福建省寧德市頂頭中學高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析

福建省寧德市頂頭中學高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術(shù)》中有“今有五人分無錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”．其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”這個問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢參考答案：B【考點】84：等差數(shù)列的通項公式．【分析】依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由題意求得a=﹣6d，結(jié)合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，則答案可求．【解答】解：依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，則由題意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，則a﹣2d=a﹣2×（﹣）=a=，∴甲所得為錢，故選：B．2.一組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．11.5和12 B．11.5和11.5 C．11和11.5 D．12和12參考答案：A【考點】莖葉圖．【分析】先從莖葉圖中讀取數(shù)據(jù)，然后將這組數(shù)據(jù)從小到大排序，個數(shù)是偶數(shù)個取最中間兩個數(shù)取平均數(shù)即為中位數(shù)，最后利用平均數(shù)公式可求出所求．【解答】解：根據(jù)莖葉圖可知這組數(shù)據(jù)為9，7，17，11，16，14，10，12，將這組數(shù)據(jù)從小到大排序得7，9，10，11，12，14，16，17，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為=11.5，平均數(shù)為（7+9+10+11+12+14+16+17）=12．故選：A．3.如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=1，OB=，等邊△EFG三個頂點分別在△AOB的三邊上運動，則△EFG面積的最小值為（）A． B． C．D．參考答案：D【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】設(shè)等邊三角形的邊長為t，結(jié)合幾何關(guān)系得到面積函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最小值．【解答】解：設(shè)△EFG的邊長為t，∠OEF=θ，則∠AGE=θ，∠EAO=60°，OE=tcosθ，，∴，所以，且：，其中，當sin（θ+φ）=1時，△EFG取得面積的最小值．故選：D．4.已知=（﹣2，1，3），=（﹣1，2，1），若⊥（﹣λ），則實數(shù)λ的值為（）A．﹣2 B． C． D．2參考答案：D【考點】MA：向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【分析】求出向量，利用，向量的數(shù)量積為0，求出λ的值即可．【解答】解：因為，，所以，由，所以，得﹣2（λ﹣2）+1﹣2λ+9﹣3λ=0?λ=2，故選D．5.已知拋物線C1：y=x2，曲線C2與C1關(guān)于點對稱，則曲線C2的方程是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A6.x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，則x+y的取值范圍為（）A．[﹣2，0] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．（0，2）參考答案：B【考點】絕對值三角不等式．【分析】根據(jù)絕對值的意義，|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值為2，再根據(jù)條件可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此時，0≤x≤1，0≤y≤1，從而求得x+y的范圍．【解答】解：解：根據(jù)絕對值的意義可得|x|+|x﹣1|表示數(shù)軸上的x對應點到0、1對應點的距離之和，其最小值為1；|y|+|y﹣1|表示數(shù)軸上的y對應點到0、1對應點的距離之和，其最小值為1；故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值為2．再根據(jù)|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此時，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2，故選：B．7.經(jīng)過函數(shù)y=﹣圖象上一點M引切線l與x軸、y軸分別交于點A和點B，O為坐標原點，記△OAB的面積為S，則S=（）A．8 B．4 C．2 D．1參考答案：B【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】利用導數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標軸交于A，B兩點的坐標，繼而可求△OAB的面積．【解答】解：設(shè)M（x0，y0）為曲線y=﹣上任一點，則y0=﹣．∵y=﹣，∴y′=，設(shè)過曲線y=﹣上一點M的切線l的斜率為k，則k=，∴切線l的方程為：y+=（x﹣x0），∴當x=0時，y=﹣，即B（0，﹣）；當y=0時，x=2x0，即A（2x0，0）；∴S△OAB=|OA|?|OB|=×|2x0|?|﹣|=4．故選：B．8.在處有極小值，則常數(shù)c的值為（

）A．2

B．6

C.2或6

D．1參考答案：A函數(shù)，∴，又在x=2處有極值，∴f′(2)=12?8c+=0，解得c=2或6，又由函數(shù)在x=2處有極小值，故c=2，c=6時,函數(shù)在x=2處有極大值，故選：A.

9.已知等差數(shù)列{an}滿足a6+a10=20，則下列選項錯誤的是(

) A．S15=150 B．a(chǎn)8=10 C．a(chǎn)16=20 D．a(chǎn)4+a12=20參考答案：C考點：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用等差數(shù)列的通項的性質(zhì)，可得結(jié)論．解答： 解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正確；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正確；a6+a10≠a16，即C錯誤a4+a12=a6+a10=20，即D正確．故選：C．點評：本題考查等差數(shù)列的通項的性質(zhì)，考查學生的計算能力，正確運用等差數(shù)列的通項的性質(zhì)是關(guān)鍵．10.點P是曲線x2－y－2ln＝0上任意一點，則點P到直線4x＋4y＋1＝0的最短距離是(

)A.(1－ln2)

B.(1＋ln2)

C.

