2024-2025學(xué)年吉林省長春市吉大附中實驗學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長春市吉大附中實驗學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.滿足{0}?M?{?1,0,1}的集合M的個數(shù)為(

)A.3 B.4 C.7 D.82.雙曲線(2x+y)(A.y=±2x B.y=±2x C.y=±x3.若圓臺上、下底的面積分別為π，4π，高為2，則圓臺的側(cè)面積為(

)A.143π B.7π3 C.34.已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+x+1A.(?3,3) B.(?5.某校為了宣傳青少年身心健康的重要性，隨機抽查了高一、高二、高三的100名同學(xué)進行了跑步測試，按照最終測試成績的分?jǐn)?shù)進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計該100名同學(xué)測試得分的上四分位數(shù)為(

)A.82.5 B.81 C.80 D.79.56.在平行四邊形ABCD中，已知E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點，直線BE，CF交于O，若AB=a,AD=A.12a+34b B.37.記首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且{Snn}是以2A.100101 B.51100 C.491008.三棱錐A1?ABC中，A1A=BC，D為BC中點，且AD⊥BC，A1D⊥BC，△ABC和△A1BCA.13 B.32 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z1=i40?i，(1?2i)z2=i?3，若a，b∈RA.|z1|=2 B.z2的虛部為?i10.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，f(?π12)=3，f(0)=332A.ω=2

B.φ=2π3

C.f(x?π6)為奇函數(shù)

D.當(dāng)f(x)在11.已知O為坐標(biāo)原點，拋物線M：y2=2px(p>0)，N：y2=2qx(q>0)，p≠q，點A，B分別在M，N上(均異于點O)，M，N的焦點分別為F1，F(xiàn)2A.λ≠1 B.當(dāng)λ=2時，p=2q

C.pS△ABF三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.記Sn為正項等比數(shù)列{an}的前n項和，且a1=1，13.若α∈(0,π4)，且sinα，cosα是5x2?7x+14.已知函數(shù)f(x)=e3x?aex四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知c=1，a=2，B=π3，D為△ABC外接圓O上一點(A、B、C、D按逆時針方向排列)．

(1)求b及圓O的半徑；

(2)求四邊形ABCD16.(本小題12分)

在一次聚會臨近結(jié)束時，公司通過摸球抽獎的方式對優(yōu)秀員工發(fā)放獎金.先在一個密閉不透光的箱子中裝入6個標(biāo)有一定金額的球(除標(biāo)注的金額不同外，其余均相同)，其中標(biāo)注的金額為500元、1000元、1500元的球分別有1個、2個、3個，每個優(yōu)秀員工每次從箱子中隨機摸出1個球，記下摸出的球上的金額數(shù)，摸m次.規(guī)定：摸出的球上所標(biāo)注的金額之和為其所獲得的獎金總金額．

(1)若m=1，設(shè)第一個摸球的優(yōu)秀員工獲得的金額ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若m=2，采用有放回方式摸球，設(shè)事件X=“一個優(yōu)秀員工獲得的總金額不超過2500元”，事件Y=“一個優(yōu)秀員工獲得的總金額不低于2000元”，求P(Y|X)．17.(本小題12分)

如圖四邊形ABCD是邊長為3的菱形，∠ADC=60°，平面ABCD外的點E，F(xiàn)滿足E，F(xiàn)，B，D四點共面，且FD⊥底面ABCD，EF⊥FD．

(1)證明：AE=CE；

(2)若FD=1，EF=4，求EF與平面ACE所成的角的余弦值．18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=sinxex?a+cosx，其中a<π+ln22．

(1)a=0時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若方程f(x)=1在區(qū)間19.(本小題12分)

已知P(2,1)為橢圓Γ：x28+y22=1上一點，對于Γ上任意兩點A，B，我們定義A，B關(guān)于P的生成點的形成過程：過P作平行于AB的直線交Γ于異于P的一個點(若A與B重合，則AB為Γ在A處的切線；若AB與P處切線平行，則交點為P)，記為[A,B]P，且對?n∈N?，記(n+1)A=[nA,A]P，稱{2A?nA?}為A關(guān)于P的生成點列．

(1)已知A(22,0)，B(0,?2)，直接寫出[A,B]P和3A的坐標(biāo)；

(2)若A，B，C∈Γ，且A，B，C均在第一象限，證明：[[A,B]P，C]P參考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.D

