2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章統(tǒng)計與概率5.3.3古典概型訓練含解析新人教B版必修第二冊

PAGE7-第五章5.35.3.3請同學們仔細完成[練案19]A級基礎鞏固一、選擇題1．從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(8,25) D．eq\f(9,25)[解析]設5名學生分別為甲、乙、丙、丁、戊，從甲、乙、丙、丁、戊5人中選2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10種狀況，其中甲被選中的狀況有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4種，所以甲被選中的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．2．從1、2、3、4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的肯定值為2的概率是(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]從1、2、3、4中任取2個不同的數(shù)有以下六種狀況：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，滿意取出的2個數(shù)之差的肯定值為2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．3．有五條線段，長度分別為1,3,5,7,9.從這五條線段中任取三條，則所取三條線段不能構(gòu)成一個三角形的概率為(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(7,10)C．eq\f(3,10) D．eq\f(9,10)[解析]從這五條線段中任取三條，全部基本領件為(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共10個，其中不能構(gòu)成三角形的有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,9)，共7個，所以所取三條線段不能構(gòu)成一個三角形的概率為eq\f(7,10)．4．在第1、3、4、5、8路公共汽車都要?？康囊粋€站(假定這個站只能停靠一輛汽車)，有一位乘客等候第4路或第8路汽車．假定當時各路汽車首先到站的可能性相等，則首先到站正好是這位乘客所需乘的汽車的概率等于(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,5)[解析]由題知，在該問題中基本領件總數(shù)為5，一位乘客等車這事務包含2個基本領件，故所求概率為P＝eq\f(2,5)．5．某學校食堂推出兩款實惠套餐，甲、乙、丙三位同學各從中任選一款，則三人恰好選擇同一款套餐的概率為(C)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)[解析]設兩款實惠套餐分別為A，B，甲、乙、丙三位同學各從中任選一款套餐，列舉基本領件如圖所示．可得三人恰好選擇同一款套餐的概率為eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)．二、填空題6．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若從中隨機摸出兩只球，則它們的顏色不同的概率是__eq\f(1,2)__．[解析]記3只白球分別為A、B、C,1只黑球為m，若從中隨機摸出兩只球有AB、AC、Am、BC、Bm、Cm有6種結(jié)果，其中顏色不同的結(jié)果為Am、Bm、Cm有3種結(jié)果，故所求概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)．7．4張卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為__eq\f(2,3)__．[解析]由題意知，基本領件空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，記“取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)”為事務A，∴A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)．8．從集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，從集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為__eq\f(1,3)__．[解析]點P(m，n)的全部結(jié)果有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6種狀況，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，屬于古典概型，記“點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部”為事務A即m2＋n2＜9，則A包含的結(jié)果有(2,1)，(2,2)共2種∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．三、解答題9．下列概率模型是古典概型嗎？為什么？(1)從區(qū)間[1,10]內(nèi)隨意取出一個實數(shù)，求取到實數(shù)2的概率；(2)向上拋擲一枚不勻稱的舊硬幣，求正面朝上的概率；(3)從1,2,3，…，100這100個整數(shù)中隨意取出一個整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率．[解析](1)不是古典概型，因為區(qū)間[1,10]中有無限多個實數(shù)，隨意取出一個實數(shù)有無限多種結(jié)果，與古典概型定義中“全部可能結(jié)果只有有限個”沖突．(2)不是古典概型，因為硬幣不勻稱導致“正面對上”與“反面對上”的概率不相等，與古典概型定義中“每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”沖突．(3)是古典概型，因為在試驗中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，而且每個整數(shù)被抽到的可能性相等．10．A、B兩個箱子分別裝有標號為0,1,2的三種卡片，每種卡片的張數(shù)如表所示．標號張數(shù)箱012A213B212(1)從A，B箱中各取1張卡片，用x表示取出的2張卡片的數(shù)字之積，求x＝2的概率；(2)從A，B箱中各取1張卡片，用y表示取出的2張卡片的數(shù)字之和，求x＝0且y＝2的概率．[解析]記A箱中標號為0的2張為A01，A02，標號為1的1張為A11，標號為2的3張為A21，A22，A23；B箱中標號為0的2張為B01，B02，標號為1的1張為B11，標號為2的2張為B21，B22．