2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章基本初等函數(shù)Ⅰ3.1.2指數(shù)函數(shù)第1課時指數(shù)函數(shù)學(xué)案新人教B版必修1

PAGEPAGE1第1課時指數(shù)函數(shù)1．了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景．2．理解指數(shù)函數(shù)的概念及單調(diào)性．3．駕馭定義域、值域的求法及比較大小問題．1．指數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1，x∈R)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)．2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過定點過點(0，1)，即x＝0時，y＝1單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)1．函數(shù)y＝ax－1＋2017(a>0且a≠1)中，無論a取何值恒經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標為________．答案：(1，2018)2．指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝(eq\f(1,a))x的圖象關(guān)于________對稱．解析：關(guān)于y軸對稱．答案：y軸3．指出下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)．(1)y＝(－4)x；(2)y＝x4；(3)y＝(a2＋2)－x；(4)y＝2·3x＋a(a≠0);(5)y＝4x2．解：(1)y＝(－4)x，底數(shù)－4<0，故它不是指數(shù)函數(shù)；(2)y＝x4，指數(shù)為4而不是x，故它不是指數(shù)函數(shù)；(3)y＝(a2＋2)－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2＋2)))eq\s\up12(x)，底數(shù)eq\f(1,a2＋2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，前面系數(shù)為1，指數(shù)為自變量x，故它是指數(shù)函數(shù)；(4)y＝2·3x＋a(a≠0)，3x前面系數(shù)為2≠1，故它不是指數(shù)函數(shù)；(5)y＝4x2，底數(shù)是自變量，且前面系數(shù)為4，故它不是指數(shù)函數(shù)．指數(shù)函數(shù)的定義下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，且a≠1))；⑤y＝2×3x．【解】①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)．②中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)．③中底數(shù)a，只有規(guī)定a>0且a≠1時，才是指數(shù)函數(shù)；④因為a＞eq\f(1,2)且a≠1，所以2a－1＞0且2a－1≠1，所以y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，且a≠1))為指數(shù)函數(shù)．⑤中3x前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)．eq\a\vs4\al()推斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法(1)底數(shù)的值是否符合要求；(2)ax前的系數(shù)是否為1；(3)指數(shù)是否符合要求．1．若函數(shù)y＝a2(2－a)x是指數(shù)函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1或－1 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＞0且a≠1解析：選C．因為函數(shù)y＝a2(2－a)x是指數(shù)函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1,2－a＞0,2－a≠1))，即a＝－1．2．已知函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，則f(3)＝________．解析：設(shè)f(x)＝ax，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)得a－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(5),25)＝eq\f(5\s\up6(\f(1,2)),52)＝5－eq\f(3,2)，所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125．答案：125指數(shù)函數(shù)的定義域和值域求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－4))；(2)y＝(eq\f(2,3))－|x|．【解】(1)由x－4≠0，得x≠4．所以定義域為{x|x∈R，且x≠4}．因為eq\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up6(\f(1,x－4))≠1，所以y＝2eq\s\up6(\f(1,x－4))的值域為{y|y>0，且y≠1}．(2)定義域為R．因為|x|≥0，所以y＝(eq\f(2,3))－|x|的值域為{y|y≥1}．eq\a\vs4\al()函數(shù)y＝af(x)的定義域與值域的求法(1)形如y＝af(x)的函數(shù)的定義域就是f(x)的定義域．(2)形如y＝af(x)的值域，應(yīng)先求出f(x)的值域，再由函數(shù)的單調(diào)性求出af(x)的值域．若a的取值范圍不確定，則需對a進行分類探討．(3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再結(jié)合y＝f(u)確定出y＝f(ax)的值域．求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)y＝5eq\r(1－x)；(2)y＝eq\r(1－（\f(1,2)）x)．