概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答(第二版)李書剛編-科學出版社

7/7概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答〔第二版〕李書剛編，科學出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案〔僅供參考〕第一章第1頁(共79頁)第一章隨機事件及其概率1.寫出以下隨機試驗的樣本空間：〔1〕同時擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點數(shù)之和；〔2〕在單位圓內任意一點，記錄它的坐標；〔3〕10件產品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出為止，記錄抽取的次數(shù)；〔4〕測量一汽車通過給定點的速度.解所求的樣本空間如下〔1〕S={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}〔2〕S={(x,y)|x2+y20}2.設A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關系表示以下事件：〔1〕A發(fā)生，B和C不發(fā)生；〔2〕A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；〔3〕A、B、C都發(fā)生；〔4〕A、B、C都不發(fā)生；〔5〕A、B、C不都發(fā)生；〔6〕A、B、C至少有一個發(fā)生；〔7〕A、B、C不多于一個發(fā)生；〔8〕A、B、C至少有兩個發(fā)生.解所求的事件表示如下(1A)BC)BC(5A(7A)B(8A)B(2A)BC(6A)(3A)BC(4A)BCBACCACBCBC3．在某小學的學生中任選一名，假設事件A表示被選學生是男生，事件B表示該生是三年級學生，事件C表示該學生是運發(fā)動，那么〔1〕事件AB表示什么？〔2〕在什么條件下ABC=C成立？〔3〕在什么條件下關系式C?B是正確的？〔4〕在什么條件下A?B成立？解所求的事件表示如下〔1〕事件AB表示該生是三年級男生，但不是運發(fā)動.概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案〔僅供參考〕第一章第2頁(共79頁)〔2〕當全校運發(fā)動都是三年級男生時，ABC=C成立.〔3〕當全校運發(fā)動都是三年級學生時，關系式C?B是正確的.〔4〕當全校女生都在三年級，并且三年級學生都是女生時，A?B成立.4．設P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，試求P(AB)解由于A?B=A–AB,P(A)=0.7所以P(A?B)=P(A?AB)=P(A)??P(AB)=0.3,所以P(AB)=0.4,故P(AB)=1?0.4=0.6.485.對事件A、B和C，P(A)=P(B)＝P(C)＝1，P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=1求A、B、C中至少有一個發(fā)生的概率.解由于ABC?AB,P(AB)?0,故P(ABC)=0那么P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(BC)–P(AC)+P(ABC)11115????0?0??0?444886.設盒中有α只紅球和b只白球，現(xiàn)從中隨機地取出兩只球，試求以下事件的概率：A＝{兩球顏色相同}，B＝{兩球顏色不同}.解由題意，根本領件總數(shù)為Aa2?b，有利于A的事件數(shù)為Aa2?Ab2，有利于B的事件數(shù)為111111AaAb?AbAa?2AaAb,那么2Aa?Ab2P(A)?2Aa?b12AaAP(B)?2bAa?b17.假設10件產品中有件正品，3件次品,〔1〕不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；〔2〕每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解〔1〕設A={取得三件次品}那么33C3A316P(A)?3?或者P(A)?3?C10120A10720.〔2〕設B={取到三個次品},那么3327P(A)?3?101000.8.某旅行社100名導游中有43人會講英語，35人會講日語，32人會講日語和英語，9人會講法語、英語和日語，且每人至少會講英、日、法三種語言中的一種，求：〔1〕此人會講英語和日語，但不會講法語的概率；〔2〕此人只會講法語的概率.解設A={此人會講英語},B={此人會講日語},C={此人會講法語}根據題意,可得(1)P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?32?9?23100100100(2)P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?P(A?B)?0?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)9.罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子4顆黑子，假設從中任取3顆，求：概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案〔僅供參考〕第一章第3頁(共79頁)〔1〕取到的都是白子的概率；〔2〕取到兩顆白子，一顆黑子的概率；〔3〕取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率；〔4〕取到三顆棋子顏色相同的概率.解(1)設A={取到的都是白子}那么3C814P(A)?3??0.255.C1255(2)設B={取到兩顆白子,一顆黑子}1C82C4P(B)?3?0.509.C12(3)設C={取三顆子中至少的一顆黑子}P(C)?1?P(A)?0.745.(4)設D={取到三顆子顏色相同}33C8?C4P(D)??0.273.3C1210.