重難點突破：專題11 數(shù)據(jù)的波動程度（解析版）

專題11數(shù)據(jù)的波動程度重點理解極差和方差的意義和求法，體會它們刻畫數(shù)據(jù)波動的不同特征難點掌握極差與方差的計算，體會用樣本方差估計總體方差的思想易錯極差與方差概念混淆導(dǎo)致計算錯誤極差和方差【例1】某班有40人，一次體能測試后，老師對測試成績進(jìn)行了統(tǒng)計．由于小亮沒有參加本次集體測試，因此計算其他39人的平均分為90分，方差s2＝39．后來小亮進(jìn)行了補測，成績?yōu)?0分，關(guān)于該班40人的測試成績與該班39人的測試成績相比，下列說法正確的是（）A．平均分不變，方差變小 B．平均分不變，方差變大C．平均分和方差都不變 D．平均分和方差都改變【答案】A【解析】解：小亮的成績和其他39人的平均數(shù)相同，都是90分，該班40人的測試成績的平均分為90分不變，根據(jù)方差的計算公式，，，可得方差變小了，故選：A．【例2】甲、乙兩人一周中每天制作工藝品的數(shù)量如圖所示，則對甲、乙兩人每天制作工藝品數(shù)量描述正確的是（

）A．甲比乙穩(wěn)定 B．乙比甲穩(wěn)定C．甲與乙一樣穩(wěn)定 D．無法確定【答案】C【解析】解：由折線統(tǒng)計圖知，甲5天制作的個數(shù)分別為15、20、15、25、20，乙5天制作的個數(shù)分別為10、15、10、20、15，∴甲從周一至周五每天制作的個數(shù)分別比乙每天制作的個數(shù)多5個，∴甲、乙制作的個數(shù)穩(wěn)定性一樣，故選：C．【例3】甲、乙兩名隊員參加射擊訓(xùn)練，成績分別被制成下列兩個統(tǒng)計圖：根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：平均成績/環(huán)中位數(shù)/環(huán)眾數(shù)/環(huán)方差甲771.2乙784.2（1）寫出表格中，的值；（2）從方差的角度看，若選派其中一名參賽，你認(rèn)為應(yīng)選哪名隊員？并說明理．【答案】（1）7，7.5；（2）甲，理由略．【解析】解：∵甲隊員的射擊成績?yōu)椋?,6,6,7,7,7,7,8,8,9,∴甲隊員的射擊成績平均數(shù)為：a=(5+6×2+7×4+8×2+9)÷10=7∵乙隊員的射擊成績?yōu)椋?，6，4，8，7，8，7，8，10，9，從小數(shù)到大數(shù)依次排列為：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，∴乙隊員射擊成績的中位數(shù)為：b=7.5∴a=7，b=7.5（2）從方差的角度看，選派甲隊員去參賽，理由是：從表中可知：S甲2=1.2，S乙2=4.2，∴S甲2＜S乙2∴甲隊員的射擊成績較穩(wěn)定，∴選甲隊員去參賽【例4】一次期中考試中，A、B、C、D、E五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語成績有如下信息：ABCDE平均分方差數(shù)學(xué)71726968702英語888294857685（1）求這5位同學(xué)在本次考試中數(shù)學(xué)成績的平均分和英語成績的方差．（2）為了比較不同學(xué)科考試成績的好與差，采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個合理的選擇，從標(biāo)準(zhǔn)分看，標(biāo)準(zhǔn)分大的考試成績更好，請問A同學(xué)在本次考試中，數(shù)學(xué)與英語哪個學(xué)科考得更好？【答案】（1）70，36（2）A同學(xué)在本次考試中，數(shù)學(xué)學(xué)科考得更好【解析】（1）數(shù)學(xué)成績的平均分為：；英語成績的標(biāo)準(zhǔn)差為：[（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]=36；故答案為70，36；（2）A同學(xué)數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分為：=，A同學(xué)英語標(biāo)準(zhǔn)分為：=，因為＞，所以，A同學(xué)在本次考試中，數(shù)學(xué)學(xué)科考得更好．一、單選題1．甲、乙、兩、丁四人各進(jìn)行20次射擊測試，他們的平均成績相同，方差分別是，，，，則射擊成績最穩(wěn)定的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】解：∵∴乙的成績更穩(wěn)定故選B．2．在方差計算公式s2[（x1﹣15）2+（x2﹣15）2+…+（x20﹣15）2]中，可以看出15表示這組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù) B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．方差【答案】B【解析】解：在方差計算公式s2=[（x1-15）2+（x2-15）2+…+（x20-15）2]中，數(shù)15表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；故選：B．3．一組數(shù)據(jù)3、4、4、5，若添加一個數(shù)4后得到一組新數(shù)據(jù)，則前后兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量會發(fā)生變化的是（）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差【答案】D【解析】解：原數(shù)據(jù)3，4，4，5的平均數(shù)為，中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，方差為，新數(shù)據(jù)3，4，4，4，5的平均數(shù)為，中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，方差為，綜合可得：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均未發(fā)生變化，方差發(fā)生變化，故選：D．4．為了保護環(huán)境，加強環(huán)保教育，某中學(xué)組織學(xué)生參加義務(wù)收集廢舊電池活動，隨機抽取其中40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，這40名學(xué)生收集的廢舊電池數(shù)量統(tǒng)計如下：廢舊電池數(shù)（節(jié)）2030405060人數(shù)（人）8111065對這組數(shù)據(jù)描述正確的是（）A．眾數(shù)是30 B．平均數(shù)是60 C．中位數(shù)是20 D．方差是0【答案】A【解析】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30，故A選項正確；平均數(shù)為＝37.25，故B選項錯誤；中位數(shù)為，故選項C錯誤；方差為×[（20?37.25）2×8＋（30?37.25）2×11＋（40?37.25）2×10＋（50?37.25）2×6＋（60?37.25）2×5]＝164.9375，故選項D錯誤；故選：A．5．若樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為10，方差為4，則對于樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為10，方差為2 B．眾數(shù)不變，方差為4C．平均數(shù)為7，方差為2 D．中位數(shù)變小，方差不變【答案】D【解析】解：∵樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為10，方差為4，∴樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均數(shù)為10-3=7，方差不變?yōu)?，眾數(shù)和中位數(shù)變小．故選：D．6．王大伯前幾年承包了甲、乙兩片荒山，各栽種了100棵楊梅樹，成活98%，現(xiàn)已掛果，經(jīng)濟效益初步顯現(xiàn)，為了分析收成情況，他分別從兩山上隨意各采摘了四棵楊梅樹上的楊梅，每棵的產(chǎn)量如圖所示，由統(tǒng)計圖提供的信息可知，楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定的是（