D.(1＋ln2)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定積分__________．參考答案：【分析】根據(jù)定積分的幾何意義求出，再由微積分基本定理求出，進而可得出結(jié)果.【詳解】因為表示圓面積的，所以；又，所以.故答案為【點睛】本題主要考查求定積分的問題，熟記定積分的幾何意義，以及微積分基本定理即可，屬于常考題型.12.底面直徑和高都是2cm的圓柱的側(cè)面面積為______cm2.參考答案：、4π13.若正數(shù)x，y滿足2x+y﹣3=0，則+的最小值為．參考答案：3【考點】基本不等式．【分析】利用“乘1法”基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：，當且僅當x=y=1時取等號．所以的最小值為3．故答案為：314.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是

。參考答案：-15

15.關(guān)于曲線C：，給出下列五個命題：①曲線C關(guān)于直線y=x對稱；②曲線C關(guān)于點對稱；③曲線C上的點到原點距離的最小值為；④當時，曲線C上所有點處的切線斜率為負數(shù)；⑤曲線C與兩坐標軸所圍成圖形的面積是.上述命題中，為真命題的是_____.（將所有真命題的編號填在橫線上）參考答案：①③④⑤【分析】對每一個命題逐一分析判斷得解.【詳解】對于①：曲線方程為，交換，的位置后曲線方程不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，故該命題是真命題；對于②：在第一象限內(nèi)，因為點，在曲線上，由圖象可知曲線在直線的下方，且為凹函數(shù)如圖，所以曲線C不關(guān)于點對稱，故該命題是假命題；對于③：的最小值為，故該命題是真命題；對于④：因為函數(shù)為凹函數(shù)，所以當，1時，曲線上所有點處的切線斜率為負值，所以該命題是真命題；對于⑤：曲線與兩坐標軸所圍成圖形的面積設(shè)為，則，故該命題正確.故答案為：①③④⑤【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的對稱問題，考查定積分的計算，考查函數(shù)的最值的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16.直線（t為參數(shù)）上與點距離為5，且在點P下方的點的坐標為____.參考答案：試題分析：，，在點下方，，，，所以所求點的坐標為.考點：參數(shù)方程.17.已知橢圓(a＞b＞0)的三個頂點B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦點F（c，0），且B1F⊥AB2，則橢圓的離心率為．參考答案：

【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】利用已知條件列出方程，通過橢圓的幾何量的關(guān)系求解橢圓的離心率即可．【解答】解：橢圓的三個頂點B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦點F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）當a＜2時，函數(shù)f（x）的最小值為3，求實數(shù)a的值．參考答案：【考點】R4：絕對值三角不等式；R5：絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由絕對值的幾何意義知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）當a＜2時，（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，利用函數(shù)f（x）的最小值為3，求實數(shù)a的值．【解答】解：（Ⅰ）由題f（x）≤2﹣|x﹣1|，即為．而由絕對值的幾何意義知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴實數(shù)a的取值范圍．﹣﹣（Ⅱ）函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零點為和1，當a＜2時知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如圖可知f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，得a=﹣4＜2（合題意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求的最小正周期及其單調(diào)減區(qū)間；（2）當時，求的值域參考答案：解：

……………3分(1)函數(shù)的最小正周期．……4分

的單調(diào)減區(qū)間即是函數(shù)+1的單調(diào)增區(qū)間…5分由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，當，即時，函數(shù)+1為單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，．

…………..7分(2)因為，所以，…8分所以…10分所以，…

11分

所以的值域為[-1，1]．..12分20.已知等比數(shù)列的公比，是和的一個等比中項，和的等差中項為，若數(shù)列滿足（）．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．參考答案：解：（Ⅰ）因為是和的一個等比中項，所以．由題意可得因為，所以．解得所以．故數(shù)列的通項公式．（Ⅱ）由于（），所以．

．

①．

②①-②得．所以略21.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過點作斜率為的直線交橢圓于、兩點.若的值與點的位置無關(guān)，求的值.參考答案：(1)由題設(shè)可知，所以，故所求橢圓方程為.

……………5分

（2）設(shè)直線的方程為.，聯(lián)立直線與橢圓的方程，

即得,則,