解：(1)因為1－x≥0，所以x≤1．令t＝eq\r(1－x)，所以t≥0．由y＝5t的圖象知，y≥1．所以y＝5eq\r(1－x)的定義域為{x|x≤1}．值域為{y|y≥1}．(2)因為1－(eq\f(1,2))x≥0，所以(eq\f(1,2))x≤1＝(eq\f(1,2))0．又因為y＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，所以x≥0．所以函數(shù)的定義域為{x|x≥0}．又因為0≤1－(eq\f(1,2))x<1，所以0≤y＝eq\r(1－（\f(1,2)）x)<1，函數(shù)的值域為[0，1)．指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用比較大小：(1)1．82．2，1．83；(2)0．7－0．3，0．7－0．4；(3)1．90．4，0．92．4；(4)(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))，(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3))．【解】(1)因為1．82．2，1．83可看作函數(shù)y＝1．8x的兩個函數(shù)值，因為1．8>1，所以y＝1．8x在R上為增函數(shù)，所以1．82．2<1．83．(2)因為y＝0．7x在R上為減函數(shù)，又因為－0．3>－0．4，所以0．7－0．3<0．7－0．4．(3)因為1．90．4>1．90＝1，0．92．4<0．90＝1，所以1．90．4>0．92．4．(4)因為eq\f(（\f(4,5)）\s\up6(\f(1,2)),（\f(9,10)）\s\up6(\f(1,2)))＝(eq\f(8,9))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(8,9))0＝1，所以(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,2))，因為y＝(eq\f(9,10))x在R上為減函數(shù)，又eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，所以(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3))，所以(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3))．eq\a\vs4\al()比較冪值大小的三種類型及處理方法比較大?。?1)1．72．5，1．73； (2)0．8－0．1，1．250．2；(3)1．70．3，0．93．1; (4)0．30．2，0．20．3．解：(1)因為函數(shù)y＝1．7x在R上是增函數(shù)，又因為2．5＜3，所以1．72．5＜1．73．(2)因為0．8－0．1＝(eq\f(1,0.8))0．1＝1．250．1，又因為1．250．1＜1．250．2，所以(0．8)－0．1＜1．250．2．(3)因為1．70．3＞1．70＝1，0．93．1＜0．90＝1，所以1．70．3＞0．93．1．(4)eq\f(0.30.2,0.20.2)＝(eq\f(0.3,0.2))0．2＝(eq\f(3,2))0．2＞1，所以0．30．2＞0．20．2，又因為0．20．2＞0．20．3，所以0．30．2＞0．20．3．1．指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征推斷一個函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)，關(guān)鍵是看解析是否符合y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)這一結(jié)構(gòu)形式．指數(shù)函數(shù)具有以下特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)，不含有自變量x；(2)指數(shù)位置是自變量x，且x的系數(shù)是1；(3)ax的系數(shù)是1．2．在指數(shù)函數(shù)y＝ax中規(guī)定a＞0且a≠1的緣由假如a＝0，當(dāng)x＞0時，ax恒等于0；當(dāng)x≤0時，ax無意義．假如a＜0，如y＝(－4)x，當(dāng)x取eq\f(1,4)，eq\f(1,2)等數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．假如a＝1，那么對于任何x∈R，y＝1x＝1是一個常數(shù)，對它就沒有探討的必要．求函數(shù)的值域時肯定要考慮定義域，否則易出錯.1．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝(－3)x B．y＝－3xC．y＝3x D．y＝2x＋1答案：C2．函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)的定義域是()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)解析：選A．要使函數(shù)有意義，則1－2x≥0，即2x≤20，可知x≤0．3．若aπ＜a3．1，則a的取值范圍是________．答案：0＜a＜14．求函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(x≤0)的值域．解：因為x≤0，eq\f(1,2)<1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝1，即函數(shù)的值域為[1，＋∞)．[A基礎(chǔ)達標]1．下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()①y＝xeq\s\up6(\f(2,3))；②y＝－4x；③y＝5·x－1；④y＝πx．A．0 B．1C．2 D．3解析：選B．只有④為指數(shù)函數(shù)．①不是指數(shù)函數(shù)，自變量不在指數(shù)上；②4x的系數(shù)為－1；③自變量不在指數(shù)上．2．已知集合A＝{y|y＝31－x，x∈R}，B＝{x|1≤x≤4}，則()A．A∩B＝? B．A∩B＝[1，3]C．A∪B＝(0，＋∞) D．A∩B＝(0，4]解析：選C．由題意知，A＝(0，＋∞)，又B＝[1，4]，所以A∩B＝[1，4]，A∪B＝(0，＋∞)．3．若a＝40．9，b＝80．