）A．甲山 B．乙山 C．一樣 D．無法確定【答案】B【解析】解：根據(jù)題意得：甲山四顆楊梅產(chǎn)量的平均數(shù)為：千克，乙山四顆楊梅產(chǎn)量的平均數(shù)為：千克，∴，，∴，∴乙山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定．故選：B二、填空題7．如表記錄了甲、乙、丙、丁四名同學(xué)最近五次數(shù)學(xué)考試成績的平均分（單位：分）與方差：甲乙丙丁平均分93969693方差5.14.91.21.0要推薦一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，應(yīng)該選擇__（填甲、乙、丙、丁中一個即可）．【答案】丙【解析】解：首先比較平均數(shù)，平均數(shù)相同時選擇方差較小的參加競賽．甲和丁的平均數(shù)較小，從乙和丙中選擇一人參加競賽，丙的方差較小，選擇丙競賽．故答案為：丙．8．一組數(shù)據(jù)21，22，23，24，25，用符號A表示，記為，加入一個數(shù)據(jù)a后，用符號B表示，記為．①若，則A的平均數(shù)大于B的平均數(shù)；②若，則A的方差等于B的方差；③若，則A的中位數(shù)小于B的中位數(shù)．其中正確的序號是______．【答案】①③【解析】解：①若a=22，則A的平均數(shù)為=23，B的平均數(shù)，∴A的平均數(shù)大于B的平均數(shù)，正確；②若a=23，則A的平均數(shù)為=23，A的方差：×[（23-21）2+（23-22）2+（23-23）2+（23-24）2+（23-25）2]=2，B的平均數(shù)，B的方差：×[（23-21）2+（23-22）2+（23-23）2+（23-24）2+（23-25）2+（23-23）2]=，∴A的方差不等于B的方差，錯誤；③若a=24，則A的中位數(shù)為23，B的中位數(shù)=23.5．∴A的中位數(shù)小于B的中位數(shù)，正確．故答案為：①③．三、解答題9．甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，兩人在相同的條件下各射擊10次，射擊的成績?nèi)鐖D所示．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)算出甲射擊成績的平均數(shù)；(2)經(jīng)計算，乙射擊成績的平均數(shù)為8，甲射擊成績的方差為1.6，請你計算出乙射擊成績的方差，并判斷誰的射擊成績更加穩(wěn)定．【答案】(1)8(2)1.2，乙的射擊成績更穩(wěn)定【解析】(1)解：(2)∵

