎn)，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是棱AC的中點(diǎn)．設(shè)，隨著增大，直線BF與平面BDE所成角是（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【變式6-2】（23-24高二下·甘肅甘南·期中）正方體的棱長為是棱的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【變式6-3】（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型七】直線與平面所成角（最值或范圍）核心方法：向量法，法向量，二次函數(shù)，基本不等式【例7-1】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（

）.A． B． C．2 D．【例7-2】（24-25高二上·安徽六安·階段練習(xí)）在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值不可能是（

）

A． B． C． D．1【變式7-2】（23-24高二上·山東泰安·階段練習(xí)）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時(shí)的正弦值為（

）

A． B． C． D．【考點(diǎn)題型八】直線與平面所成角（探索性問題）核心方法：向量法，法向量【例8】（24-25高二上·四川達(dá)州·期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面，為的中點(diǎn).(1)證明：.(2)試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式8-1】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.【變式8-2】（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）如圖，已知四棱錐中，，側(cè)面為邊長等于4的正三角形，底面為菱形，為的中點(diǎn)，側(cè)面與底面所成的二面角為．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與面所成角的正弦值為，求線段的長度．【變式8-3】（24-25高三上·山西太原·期中）如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)證明：平面；(2)求二面角的大??；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【考點(diǎn)題型九】兩個(gè)平面所成角（定值）核心方法：向量法，法向量【例9-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點(diǎn)為圓弧上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例9-2】（24-25高二上·浙江·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為.【變式9-1】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）在正方體中，平面經(jīng)過點(diǎn)B，D，平面經(jīng)過點(diǎn)A，，當(dāng)平面，分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，過二面角內(nèi)一點(diǎn)作于于，若，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十】兩個(gè)平面所成角（最值或范圍）核心方法：向量法，法向量，二次函數(shù)，基本不等式【例10】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）長方體，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則二面角的正切值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式10-1】（2024高二下·浙江）如圖，棱長均相等的三棱錐中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)，二面角的大小為.當(dāng)增大時(shí)，（

）

A．增大 B．先增大后減小C．減小 D．先減小后增大【變式10-2】（24-25高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面VAC垂直底面ABC，設(shè)E為線段AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，若平面VEF與平面VBC所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式10-3】（24-25高二上·四川綿陽·期中）如圖所示，在四面體中，為等邊三角形，，則平面與平面夾角的最大值是.【考點(diǎn)題型十一】兩個(gè)平面所成角（探索性問題）核心方法：向量法，法向量【例11】（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)．(1)證明：PD⊥平面ABCD；(2)當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．【變式11-1】（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）如圖在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一點(diǎn)，D，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn).(1)當(dāng)，證明：平面BED；(2)判斷當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，銳二面角的余弦值為【變式11-2】（24-25高二上·湖南·期中）如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是正方形，，平面(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式11-3】（24-25高二上·北京·期中）圖1是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三棱錐，且.(1)證明：平面平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【考點(diǎn)題型十二】空間向量新定義題【例12】（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的方向向量（寫出一個(gè)即可）；(2)若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，平面，平面，求出點(diǎn)到平面的距離;(3)已知集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值.【變式12-1】.（24-25高二上·廣東深圳·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為；過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為.(1)在四面體中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面以為法向量，平面的方程為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體的各個(gè)面，求的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·四川雅安·期中）如圖，平行六面體的所有棱長均相等，且，則異面直線AC與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空間中的點(diǎn)，則到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．24．（24-25高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．25．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·河南許昌·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在線段上，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點(diǎn)，，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高二下·江蘇常州·期中）直線的方向向量為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則平面平面C．若，則平面所成銳二面角的大小為D．若，則直線與平面所成角的大小為10．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖所示，在長方體中，分別在棱和上，，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線與所成角的余弦值為C．直線和平面所成角的正弦值為D．若為線段的中點(diǎn)，則直線平面三、填空題11．（24-25高二上·遼寧·期中）在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點(diǎn)，，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長度的最小值為.12．（24-25高二上·山西晉中·期中）已知正四面體中，，是的中點(diǎn)，延長至，使得，點(diǎn)在線段上(不包含端點(diǎn))，則直線與夾角的余弦值的取值范圍為.四、解答題13．（24-25高三上·北京昌平·期中）如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．14．（24-25高二上·貴州六盤水·期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面ABCD，E為AD的中點(diǎn).(1)證明：平面PAB.(2)證明：.(3)試問在線段PE上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.15．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直四棱柱中，，，，，．