8.A

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.2

13.314.[415.(1)根據(jù)題意可知，b2=a2+c2?2accosB=4+1?2×2×1×12=3，

故b=3，設(shè)圓O的半徑為R，

根據(jù)正弦定理知，2R=bsinB=3sinπ3=2，即R=1．

(2)由(1)知，a2=b2+c2，即A=π216.解：(1)由題意，ξ的所有可能取值為500，1000，1500，

則P(ξ=500)=16，P(ξ=1000)=26=13，ξ50010001500P111Eξ=500×16+1000×13+1500×12=35003．

(2)采用有放回方式摸球，每次摸到500元的概率為p1=16，

每次摸到1000元的概率為p2=13，每次摸到1500元的概率為p3=12，

事件X?包含1種情況，即兩次均摸到1500元，故P(X?)=12×1217.解：(1)證明：四邊形ABCD是邊長為3的菱形，∠ADC=60°，

平面ABCD外的點E，F(xiàn)滿足E，F(xiàn)，B，D四點共面，且FD⊥底面ABCD，EF⊥FD，

連接BD，與AC相交于點G，連接EG，

∵四邊形ABCD是邊長為3的菱形，∴AC⊥BD，且AG=GC，

∵FD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，

∴FD⊥AC，

其中E，F(xiàn)，B，D四點共面

∵BD∩FD=D，BD，F(xiàn)D?平面EFDB，

∴AC⊥平面EFDB，

∵EG?平面EFDB，∴AC⊥EG，

又AG=GC，由三線合一可知AE=CE；

(2)過點G作GT//FD，交EF于點T，

∵FD⊥底面ABCD，∴TG⊥底面ABCD，

以G為坐標(biāo)原點，GD，GC，GT所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

∵四邊形ABCD是邊長為3的菱形，∠ADC=60°，

∴△ADC，△ABC均為等邊三角形，

故G(0,0,0),A(0,?32,0),D(32,0,0),B(?32,0,0),C(0,32,0)，

FD=1，EF=4，故F(32,0,1)，

∵FD⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，

∴FD⊥BD，又EF⊥FD，∴BD//EF，

其中BD=(3,0,0)，設(shè)EF=mBD=(3m,0,0)，

設(shè)E(a,b,c)，則(32?a,?b,1?c)=(3m,0,0)，

解得a=32?3m,b=0,c=1，故E(32?3m,0,1)，

又EF=4，故3m=4，解得m=43，故E(?52,0,1)，EF=(4,0,0)，

AC=(0,3,0),AE18.解：(1)a=0時，f(x)=sinxex+cosx，f(0)=sin0e0+cos0=0，

f′(x)=cosx(ex+cosx)?sinx(ex?sinx)(ex+cosx)2=(cosx?sinx)ex+1(ex+cosx)2，

故f′(0)=1+1(1+1)2=12，又f(0)=sin0e0+cos0=0，

故切線方程為y?0=12(x?0)，即x?2y=0；

(2)f(x)=1，即sinxex?a+cosx=1，所以ex?a=sinx?cosx>0，

又x∈(0,π)，所以x∈(π4,π)，

a=x?ln(sinx?cosx)，x∈(π419.解：(1)設(shè)[A,B]P=M，

易知kAB=12，

所以過點P且與AB平行的直線為y?1=12(x?2)，

即x?2y=0，

易知直線x?2y=0與橢圓交點為(?2,?1)，

即[A,B]P=(?2，?1)；

因為A(22,0)，

所以2A=[A,A]P，

易知橢圓在點A處的切線方程為x=22，

過點P(2,1)作此切線的平行線x=2交橢圓于點(2,?1)(異于點P)；

則2A=[A,A]P=(2，?1)，

設(shè)N(2,?1)，

易知kNA=2+12，

設(shè)過點P且與直線NA平行的直線方程為y?1=2+12(x?2)，橢圓在該點處的切線方程為y+1=k(x?2)，

聯(lián)立x28+y22=1y?1=2+12(x?2)，

解得x=0，y=?2，

則3A=[2A,A]P=(0,?2)，

故[A,B]P=(?2，?1)，3A=(0,?2)；

(2)證明：若A，B，C∈Γ，且A，B，C均在第一象限，

設(shè)R(x,y)為橢圓Γ上一點，

設(shè)x=22cosαy=2sinα，α∈[0,2π)，下面記R對應(yīng)的參數(shù)α=R，

因為P(2,1)，

所以P=π4，

所以[A,B]P∈(?π4,3π4)，[B,C]P∈(?π4,3π4)，[A,C]P∈(?π4,3π4)，

若Ai在橢圓Γ上，

設(shè)Ai(22cosαi,2sinαi)