2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.2第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問學(xué)問點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖象定義域__R__值域__(0，＋∞)__性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1在R上是__減函數(shù)__在R上是__增函數(shù)__思索：(1)對于指數(shù)函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝(eq\f(1,3))x，…，為什么肯定過點(diǎn)(0,1)?(2)視察指數(shù)函數(shù)的圖象，思索：在下表中，？號處y的范圍是什么？底數(shù)x的范圍y的范圍a>1x>0？x<0？0<a<1x>0？x<0？提示：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，a0＝1(a≠0)恒成立，即指數(shù)函數(shù)的圖象肯定過點(diǎn)(0,1)．(2)底數(shù)x的范圍y的范圍a>1x>0y>1x<00<y<10<a<1x>00<y<1x<0y>1基礎(chǔ)自測1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是(C)(1)指數(shù)函數(shù)的圖象都在x軸的上方．(2)若指數(shù)函數(shù)y＝ax是減函數(shù)，則0<a<1.(3)對于隨意的x∈R，肯定有3x>2x.A．0 B．1C．2 D．3[解析]對于(1)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知正確．對于(2)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知正確．對于(3)，由y＝3x，y＝2x的圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，3x<2x，故(3)不正確．2．函數(shù)y＝(eq\r(3)－1)x在R上是(D)A．增函數(shù) B．奇函數(shù)C．偶函數(shù) D．減函數(shù)[解析]∵0<eq\r(3)－1<1，∴函數(shù)y＝(eq\r(3)－1)x在R上是減函數(shù)．3．函數(shù)y＝2－x的圖象是(B)[解析]函數(shù)y＝2－x＝(eq\f(1,2))x過點(diǎn)(0,1)，且在R上是減函數(shù)，故選B．4．函數(shù)y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是(B)A．[0,1] B．[－1,0]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析]∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，選B．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一指數(shù)函數(shù)的圖象例1如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是(B)A．a(chǎn)<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a(chǎn)<b<1<d<c[分析]依據(jù)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象間的關(guān)系來進(jìn)行推斷．[解析]可先分為兩類，(3)(4)的底數(shù)肯定大于1，(1)(2)的底數(shù)肯定小于1，然后再由(3)(4)比較，c，d的大小，由(1)(2)比較a，b的大?。?dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，圖象下降，且當(dāng)?shù)讛?shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故選B．[歸納提升]指數(shù)函數(shù)圖象的改變規(guī)律指數(shù)函數(shù)的圖象隨底數(shù)改變的規(guī)律可歸納為：在第一象限內(nèi)，圖象自下而上對應(yīng)的底數(shù)依次增大．【對點(diǎn)練習(xí)】?(1)如圖所示是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知a的值取eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，則相應(yīng)曲線C1，C2，C3，C4的a依次為(D)A．eq\f(4,3)，eq\r(2)，eq\f(1,5)，eq\f(3,10) B．eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，eq\r(2)，eq\f(4,3) D．eq\f(1,5)，eq\f(3,10)，eq\f(4,3)，eq\r(2)[解析]按規(guī)律，C1，C2，C3，C4的底數(shù)a依次增大，故選D．(2)若函數(shù)y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的圖象不經(jīng)過其次象限，則有(D)A．a(chǎn)＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1C．0＜a＜1且b＞0 D．a(chǎn)＞1且b≤0[解析]由函數(shù)圖象不過其次象限知a>1，且x＝0時(shí)，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故選D．題型二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題例2求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝2eq\s\up4(\f(1,x－4))；(2)y＝(eq\f(2,3))－|x|；(3)y＝eq\r(1－\f(1,2)x).[分析]定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值集合，值域是函數(shù)值的集合，依據(jù)定義域和函數(shù)的單調(diào)性求解．[解析](1)由題意知x－4≠0，所以x≠4，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R，x≠4}．因?yàn)閑q\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up4(\f(1,x－4))≠1，所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y>0，且y≠1}．(2)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閨x|≥0，所以y＝(eq\f(2,3))－|x|＝(eq\f(3,2))|x|≥(eq\f(3,2))0＝1，所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥1}．