(1)設(shè)過點(diǎn)G、B、D的平面交直線于點(diǎn)M，求線段的長；(2)若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求直四棱柱的體積．16．（24-25高二上·廣東汕頭·期中）如圖，五面體中，，，平面ABCD．(1)求證：；(2)若，，，求點(diǎn)E到直線AB的距離；(3)若，，，二面角的余弦值為，求DE的長．17．（24-25高二上·廣東惠州·期中）在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．清單02空間向量研究距離、夾角問題（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.【清單02】用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點(diǎn)，，為所成的角為，則①②.【清單03】用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）【清單04】用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；【考點(diǎn)題型一】利用空間向量求點(diǎn)面距核心方法：【例1】（24-25高二上·云南普洱·期中）如圖，在棱長為4的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到截面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】如圖1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則令，則，，故平面的法向量為，所以點(diǎn)D到截面的距離為.故選：B.【變式1-1】（24-25高二上·山東青島·期中）已知//面，平面的一個(gè)法向量，平面內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線到平面的距離為．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】根據(jù)題意，將線到面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，代入公式計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/面，所以直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，又，則點(diǎn)到平面的距離.故答案為：【變式1-2】（24-25高二上·安徽阜陽·期中）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別是底面、側(cè)面的中心，點(diǎn)分別是棱，所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)探索兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，確定最小時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系，

則,設(shè),則，因?yàn)?所以,即，所以,又,則，當(dāng)時(shí),取得最小值，此時(shí),即，所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即,令,解得,所以,則點(diǎn)到平面的距離為故答案為：.【變式1-3】（24-25高二上·上?！て谥校┤鐖D，在長方體中，，，則棱與平面的距離為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由平面，所以棱與平面的距離即為到平面的距離，利用坐標(biāo)法求解點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離即為棱與平面的距離，如圖：建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，所以，，，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，故，則，令，，故，，所以到平面的距離為：，故答案為：【考點(diǎn)題型二】利用等體積法求點(diǎn)面距核心方法：等體積法【例2】（24-25高二上·上海·期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、求點(diǎn)面距離、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，得線線平行，再利用線面平行的判定定理可證；（2）利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離即可得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，在中，為的中位線，.又在正方形中，且，，且又是的中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面平面.（2）連接.由題意，在四棱錐中，平面，為三棱錐的高.又平面，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，則，（）由題意，，則，由為的中點(diǎn)，則，所以，，所以，且，代入（）化簡可得，解得，點(diǎn)A到平面的距離為.【變式2-1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為1的菱形，高為2，，則點(diǎn)到截面的距離為．

【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、求點(diǎn)面距離、錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)給定條件，復(fù)件等體積法求出點(diǎn)到截面的距離.【詳解】在直四棱柱中，四邊形是菱形，，由，得是正三角形，，，由平面，得，，等腰底邊上的高，，設(shè)點(diǎn)到截面的距離為，由，得，即，解得，所以點(diǎn)到截面的距離為.故答案為：【變式2-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，平面平面，M是PD的中點(diǎn).

(1)證明：平面PCD；(2)若，求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、求點(diǎn)面距離、面面垂直證線面垂直【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，，根據(jù)等體積法可求得答案.【詳解】（1）在正中，為的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面，且，∴平面，又∵平面，∴，又∵，且．∴平面．（2）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，若，則，∴，由（1）已知平面，，∴平面，∴．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得，，∴．

