2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量在幾何物理中的應(yīng)用舉例課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊

6.2平面對量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(多選)點P是△ABC所在平面內(nèi)一點,滿意|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,則△ABC的形態(tài)不行A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解析因為P是△ABC所在平面內(nèi)一點,且|PB-PC|-|PB+PC-2所以|CB|-|(PB-PA)+(PC-PA即|CB|=|AC+AB所以|AB-AC|=|AC+AB|,兩邊平方并化簡得AC·所以∠A=90°,則△ABC肯定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故不行能是鈍角三角形,等邊三角形.故選AD.答案AD2.在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列等式不成立的是()A.|B.|C.|D.|解析AC·AB=AC·(=AC2=|AC|2,A是正確的,同理B也正確AC·CD=|AC|·|CD|cos∠ACD=|CD|2,故C又(=|AC|×|BC||AB故D正確.答案C3.兩個大小相等的共點力F1、F2,當(dāng)它們的夾角為90°時,合力大小為20N,當(dāng)它們的夾角為120°時,合力大小為()A.40N B.102NC.202N D.402N解析如圖,以F1,F2為鄰邊作平行四邊形,F為這兩個力的合力.由題意,易知|F|=2|F1|,|F|=20N,所以|F1|=|F2|=102N.當(dāng)它們的夾角為120°時,以F1,F2為鄰邊作平行四邊形,此平行四邊形為菱形,此時|F合|=|F1|=102N.答案B4.(2024天津高考模擬)已知點O是△ABC內(nèi)一點,滿意OA+2OB=mOC,S△AOBS△ABCA.2 B.-2C.4 D.-4解析由OA+2OB=mOC,得13設(shè)m3OC=OD,則13OA+23如圖所示.因為OC與OD所以|OD所以S△解得m=-4.故選D.答案D5.(2024北京高考模擬)如圖,在菱形ABCD中,∠B=π3,AB=4(1)若P為BC的中點,則PA·PB=(2)點P在線段BC上運動,則|PA+PB|的最小值為解析(1)在菱形ABCD中,∠B=π3,AB=4,P為BC的中點所以BP=2,AP=23,所以AP2+BP2=AB2,即AP⊥BP,則PA·PB=(2)點P在線段BC上運動,可設(shè)BP=x(0≤x≤4),M為AB中點,則|PA+PB|=2|PM在△BPM中,|PM|2=22+x2-2×2x×12=x2-2x+4=(x-1)2+當(dāng)x=1時,PM有最小值3,即|PA+PB|=2|PM|的最小值為2答案(1)0(2)236.(2024山東東明第一中學(xué)高一期末)已知向量a,b滿意|a|=2,|b|=3,且(a+b)2=1.(1)求<a,b>;(2)在△ABC中,若AB=a,AC=b,求|BC|.解(1)因為(a+b)2=a2+b2+2a·b=22+(3)2+2a·所以a·b=-3,所以cos<a,b>=a·b|又夾角在[0,π]上,所以<a,b>=5π(2)因為BC=AC-AB=所以|BC|2=(b-a)2=b2+a2-2b·a=(3)2+22-2所以BC邊的長度為|BC|=13.實力提升練1.已知作用在點A的三個力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),則合力F=F1+F2+F3的終點坐標(biāo)為()A.(9,1) B.(1,9)C.(9,0) D.(0,9)解析F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),設(shè)合力F的終點為P(x,y),則OP=OA+F=(1,1)+(8,0)=答案A2.(2024山東高考模擬)已知在△ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.點P為BC邊上的動點,則PC·(PA+PB+A.2 B.-34 C.-2 D.-解析以BC的中點為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a,0)(-1≤a≤1),A(x,y)(y≠0),由BA·BC可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,則PC·(PA+=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3(a當(dāng)a=16時,PC·(PA+PB+PC)的最小值為-答案D3.某人從點O向正東方向走30m到達(dá)點A,再向正北方向走303m到達(dá)點B,則此人的位移的大小是m,方向是東偏北.

解析如圖所示,此人的位移是OB=OA+AB則|OB|=|OA|tan∠BOA=3.所以∠BOA=60°.答案6060°4.(2024天津中學(xué)高三月考)如圖所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,點D是BC的中點,且M點在△ACD的內(nèi)部(不含邊界),若AM=13AB+mAC,則DM解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因為D為BC中點,AB=AC=3,所以D32,3A(0,0),B(3,0),C(0,3),則AM=1=13(3,0)+m(0,3)=(1,3m則M點的坐標(biāo)為(1,3m).又因為M點在△ACD的內(nèi)部(不含邊界),所以1<3m<2,即13<m<2則DM·BM=-12,3m-32·(-2,3=1+3m3m-32=9m2-92m+1=9(m因為13<m<23,所以DM·BM∈1答案12,25.如圖,用兩根繩子把重10kg的物體W吊在水平桿AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°.求A和B處所受力的大小.(忽視繩子重量)解設(shè)A,B處所受力分別為F1,F2,10kg的重力用F表示,則F1+F2+F=0.以重力作用點C為F1,F2的始點,作平行四邊形CFWE,使CW為對角線,則CF=-F2,CE=-F1,CW=F.∠ECW=180°-150°=30°,∠FCW=180°-120°=60°,∠FCE=90°,所以四邊形CEWF為矩形.所以|CE|=|CW|cos30°=53,|CF|=|CW|cos60°=5.即A處所受的力為53kg,B處受力為5kg.素養(yǎng)培優(yōu)練(2024首都師范高校附屬中學(xué)高一期末)延長正方形ABCD的邊CD至E,使得DE=CD.若動點Ρ從點Α動身,沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到Α點,若ΑΡ=λΑΒ+μΑΕ,下列推斷正確的是()A.滿意λ+μ=2的點Ρ必為ΒC的中點B.滿意λ+μ=1的點Ρ有且只有一個C.λ+μ的最小值不存在D.λ+μ的最大值為3解析設(shè)正方形的邊長為1,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,所以A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(-1,1),則AB=(1,0),AE=(-1,1),設(shè)AP=(a,b)(0≤a≤1,0≤b≤1),由ΑΡ=λΑΒ+μΑΕ,得(a,b)=λ(1,0)+μ(-1,1),(a,b)=(λ-μ,μ),所以a當(dāng)P在線段AB上時,0≤a≤1,b=0,此時μ=0,λ=a,此時λ+μ=a,所以0≤λ+μ≤1;當(dāng)P在線段BC上時,a=1,0≤b≤1,此時μ=b,λ=a+μ=1+b,即λ+μ=1+2b,所以1≤λ+μ≤3;當(dāng)P在線段CD上時,0≤a≤1,b=1,此時μ=1,λ=a+μ=a+1,此時λ+μ=a+2,所以1≤λ+μ≤3;當(dāng)P在線段DA上時,a=0,