則從A，B箱中各取一張卡片全部樣本空間Ω＝{A01B01，A01B02，A01B11，A01B21，A01B22，A02B01，A02B02，A02B11，A02，B21，A02B22，A11B01，A11B02，A11B11，A11B21，A11B22，A21B01，A21B02，A21B11，A21B21，A21B22，A22B01，A22B02，A22B11，A22B21，A22B22，A23B01，A23B02，A23B11，A23B21，A23B22}共30個基本領件．(1)記事務C為“從A，B箱中各取1張卡片，2張卡片的數(shù)字之積等于2”則C包含5個基本領件，即A11B21，A11B22，A21B11，A22B11，A23B11，由古典概型的概率公式得P(C)＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)．(2)記事務D為“從A，B箱中各取1張卡片，其數(shù)字之和為2且積為0”，則包含A01B21，A01B22，A21B01，A21B02，A22B01，A22B02，A23B01，A23B02，A02B21，A02B22共10個基本領件，則P(D)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有1件次品的概率為(B)A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1[解析]5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，有10種，分別是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6種，分別是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，設事務A＝“恰有一件次品”，則P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6，故選B．2．有3個愛好小組，甲、乙兩位同學各自參與其中一個小組，每位同學參與各個小組的可能性相同，則這兩位同學參與同一個愛好小組的概率為(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]記3個愛好小組分別為1,2,3，甲參與1組記為“甲1”，則基本領件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9個．記事務A為“甲、乙兩位同學參與同一個愛好小組”，其中事務A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)．3．有一對酷愛運動的年輕夫婦給他們12個月大的嬰兒拼排3塊分別寫有“20”，“12”和“倫敦”的字塊，假如嬰兒能夠排成“2012倫敦”或者“倫敦2012”，則他們就給嬰兒嘉獎．假設嬰兒能將字塊挨著正排，那么這個嬰兒能得到嘉獎的概率是(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]3塊字塊的排法為“2012倫敦”，“20倫敦12”，“1220倫敦”，“12倫敦20”，“倫敦2012”，“倫敦1220”，共6種，嬰兒能得到嘉獎的狀況有2種，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．4．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)·ex＋b為減函數(shù)的概率是(C)A．eq\f(3,10) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[解析]由題意知a，b的組合共有10種，函數(shù)f(x)＝(a2－2)·ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿意題意，又b∈{3,5}，所以當a＝0時，b可取3,5；當a＝1時，b可取3,5，滿意題意的組合有4種，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選C．二、填空題5．連續(xù)擲3枚硬幣，視察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是__eq\f(1,8)__；“至少有2枚反面朝上”的概率是__eq\f(1,2)__．[解析]基本領件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8個，“恰好3枚正面都朝上”包含1個基本領件，其概率P1＝eq\f(1,8)，“至少有2枚反面朝上”包含4個基本領件，其概率P2＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)．6．在平面直角坐標系中，從五個點A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是__eq\f(4,5)__．[解析]如下圖所示，則從這五點中任取三點的全部結(jié)果為：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE，共10個．而事務M“任取三點構(gòu)不成三角形”只有ACE、BCD2個，故構(gòu)成三角形的概率P(eq\x\to(M))＝1－P(M)＝1－eq\f(2,10)＝eq\f(4,5)．三、解答題7．一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1、2、3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a、b、C．(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a、b、c不完全相同”的概率．[解析](1)由題意，(a，b，c)全部的可能為(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)、(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共27種．設“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”為事務A，則事務A包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)．因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9)．(2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事務B，則事務eq\x\to(B)包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3種．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)．因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9)．8．袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1,2,3；藍色卡片兩張，標號分別為1,2；現(xiàn)從袋中任取兩張卡片．(1)若把所取卡片的全部不同狀況作為基本領件，則共有多少個基本領件？是古典概型嗎？(2)若把所取出卡片的標號之和作為基本領件，則共有多少個基本領件？是古典概型嗎？(3)求所取卡片標號之和小于4的概率．[解析](1)樣本空間為Ω＝{(紅1，紅2)，(紅1，紅