【考點(diǎn)題型三】異面直線所成角核心方法：向量法【例3-1】（24-25高二上·浙江紹興·期中）如圖所示，已知直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，，，，分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、異面直線夾角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系求異面直線，所成角的余弦值即可.【詳解】解：連接，，，并且，的中點(diǎn)為，因?yàn)榈酌媸橇庑危?，又因?yàn)樗睦庵鶠橹彼睦庵?，所以底面，又因?yàn)?，所以底面，所以?以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.則，，，，，于是，，，所以，，設(shè)異面直線，所成角為，則.故選：D【點(diǎn)睛】【例3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法、求空間向量的數(shù)量積【分析】利用基底表示向量和，再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.【詳解】由條件可知，，，，，，，，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【變式3-1】（24-25高二上·湖北·期中）如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】由，，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求，即可得答案.【詳解】由，，而且，則，顯然，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C【變式3-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱錐中，平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】畫出四面體，建立坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.【詳解】四面體是由正方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的，如下圖所示建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為故選：B【考點(diǎn)題型四】異面直線所成角的最值或范圍核心方法：向量法【例4】（24-25高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、異面直線夾角的向量求法【分析】先由幾何關(guān)系確定球心，再建立如圖所示坐標(biāo)系，然后分別求出及其模長，再代入向量的夾角公式，最后結(jié)合余弦函數(shù)的取值確定最小值即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，記正方形中心為，因?yàn)闉檎叫?，直線PQ經(jīng)過球心，且平面．所以過點(diǎn)且的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為，以為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)直線所成的角為，則，又，所以．故選：A．【變式4-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，利用，即可得出答案．【詳解】設(shè)與所成角為，如圖所示，不妨設(shè)，則，，，，，，．設(shè)，則，．所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與所成角為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，綜上，．故選：B．【變式4-2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）四棱柱中，側(cè)棱底面，，底面中滿足，，，為上的動(dòng)點(diǎn)，為四棱錐外接球的球心，則直線與所成角的正弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、異面直線夾角的向量求法【分析】以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心，則由可求出，設(shè)，然后表示出，求出其最大值，從而可求出直線與所成角的正弦值的最小值.【詳解】因?yàn)樵谒睦庵?，?cè)棱底面，所以四棱柱為直四棱柱，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，所?球心在平面的投影坐標(biāo)為，則設(shè)球心，因?yàn)?，所以，解得，所以，設(shè)，則，所以，設(shè)（），則所以當(dāng)，即時(shí)，有最大值，此時(shí)直線與所成的角最小，則其對(duì)應(yīng)的正弦值也最小，正弦值為故選：C【變式4-3】（2024·山東濱州）在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量、立體幾何中的軌跡問題【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面平面，從而的軌跡是線段，建立空間之間坐標(biāo)系后，利用空間向量求解異面直線夾角的余弦值，即可得角度范圍.【詳解】解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，，，，，，平面平面，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，的軌跡是線段，如圖，以D為原點(diǎn)，為軸建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2則，，，，由于在線段上，設(shè)，且所以則，又所以由于，所以所以異面直線與所成角的取值范圍.故選：C.【考點(diǎn)題型五】已知線線角求參數(shù)核心方法：向量法【例5】（24-25高二上·山西·期中）如圖，已知多面體中，底面是邊長為的正方形，，，平面，平面，，若異而直線與所成的角的余弦值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間向量模長的坐標(biāo)表示、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、已知線線角求其他量【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，結(jié)合條件運(yùn)算得解.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，可得，所以，所以，可得．故選：C.【變式5-1】.（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，SD⊥平面ABCD，邊AB、SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).若直線EC與BF所成角的余弦值為，則SD＝（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量【分析】以D為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求解.【詳解】以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.設(shè)，則，，，，所以，所以，.因?yàn)橹本€EC與BF所成角的余弦值為，所以，解得，也即.故選：C.【變式5-2】（24-25高二上·重慶云陽·）在三棱錐中，，，平面，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，，Q為線段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B），若使異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A．或4 B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量【分析】先證明出，以B為原點(diǎn),為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】如圖,在三棱錐中,,,∴.∵PB⊥平面ABC,以B為原點(diǎn),為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.可知,.因?yàn)椋?所以PB=4,則P(0，0，4).設(shè),且0<λ<1,則,可知，所以,，因?yàn)楫惷嬷本€PM與CQ所成的角的余弦值為,所以解得：或（舍去）.所以.故選：D【變式5-3】（24-25高二上·浙江寧波）在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E為PB的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量【分析】由已知以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得的坐標(biāo)，由數(shù)量積公式可得答案.【詳解】由已知兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則，，連接取中點(diǎn)，連接，所以，平面，所以，所以，，由，得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積公式求得，考查了學(xué)生的空間想象力.【考點(diǎn)題型六】直線與平面所成角（定值）核心方法：向量法，法向量【例6】（24-25高二上·福建泉州·期中）P為長方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，平面平面，若，則與面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】面面平行證明線線平行、線面角的向量求法【分析】設(shè)，O分別為長方體上、下底面矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，連接OP，，，由平面平面，結(jié)合正方體的性質(zhì)可得，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】設(shè)，O分別為長方體上、下底面矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，連接OP，，．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又，所以O(shè)，P，三點(diǎn)共線，因此，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，易知平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)與面所成角為，則，則，所以，即與面所成角的正切值為.故選：A.【變式6-1】（24-25高二上·上海·階段練習(xí)）如圖，直三棱柱各棱長都相等，D是棱CC?的中點(diǎn)，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是棱AC的中點(diǎn)．設(shè)，隨著增大，直線BF與平面BDE所成角是（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、線面角的向量求法【分析】設(shè)所有棱長均為2，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量求線面夾角可得，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)所有棱長均為2，則，，可得，，，設(shè)平面BDE法向量，則，令，則，可得.設(shè)直線BF與平面BDE所成角為，則，令，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，所以隨著x增大而增大.故選：A.【變式6-2】（23-24高二下·甘肅甘南·期中）正方體的棱長為是棱的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的數(shù)量積及體積最大值求得，從而得到與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，則，，所以，因?yàn)闉槎ㄖ?，要想三棱錐的體積最大，則點(diǎn)到底面的距離最大，其中，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為，因?yàn)?，所以的最大值為，則三棱錐的體積最大時(shí)，，，設(shè)平面的法向量，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為，故選：A【變式6-3】（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值.【詳解】構(gòu)建如下圖的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，若是面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以，則直線與平面所成角的正弦值為.故選：B【考點(diǎn)題型七】直線與平面所成角（最值或范圍）核心方法：向量法，法向量，二次函數(shù)，基本不等式【例7-1】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（