(3)由題意知1－(eq\f(1,2))x≥0，所以(eq\f(1,2))x≤1＝(eq\f(1,2))0，所以x≥0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0，x∈R}．因?yàn)閥關(guān)于x單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥0}．[歸納提升]1.函數(shù)單調(diào)性在求函數(shù)值域中的應(yīng)用(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(a)≤f(x)≤f(b)，值域?yàn)閇f(a)，f(b)]．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(a)≥f(x)≥f(b)，值域?yàn)閇f(b)，f(a)]．2．函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域．函數(shù)y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．(2)值域．①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．【對點(diǎn)練習(xí)】?求y＝(eq\f(1,3))eq\r(x－2)的定義域和值域．[解析]由x－2≥0，得x≥2，所以定義域?yàn)閧x|x≥2}．當(dāng)x≥2時(shí)，eq\r(x－2)≥0，又因?yàn)?＜eq\f(1,3)＜1，所以y＝(eq\f(1,3))eq\r(x－2)的值域?yàn)閧y|0＜y≤1}．題型三冪式大小的比較例3比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；(3)1.90.4,0.92.4；(4)(eq\f(4,5))eq\s\up4(\f(1,2))，(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,3)).[分析](1)(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；(3)借助中間量1進(jìn)行比較；(4)借助中間量(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,2))進(jìn)行比較．[解析](1)∵1.82.2,1.83可看作函數(shù)y＝1.8x的兩個(gè)函數(shù)值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上為增函數(shù)，又2.2<3，∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上為減函數(shù)，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.(4)∵eq\f(\f(4,5)eq\s\up4(\f(1,2)),\f(9,10)eq\s\up4(\f(1,2)))＝(eq\f(8,9))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(8,9))0＝1，∴(eq\f(4,5))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,2))，∵y＝(eq\f(9,10))x在R上為減函數(shù)，又eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，∴(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,3))，∴(eq\f(4,5))eq\s\up4(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up4(\f(1,3)).[歸納提升]比較指數(shù)式的大小應(yīng)依據(jù)所給指數(shù)式的形式，當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性法求解；當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)，利用一個(gè)中間量做比較進(jìn)行求解．或借助于同一坐標(biāo)系中的圖象求解．【對點(diǎn)練習(xí)】?比較下列每組中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)(eq\f(2,3))－0.5，(eq\f(3,4))－0.5；(4)1.70.3,0.93.1.[解析](1)考查指數(shù)函數(shù)y＝1.7x，由于底數(shù)1.7>1，∴指數(shù)函數(shù)y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)考查函數(shù)y＝0.8x，由于0<0.8<1，∴指數(shù)函數(shù)y＝0.8x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(2,3))x與y＝(eq\f(3,4))x的圖象，如圖所示，當(dāng)x＝－0.5時(shí)，視察圖象可得(eq\f(2,3))－0.5＞(eq\f(3,4))－0.5.(4)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.課堂檢測·固雙基1．函數(shù)f(x)＝πx與g(x)＝(\S]1,π\(zhòng)s)x的圖象關(guān)于(C)A．原點(diǎn)對稱 B．x軸對稱C．y軸對稱 D．直線y＝－x對稱[解析]設(shè)點(diǎn)(x，y)為函數(shù)f(x)＝πx的圖象上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)(－x，y)為g(x)＝π－x＝(eq\f(1,π))x的圖象上的點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－x，y)關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)＝πx與g(x)＝(eq\f(1,π))x的圖象關(guān)于y軸對稱，選C．2．若函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(\S]1,2\s,1) D．(－∞，1)[解析]由已知，得0<2a－1<1，則eq\f(1,2)<a<1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(eq\f(1,2)，1)．3．(2024·安徽合肥眾興中學(xué)高一期末測試)函數(shù)y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)(D)A．(0,1) B．(1,1)C．(2,0) D．(2,2)[解析]令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故選D．4．已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且f(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，則f(－2)＝__eq\f(1