〔1〕500人中，至少有一個的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日計算)？〔2〕6個人中，恰好有個人的生日在同一個月的概率是多少？解(1)設A={至少有一個人生日在7月1日},那么364500P(A)?1?P(A)?1??0.7465003651C64?C12?112P(B)??0.0073612(2)設所求的概率為P(B)11.將C，C，E，E，I，N，S7個字母隨意排成一行，試求恰好排成SCIENCE的概率p.解由于兩個C，兩個E共有A22A22種排法，而根本領件總數(shù)為A77，因此有12.從5副不同的手套中任取款4只，求這4只都不配對的概率.解要4只都不配對，我們先取出4雙，再從每一雙中任取一只，共有C54A={4只手套都不配對}，那么有C54?2480P(A)?4?210C10?24中取法.22A2Ap?72?0.000794A7設13.一實習生用一臺機器接連獨立地制造三只同種零件，第i只零件是不合格的概率為pi?11?i，i=1，2，3，假設以x表示零件中合格品的個數(shù)，那么P(x=2)為多少？11?i解設Ai={第i個零件不合格}，i=1,2,3,那么P(Ai)?pi?所以P(Ai)?1?pi?i1?iP(x?2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)由于零件制造相互獨立，有：P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案〔僅供參考〕第一章第4頁(共79頁)14.假設目標出現(xiàn)在射程之內的概率為0.7，這時射擊命中目標的概率為0.6，試求兩次獨立射擊至少有一次命中目標的概率p.解設A={目標出現(xiàn)在射程內}，B={射擊擊中目標}，Bi={第i次擊中目標},i=1,2.那么P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6另外B=B1+B2，由全概率公式P(B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A)?P(A)P((B1?B2)|A)另外,由于兩次射擊是獨立的,故P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36由加法公式P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此×0.84=0.58815.設某種產品50件為一批，如果每批產品中沒有次品的概率為0.35，有1，2，3，4件次品的概率分別為0.25,0.2,0.18,0.02，今從某批產品中抽取10件，檢查出一件次品，求該批產品中次品不超過兩件的概率.解設Ai={一批產品中有i件次品}，i=0,1,2,3,4,B={任取10件檢查出一件次品},C={產品中次品不超兩件},由題意P(B|A0)?019C1C491P(B|A1)??10C50519C2C4816P(B|A2)??10C504919C3C4739P(B|A3)??10C509819C4C46988P(B|A1)??10C502303由于A0,A1,A2,A3,A4構成了一個完備的事件組,由全概率公式P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.196i?04由Bayes公式P(A0)P(B|A0)?0P(B)P(A1)P(B|A1)P(A1|B)??0.255P(B)P(A2)P(B|A2)P(A2|B)??0.333P(B)P(A0|B)?故P(C)??P(Ai|B)?0.588i?0216.由以往記錄的數(shù)據分析，某船只運輸某種物品損壞2%，10%和90%的概率分別為0.8，概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案〔僅供參考〕第一章第5頁(共79頁)0.15，0.05，現(xiàn)在從中隨機地取三件，發(fā)現(xiàn)三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是多少〔這里設物品件數(shù)很多，取出一件后不影響下一件的概率〕.解設B={三件都是好的}，A1={損壞2%},A2={損壞10%},A1={損壞90%}，那么A1,A2,A3是兩兩互斥,且A1+A2+A3=Ω,P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05.因此有P(B|A1)=0.983,P(B|A2)=0.903,P(B|A3)=0.13,由全概率公式P(B)??P(Ai)P(B|Ai)i?13?0.8?0.983?0.15?0.903?0.05?0.103?0.8624由Bayes公式,這批貨物的損壞率為2%,10%,90%的概率分別為P(Ai)P(B|Ai)0.8?0.983P(A1|B)???0.8731P(B)0.8624P(Ai)P(B|Ai)0.15?0.903P(A2|B)???0.1268P(B)0.8624P(Ai)P(B|Ai)0.05?0.103P(A3|B)???0.0001P(B)0.8624由于P(A1|B)遠大于P(A3|B),P(A2|B),因此可以認為這批貨物的損壞率為0.2.17.驗收成箱包裝的玻璃器皿，每箱24只裝，統(tǒng)計資料說明，每箱最多有兩只殘次品，且含0，1和2件殘次品的箱各占80%，15%和5%，現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中4只；假設未發(fā)現(xiàn)殘次品，那么通過驗收，否那么要逐一檢驗并更換殘次品，試求：〔1〕一次通過驗收的概率α；〔2〕通過驗收的箱中確定無殘次品的概率β.解設Hi={箱中實際有的次品數(shù)},P(A|H0)?1,4C235P(A|H1)?4?,C2464C2295P(A|H2)?4?C24138i?0,1,2,A={通過驗收}那么P(H0)=0.8,P(H1)=0.15,P(H2)=0.05,那么有：(1)由全概率公式??P(A)??P