）.A． B． C．2 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系得到，確定平面的法向量為n=0,1,0【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，則，所以，平面的一個(gè)法向量為n=0,1,0則，又，所以當(dāng)時(shí)，最大為，則，此時(shí)最大為.故選：A【例7-2】（24-25高二上·安徽六安·階段練習(xí)）在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出直線與平面所成的角的正弦即可求解.【詳解】設(shè)正方體的的棱長為1，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,則,可設(shè)所以因?yàn)椋云矫娴囊粋€(gè)法向量，所以.當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為;當(dāng)或時(shí)，有最小值，最小值為.所以的取值范圍是，故選:A.【變式7-1】（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值不可能是（

）

A． B． C． D．1【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法、求線面角【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出與平面所成角的余弦值范圍，即可得出正弦值的范圍.【詳解】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)棱長為1，則，設(shè)，所以，平面的法向量為，所以則與平面所成角的正弦值取值范圍為.對(duì)比各選項(xiàng)，C項(xiàng)不可能.故選：C

【變式7-2】（23-24高二上·山東泰安·階段練習(xí)）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時(shí)的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，求出直線PN與平面ABC所成的角，即可求得結(jié)論．【詳解】如圖，以AB，AC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)角最大．故選：D．

【考點(diǎn)題型八】直線與平面所成角（探索性問題）核心方法：向量法，法向量【例8】（24-25高二上·四川達(dá)州·期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面，為的中點(diǎn).(1)證明：.(2)試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、已知線面角求其他量、面面垂直證線面垂直【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)中的幾何關(guān)系可得，再根據(jù)余弦定理與勾股定理可得，進(jìn)而可得平面即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)線面角的空間向量求法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，且相交于，又且平面，故平面，又平面，?在上取使得，連接，因?yàn)?，可得四邊形為矩形，且，又，故為等腰直角三角形，?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，又，，則，故，故.又，，，平面，故平面.又平面，故，即得證.（2）由（1）可得平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)，則，，.設(shè)平面的法向量，則，即，令有，，故.故直線與平面所成角的正弦值為，即，即，故，則，化簡可得.即，解得或（舍）.故.【變式8-1】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面角的向量求法、已知線面角求其他量【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)?，所以，而平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，則有，設(shè)平面與平面夾角為，；（3）設(shè)，設(shè)，于是有，，由（2）可知平面的法向量為，假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，即.【變式8-2】（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）如圖，已知四棱錐中，，側(cè)面為邊長等于4的正三角形，底面為菱形，為的中點(diǎn)，側(cè)面與底面所成的二面角為．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與面所成角的正弦值為，求線段的長度．【答案】(1)3(2)【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)面距離、已知線面角求其他量、線面垂直證明線線垂直、線面角的向量求法【分析】（1）如圖，由題意，根據(jù)線面垂直的判定定理可得，平面，又線面垂直的性質(zhì)可得，進(jìn)而，利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)可得平面，求出即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法求解線面角，建立關(guān)于t的方程，解之即可求解.【詳解】（1）連接，如圖，因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，所以，而平面，則平面，又平面，有，故是二面角的平面角，得，因平面，于是得平面平面，過作的延長線于，平面平面，平面，故平面，而，則，所以點(diǎn)到平面的距離是3．（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，設(shè)與面的所成角為，則，解得，則，線段的長度為．【變式8-3】（24-25高三上·山西太原·期中）如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)證明：平面；(2)求二面角的大??