48，c＝0．5－1．5則()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．a(chǎn)>c>b解析：選D．a(chǎn)＝40．9＝21．8，b＝21．44，c＝21．5，又y＝2x在R上是增函數(shù)，所以a>c>b，故選D．4．函數(shù)y＝(eq\f(1,2))eq\r(x2－1)的值域是()A．(－∞，0) B．(0，1]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]解析：選B．由于eq\r(x2－1)≥0，且y＝(eq\f(1,2))x是減函數(shù)，故值域為(0，1]．5．若函數(shù)y＝(1－2a)x是實數(shù)集R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：選B．由題意知，此函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且為實數(shù)集R上的增函數(shù)，所以底數(shù)1－2a>1，解得a<0．6．若指數(shù)函數(shù)y＝(m2＋m＋1)(eq\f(1,5))x，則m的值是______．解析：由題意知，m2＋m＋1＝1，則m2＋m＝0，所以m＝0或m＝－1．答案：0或－17．f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值之和為6，則a＝________．解析：由于f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，故其最大值與最小值之和為a2＋a＝6，解得a＝－3(舍去)，或a＝2，所以a＝2．答案：28．已知函數(shù)f(x)滿意：對隨意實數(shù)x1<x2，有f(x1)<f(x2)，且f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，寫出滿意這些條件的一個函數(shù)為________．解析：由題意知，f(x)為增函數(shù)且滿意指數(shù)冪的運算性質(zhì)，所以此函數(shù)可認為是指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)．答案：f(x)＝2x(答案不唯一)9．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點M(3，8)，求f(4)、f(－4)的值．解：設(shè)指數(shù)函數(shù)是y＝ax(a>0，a≠1)，則有8＝a3，所以a＝2，所以y＝2x．從而f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝eq\f(1,16)．10．設(shè)a>0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．解：令t＝ax(a>0且a≠1)，則原函數(shù)可化為y＝(t＋1)2－2(t>0)．令y＝f(t)，則函數(shù)f(t)＝(t＋1)2－2的圖象的對稱軸為直線t＝－1，開口向上．①當(dāng)0<a<1時，x∈[－1，1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，此時，f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上為增函數(shù)，所以f(t)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)－2＝14．所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)＝16，所以a＝－eq\f(1,5)或a＝eq\f(1,3)．又因為a>0，所以a＝eq\f(1,3)．②當(dāng)a>1時，x∈[－1，1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，此時f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上是增函數(shù)，所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14．解得a＝3(a＝－5舍去)．所以a＝eq\f(1,3)或a＝3．[B實力提升]11．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2，1)，則f(x)的值域為()A．[9，81] B．[3，9]C．[1，9] D．[1，＋∞)解析：選C．因為函數(shù)f(x)＝3x－b的圖象經(jīng)過點(2，1)，所以32－b＝1，所以2－b＝0，b＝2，所以f(x)＝3x－2．由2≤x≤4得0≤x－2≤2，所以30≤3x－2≤32，即1≤3x－2≤9，所以函數(shù)f(x)的值域是[1，9]．12．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝2x＋ax，且2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，則a＝________．解析：因為f(x)是R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝2x＋ax，所以x<0時，f(x)＝－2－x＋ax，f(0)＝0．再由2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，得2×(23＋3a)＝4×(22＋2a)＋(－2－a)，解得a＝2．答案：213．求函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,4))x－(eq\f(1,2))x＋1，x∈[－3，2]的值域．解：f(x)＝[(eq\f(1,2))x]2－(eq\f(1,2))x＋1．因為x∈[－3，2]，所以(eq\f(1,2))2≤(eq\f(1,2))x≤(eq\f(1,2))－3．即eq\f(1,4)≤(eq\f(1,2))x≤8．設(shè)t＝(eq\f(1,2))x，則eq\f(1,4)≤t≤8．原函數(shù)可化為f(t)＝t2－t＋1，t∈[eq\f(1,4)，8]．因為f(t)＝(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，所以f(eq\f(1,2))≤f(t)≤f(8)．所以eq\f(3,4)≤f(t)≤57，故函數(shù)的值域為[eq\f(3,4)，57]．14．(選做題)