2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計與概率5.4統(tǒng)計與概率的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-5.4統(tǒng)計與概率的應(yīng)用素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀利用統(tǒng)計和概率的學(xué)問解決日常生活和其他學(xué)科中的一些難題．通過統(tǒng)計與概率的應(yīng)用，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．必備學(xué)問·探新知概率的應(yīng)用學(xué)問點概率是描述隨機事務(wù)發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個常用的詞匯，任何事務(wù)的概率是0～1之間的一個數(shù)，它度量該事務(wù)發(fā)生的可能性．小概率事務(wù)(概率接近0)很少發(fā)生，而也許率事務(wù)(概率接近1)則常常發(fā)生．思索：用概率描述事物發(fā)生的可能性精確嗎？提示：概率是對未發(fā)生事務(wù)的估計，單獨對一個事務(wù)來說不肯定精確；但對大量事務(wù)來說，概率是有很強的勸服力的．關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型嬉戲的公允性┃┃典例剖析__■典例1某校高一年級(1)(2)班打算聯(lián)合實行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱情、好玩，策劃整場晚會以轉(zhuǎn)盤嬉戲的方式進(jìn)行，每個節(jié)目起先時，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤嬉戲，勝者獲得一件獎品，負(fù)者表演一個節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計了一種嬉戲方案：兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對雙方是否公允？為什么？[分析]分別計算嬉戲參加各方獲勝的概率，若相等，則公允，否則就不公允．[解析]該方案是公允的，理由如下：各種狀況如表所示：45671567826789378910由表可知該嬉戲可能出現(xiàn)的狀況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，機會是均等的，所以該方案對雙方是公允的．規(guī)律方法：嬉戲公允性的標(biāo)準(zhǔn)及推斷方法(1)嬉戲規(guī)則是否公允，要看對嬉戲的雙方來說獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公允，否則就是不公允的．(2)詳細(xì)推斷時，可以先求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．┃┃對點訓(xùn)練__■1．玲玲和倩倩是一對好摯友，她倆都想去觀看某明星的演唱會，可手里只有一張票，怎么辦呢？玲玲對倩倩說：“我向空中拋2枚同樣的一元硬幣，假如落地后一正一反，就我去；假如落地后兩面一樣，就你去！”你認(rèn)為這個嬉戲公允嗎？答：__公允__．[解析]兩枚硬幣落地共有四種結(jié)果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可見，她們兩人得到門票的概率是相等的，所以公允．題型概率在決策中的應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例2設(shè)有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球和1個黑球，乙箱有1個白球和99個黑球，今隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球．問這球是從哪一個箱子中取出的．[解析]甲箱中有99個白球和1個黑球，故隨機地取出一球，得白球的可能性是eq\f(99,100)；乙箱中有1個白球和99個黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100)，由此看出，這一白球從甲箱中抽取的概率比從乙箱中抽取的概率大得多．由極大似然法知，既然在一次抽樣中抽到白球，可以認(rèn)為是從概率大的箱子中抽取的．所以我們作出統(tǒng)計推斷該白球是從甲箱中抽取的．規(guī)律方法：在一次試驗中，概率大的事務(wù)比概率小的事務(wù)出現(xiàn)的可能性更大，這正是能夠利用極大似然法來進(jìn)行科學(xué)決策的理論依據(jù)．因此，在分析、解決有關(guān)實際問題時，要擅長敏捷地運用極大似然法這一思想方法來進(jìn)行科學(xué)的決策．┃┃對點訓(xùn)練__■2．同時向上拋100個銅板，結(jié)果落地時100個銅板朝上的面都相同，你認(rèn)為這100個銅板更可能是下面哪種狀況(A)A．這100個銅板兩面是一樣的B．這100個銅板兩面是不同的C．這100個銅板中有50個兩面是一樣的，另外50個兩面是不相同的D．這100個銅板中有20個兩面是一樣的，另外80個兩面是不相同的[解析]落地時100個銅板朝上的面都相同，依據(jù)極大似然法可知，這100個銅板兩面是一樣的可能性較大．題型統(tǒng)計與概率的應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例3為迎接第32屆東京奧運會，某班開展了一次“體育學(xué)問競賽”，競賽分初賽和決賽兩個階段進(jìn)行，在初賽后，把成果(滿分為100分，分?jǐn)?shù)均為整數(shù))進(jìn)行統(tǒng)計，制成如下的頻率分布表：序號分組(分?jǐn)?shù)段)頻數(shù)(人數(shù))頻率1[0,60)a0.12[60,75)150.33[75,90)25b4[90,100]cd合計501(1)求a，b，c，d的值；(2)若得分在[90,100]之間的有機會進(jìn)入決賽，已知其中男女比例為2∶3，假如一等獎只有兩名，求獲得一等獎的全部為女生的概率；(3)求本次競賽學(xué)生的平均分．[解析](1)a＝50×0.1＝5，b＝eq\f(25,50)＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1．(2)由(1)知c＝5，則得分在[90,100]之間的有五名學(xué)生，分別記為男1，男2，女1，女2，女3．事務(wù)“一等獎只有兩名”包含的全部事務(wù)為(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10個基本領(lǐng)件；事務(wù)“獲得一等獎的全部為女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3個基本領(lǐng)件．所以，獲得一等獎的全部為女生的概率為P＝eq\f(3,10)．(3)eq\o(x,\s\up6(－))＝0.1×30＋0.3×67.5＋0.5×82.5＋0.1×95＝3＋20.25＋41.25＋9.5＝74．┃┃對點訓(xùn)練__■3．下表是從某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高資料統(tǒng)計表．(單位：cm)區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人數(shù)58102233區(qū)間界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]人數(shù)201165(1)畫出頻率分布直方圖；(2)估計身凹凸于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．[分析](1)先依據(jù)表中數(shù)據(jù)求出各組的頻率，再畫頻率分布直方圖．(2)試估計500名12歲男孩中身凹凸于134cm的頻率．[解析](1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)列表如下.分組頻數(shù)頻率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合計1201.00畫出頻率分布直方圖，如圖所示．(2)因為樣本中身凹凸于134cm的人數(shù)的頻率為eq\f(5＋8＋10,120)＝eq\f(23,120)≈0.19，所以估計該校500名12歲男孩中身凹凸于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%．易錯警示┃┃典例剖析__■典例4元旦就要到了，某校欲實行聯(lián)歡活動，每班派一人主持節(jié)目，高二(1)班的小明、小華和小麗實力相當(dāng)，都爭著要去，班主任確定用抽簽的方式來確定，小強給小華出辦法，要小華先抽，說先抽的機會大，你是怎么認(rèn)為的？[錯解]這種說法正確．[辨析]在解題過程中，很簡潔誤認(rèn)為先抽獲獎的概率大，后抽獲獎的概率?。聦嵣显擃}是一個簡潔隨機抽樣問題，號簽“1”在每一次被抽到的概率都是相等的，不會因為抽取的依次而變更．[正解]取三張卡片，上面分別標(biāo)有1,2,3，抽到“1”就表示中簽．假設(shè)抽簽的次序為甲、乙、丙，則可