；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【知識(shí)點(diǎn)】已知線面角求其他量、面面角的向量求法、證明線面垂直【分析】（1）連接，可證，進(jìn)而可證，，進(jìn)而可求證；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)（），由線面夾角的向量公式即可求解.【詳解】（1）證明：連接，∵，，∴是正三角形，∴，同理可得，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴.∵，∴，∴，∴，∵在平面內(nèi)，∴平面；（2）由（1）得，，，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A1,0,0，，，P0,0,1，∵，∴，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)m=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，則，∴.取，則，，∴，∴，∴由題可知二面角為鈍角，故二面角的大小為；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)（），則，∴，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，∴或（舍去），∴.【考點(diǎn)題型九】兩個(gè)平面所成角（定值）核心方法：向量法，法向量【例9-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點(diǎn)為圓弧上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求二面角、面面角的向量求法、錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】由題意當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),此時(shí)點(diǎn)處于半圓弧的正中間位置.此時(shí)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面，平面的法向量，由法向量夾角余弦的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】三棱錐的體積與到平面的距離成正比，故當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),此時(shí)點(diǎn)處于半圓弧的正中間位置.點(diǎn)處于半圓弧的正中間位置時(shí)，記的中點(diǎn)為，以其為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.平面顯然有法向量，，設(shè)為平面的法向量，則該向量與和均垂直，所以，從而.令，解得，故符合條件，顯然二面角為銳角，因此所求余弦值為.故選：D.【例9-2】（24-25高二上·浙江·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解平面與平面夾角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令可得，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令可得，所以設(shè)平面與平面所成角為，，則，故平面與平面所成角的余弦值為.故答案為：.【變式9-1】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）在正方體中，平面經(jīng)過點(diǎn)B，D，平面經(jīng)過點(diǎn)A，，當(dāng)平面，分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法【分析】首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為過體對(duì)角線的平面與平面夾角的余弦值，利用向量坐標(biāo)法求平面的法向量，即可求解.【詳解】如圖：因?yàn)檎襟w中過體對(duì)角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，平面與平面的夾角為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，，平面，所以平面，同理平面，所以為平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量，A1,0,0，，，，，則.故選：C.【變式9-2】（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，過二面角內(nèi)一點(diǎn)作于于，若，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、面面角的向量求法【分析】設(shè)，根據(jù)向量的模長關(guān)系可得，進(jìn)而可求，即可得二面角.【詳解】設(shè)，則且，因?yàn)?，解得，可得，且，所以，所以二面角的大小為．故選：C.【考點(diǎn)題型十】兩個(gè)平面所成角（最值或范圍）核心方法：向量法，法向量，二次函數(shù)，基本不等式【例10】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）長方體，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則二面角的正切值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、面面角的向量求法【分析】先建系，再根據(jù)向量垂直得出再結(jié)合，得出，最后應(yīng)用空間向量法計(jì)算二面角余弦結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出正切范圍即可.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.已知，，則，，，.因?yàn)?，所?,因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，.由，即，令，則，，則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以..，.所以則.則二面角的正切值的取值范圍是故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用向量關(guān)系得出結(jié)合即可得出正切值取值范圍.【變式10-1】（2024高二下·浙江）如圖，棱長均相等的三棱錐中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)，二面角的大小為.當(dāng)增大時(shí)，（

）

A．增大 B．先增大后減小C．減小 D．先減小后增大【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量數(shù)量積求解.【詳解】由題意，三棱錐是正四面體，以的重心為原點(diǎn)，BC邊的中線PG為x軸，OA為z軸，過O點(diǎn)平行于BC的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

設(shè)三棱錐P-ABC的棱長為，則有：

，，，，設(shè)是平面ABD的一個(gè)法向量，則有，即，令，解得，顯然是平面PBC的一個(gè)法向量，；顯然當(dāng)時(shí)（x的取值范圍是），最小，，當(dāng)時(shí)，變大，二面角為銳角，變小，時(shí)，變大，二面角為鈍角，即變??；綜上減小.故選：C.【變式10-2】（24-25高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面VAC垂直底面ABC，設(shè)E為線段AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，若平面VEF與平面VBC所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法【分析】得出底面，又EB垂直AC，以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EC為y軸，EV為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，用空間向量法求二面角的余弦值，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面VAC垂直底面ABC，且由VE垂直AC，得底面，又EB垂直AC，以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EC為y軸，EV為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，設(shè)，，，，，設(shè)平面VBC的一個(gè)法向量，則，即，所以.設(shè)平面VEF的一個(gè)法向量，則，即，解得，令，則，所以，設(shè)平面與平面VBC所成銳二面角的平面角為，則當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：D【變式10-3】（24-25高二上·四川綿陽·期中）如圖所示，在四面體中，為等邊三角形，，則平面與平面夾角的最大值是.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊的邊長為1，設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求得兩平面夾角的最大值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面內(nèi)作直線垂直于為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊的邊長為1，因?yàn)?，所以設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，四點(diǎn)共面，不能構(gòu)成空間四邊形，所認(rèn)，可得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，結(jié)合，所以，所以平面與平面夾角的最大值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，用向量夾角的坐標(biāo)法求解空間角解決空間角的一種重要方法.【考點(diǎn)題型十一】兩個(gè)平面所成角（探索性問題）核心方法：向量法，法向量【例11】（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)．(1)證明：PD⊥平面ABCD；(2)當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【知識(shí)點(diǎn)】已知面面角求其他量、證明線面垂直、線面角的向量求法【分析】（1）由勾股定理證得，再由線面垂直的判定定理即可證得；（2）由條件如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）設(shè)，分別求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求點(diǎn)的位置.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，，所以又，且所?（2）由（1）可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．（3）由（2）可知，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量n1=則，即令，解得，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．【變式11-1】（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）如圖在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一點(diǎn)，D，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn).(1)當(dāng)，證明：平面BED；(2)判斷當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，銳二面角的余弦值為【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、已知面面角求其他量【分析】（1）連接，根據(jù)平行關(guān)系可知，即可證明線面平行；（2）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量求面面夾角.【詳解】（1）連接，D，F(xiàn)分別是CA，BA中點(diǎn)，則且，，是平行四邊形，因此且，所以與平行且相等，是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面.（2）當(dāng)時(shí)銳二面角的余弦值為，理由如下：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋瑒t，，，則是正三角形，所以，，平面平面，平面平面，平面，所以平面，，以O(shè)A，OC，為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是m=x,y,z，則，取，則，，即，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)銳二面角的大小為，則．且，解得，，所以.【變式11-2】（24-25高二上·湖南·期中）如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是正方形，，平面(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法、已知面面角求其他量、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）由線面垂直得到，結(jié)合證明出結(jié)論；（2）證明出AB，AD，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的空間向量公式進(jìn)行求解即可.（3）設(shè)點(diǎn)，其中，求出兩平面的法向量，列出方程，求出，得到答案.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以因?yàn)椋?，平面，所以平面?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為（3）若存在點(diǎn)P滿足題意，則可設(shè)點(diǎn)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故易得平面的一個(gè)法向量為，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為【變式11-3】（24-25高二上·北京·期中）圖1是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三棱錐，且.(1)證明：平面平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、已知面面角求其他量、證明線面垂直【分析】（1）在圖1中，連接,交于點(diǎn),證明，推得平面，由線面垂直即可證明面面垂直即得；（2）依題建系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式列出方程，求解即得.【詳解】（1）如圖，在圖1中，連接,交于點(diǎn),因?yàn)檫呴L是的正方形，則,在圖2中，則有,,又，則,即,因,故平面,又平面,故平面平面；（2）如圖，由（1）已得平面，且，則可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，,假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，滿足,使得二面角的余弦值為，則,又,設(shè)平面的法向量為，則故可取，又平面的法向量可取為，，化簡得：，解得或（舍去），故存在點(diǎn)，只需滿足，即棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.【考點(diǎn)題型十二】空間向量新定義題【例12】（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的方向向量（寫出一個(gè)即可）；(2)若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，平面，平面，求出點(diǎn)到平面的距離;(3)已知集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值.【答案】(1)；(2)；(3)，.【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求直線的方向向量、求平面的法向量、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）先求出平面和平面的法向量，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，利用和求得l的一個(gè)方向向量即得.（2）利用條件求得平面的方程，設(shè)平面、的交線的方向向量為，與（1）同法求得，利用求得的值，最后利用空間向量的點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即得.（3）求出集合的子集對(duì)應(yīng)幾何體的體積，再利用對(duì)稱性求出；確定為截去三棱錐所剩下的部分，利用割補(bǔ)法求解體積即可.【詳解】（1）平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，取，得，所以直線的一個(gè)方向向量為.（2）設(shè)平面，由平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，得，解得，即平面，記平面、、的法向量分別為：，設(shè)平面、的交線的方向向量為，則，取，依題意，，解得，平面，其法向量為，在平面內(nèi)取點(diǎn)，則，于是，點(diǎn)B到平面的距離為.（3）集合的子集，即為三個(gè)坐標(biāo)平面與圍成的四面體，四面體四個(gè)頂點(diǎn)分別為，此四面體的體積為，由對(duì)稱性知；集合的子集，構(gòu)成的幾何體是棱長為的正方體，而，則為截去三棱錐后剩下的部分，的體積，三棱錐的體積為，的體積為，由對(duì)稱性知.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于直線的方向向量求法，求出直線上的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；求體積利用割補(bǔ)法，把不規(guī)則轉(zhuǎn)規(guī)則進(jìn)行求解：解決二面角的余弦值，利用空間向量來解決．【變式12-1】.（24-25高二上·廣東深圳·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為；過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為.(1)在四面體中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面以為法向量，平面的方程為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體的各個(gè)面，求的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值.【答案】(1)(2)(3)體積為，余弦值為.【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、空間向量垂直的坐標(biāo)表示、面面角的向量求法【分析】（1）由平面的法向量與垂直得向量數(shù)量積為，由點(diǎn)在平面內(nèi)滿足平面方程，建立方程組求解可得；（2）由直線方程可得兩直線經(jīng)過的點(diǎn)及方向向量，利用兩方向向量求得平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)與法向量可得平面方程；（3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)作出圖形，結(jié)合幾何體的對(duì)稱性求解體積；利用向量夾角求解面面角可得.【詳解】（1）根據(jù)題意，由點(diǎn)在平面內(nèi)設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嬉詾榉ㄏ蛄?，則，①又因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，又平面的方程為，則②聯(lián)立①②可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由題意可知，直線過點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，直線過點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，則為平面內(nèi)一點(diǎn).設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以，平面的方程為即平面的方程為.（3）由集合可知，多面體與坐標(biāo)軸交于各點(diǎn)，，如圖所示，

可知四邊形為正方形，邊長，所以，正方形的面積為，而正四棱錐的高為，則，所以多面體的體積為.由集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體的各個(gè)面，點(diǎn)均滿足方程.可知平面的方程為，且該平面的一個(gè)法向量為，同理可知，平面的方程為，該平面的一個(gè)法向量為，平面的方程為，該平面的一個(gè)法向量為，所以.由對(duì)稱性可知，任意相鄰兩平面的夾角的余弦值都為.故多面體相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值為.綜上，的體積為，相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值為.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·四川雅安·期中）如圖，平行六面體的所有棱長均相等，且，則異面直線AC與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】利用基底表示，根據(jù)向量夾角公式求得正確答案.【詳解】設(shè)棱長為，以為基底，則，，，所以異面直線AC與所成角的余弦值為：.故選：A2．（24-25高二上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】由空間向量法可得出，即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離.故選：C.3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空間中的點(diǎn)，則到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．2【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】計(jì)算出，再用勾股定理計(jì)算．【詳解】，，，又，所以到直線AB的距離等于，故選：B．4．（24-25高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】異面直線距離的向量求法【分析】求出公垂線的一個(gè)方向向量，然后計(jì)算即得．【詳解】由已知，是公垂線的一個(gè)方向向量，則，取，得，又，所以異面直線與之間的距離為，故選：A．5．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可求得點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫?，，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接，則、，設(shè)，其中，所以，，則點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，因?yàn)?，所以，則.所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故選：A.6．（24-25高二上·河南許昌·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在線段上，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、求線面角、線面角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再根據(jù)向量夾角求出線面角的表達(dá)式，最后求利用函數(shù)性質(zhì)求其最大值.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長為，則，由在線段上，設(shè)，則.設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，則平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最小值，即取最大值，由，則的最大值為.所以直線與平面所成角的最大值為.故選：C.7．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點(diǎn)，，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、面面角的向量求法【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，可得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，得，則，則平面與平面夾角的余弦值為.故選：B8．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】異面直線距離的向量求法【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)到直線距離的最小值等于異面直線與的距離，進(jìn)而利用向量法求異面直線與的距離，從而可得面積的最小值.【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)到直線的距離最小時(shí)面積取得最小值,而點(diǎn)在線段上，直線與互為異面直線，因此點(diǎn)到直線距離的最小值等于異面直線與的距離.下面用向量法求異面直線與的距離：以D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，,,，，,設(shè)異面直線與公垂線的方向向量為，則，即，得，令，則，即，于是異面直線與的距離為，又，所以面積的最小值為.故選：B二、多選題9．（23-24高二下·江蘇常州·期中）直線的方向向量為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則平面平面C．若，則平面所成銳二面角的大小為D．若，則直線與平面所成角的大小為【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】直線方向向量的概念及辨析、平面法向量的概念及辨析、線面角的向量求法、面面角的向量求法【分析】由，則直線平面或，可判斷不正確；根據(jù)平面法向量的概念及空間角的求解方法，可判斷正確.【詳解】由，則直線平面或，故錯(cuò)誤；由，則平面平面，故正確；若，設(shè)平面和平面所成角為，且，則，所以平面所成銳二面角的大小為，故正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，且，所以直線與平面所成角的大小為，故正確.故選：.10．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖所示，在長方體中，分別在棱和上，，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線與所成角的余弦值為C．直線和平面所成角的正弦值為D．若為線段的中點(diǎn)，則直線平面【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面平行、異面直線夾角的向量求法、線面角的向量求法【分析】對(duì)于A，通過直線不平行于平面，即可判斷，對(duì)于BC，通過建系，借助向量計(jì)算即可，對(duì)于D,連接，交于點(diǎn)，通過即可判斷.【詳解】因?yàn)橛炙杂?，所以又，所以綜上可知：分別為所在棱的三等分點(diǎn)，由于直線不平行于平面，所以兩點(diǎn)到平面的距離不相等，所以兩個(gè)三棱錐的體積不相等，故A正確；對(duì)于B，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，則直線與所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，連接，則，又平面平面，從而平面，故D正確.故選：ABD三、填空題11．（24-25高二上·遼寧·期中）在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點(diǎn)，，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長度的最小值為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、異面直線距離的向量求法【分析】連接，，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立