；∴乙的射擊成績更穩(wěn)定．10．甲、乙兩校各有5名學(xué)生參加區(qū)教育局舉辦的青少年黨史知識競賽，成績?nèi)缦卤恚杭仔＿x手得分9791809181乙校選手得分7692948692(1)對甲、乙兩校參賽學(xué)生的成績進(jìn)行評價；(2)如果各校從他們參賽的5名學(xué)生中派出前3名參加下一輪的決賽，你認(rèn)為哪個學(xué)校的選手實力更強一些？說說你的理由．【答案】(1)甲、乙兩校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校學(xué)生的成績較穩(wěn)定，成績較好(2)甲校的平均分高于乙校，因此甲校的選手實力更強些【解析】(1)解：由表中數(shù)據(jù)可知，甲校的平均分是=88（分），眾數(shù)是91，中位數(shù)是91，方差是×[（88-97）2+（88-91）2+（88-80）2+（88-91）2+（88-81）2]=42.4；乙校的平均分是=88（分），眾數(shù)是92，中位數(shù)是92，方差是×[（88-76）2+（88-92）2+（88-94）2+（88-86）2+（88-92）2]=43.2．甲、乙兩校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校學(xué)生的成績較穩(wěn)定，成績較好；(2)甲校派出選手的成績?yōu)?1、91、97，平均分是，乙校派出選手的成績?yōu)?2、92、94，平均分是，甲校的平均分高于乙校，因此甲校的選手實力更強些．一、單選題1．某社區(qū)計劃組織以“全民健身，‘毽’步如飛”為主題的踢毽子比賽活動，為了了解參賽成

員踢毽子水平及穩(wěn)定程度，在比賽前期甲、乙、丙、丁四名參賽成員分別記錄了自己在規(guī)定時間內(nèi)5次踢毽子的數(shù)量，并計算出了各自的平均個數(shù)及方差S2，如下表所示：甲乙丙丁9010395108S212根據(jù)參賽成員踢毽子的平均數(shù)量及穩(wěn)定程度，你認(rèn)為哪位參賽成員獲勝的可能性大（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】∵＜＜12，∴乙、丁最穩(wěn)定；∵103＜108，∴丁獲勝的可能性大，故選D．2．下列命題正確的是（）A．?dāng)?shù)軸上的每一個點都表示一個有理數(shù)B．甲、乙兩人五次考試平均成績相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，則乙的成績更穩(wěn)定C．三角形的一個外角大于任意一個內(nèi)角D．在平面直角坐標(biāo)系中，點（4，﹣2）與點（4，2）關(guān)于x軸對稱【答案】D【解析】解：A．?dāng)?shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，所以A選項不符合題意；B．甲、乙兩人五次考試平均成績相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，則甲的成績更穩(wěn)定，所以B選項不符合題意；C．三角形的一個外角大于與之不相鄰的任意一個內(nèi)角，所以C選項不符合題意；D．在平面直角坐標(biāo)系中，點（4，﹣2）與點（4，2）關(guān)于x軸對稱，所以D選項符合題意．故選：D．3．籃球隊5名場上隊員的身高（單位：cm）分別是：189，191，193，195，196．現(xiàn)用一名身高為192cm的隊員換下身高為196cm的隊員，與換人前相比，場上隊員的身高（

）A．平均數(shù)變小，方差變小 B．平均數(shù)變小，方差變大C．平均數(shù)變大，方差變小 D．平均數(shù)變大，方差變大【答案】A【解析】解：原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=192.8，則原數(shù)據(jù)的方差為[（189-192.8）2+（191-192.8）2+（193-192.8）2+（195-192.8）2+（196-192.8）2]=4.512，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=192，則新數(shù)據(jù)的方差為[（189-192）2+（191-192）2+（193-192）2+（195-192）2+（192-192）2]=4，所以平均數(shù)變小，方差變小，故選：A．4．“微信運動“是騰訊開發(fā)的一個記錄跑步或行走情況（步數(shù)里程）的公眾號，用戶通過該公眾號可查看自己某時間段的運動情況．某人根據(jù)2019年1月至2019年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖，根據(jù)該折線圖．下列結(jié)論錯誤的是（）A．1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小B．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)C．月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月D．月跑步里程逐月增加【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：在A中，1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小，故A選項正確，不符合題意；在B中，月跑步里程高峰期大致在9月、10月，從小到大排列為：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，所以月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)，故B選項正確，不符合題意；在C中，月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，故C選項正確，不符合題意；在D中，2月跑步里程比1月小，8月跑步里程比7月小，11月跑步里程比10月小，故D選項錯誤，符合題意．故選：D．5．下列說法正確的是（

）A．北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查B．一組數(shù)據(jù)6，5，8，8，9的眾數(shù)是8C．甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為，．則甲組學(xué)生的身高較整齊D．籃球運動員易建聯(lián)在CBA聯(lián)賽場均能得到24.2分，因此他下一場比賽的得分一定會超過20分【答案】B【解析】A、北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇全面調(diào)查，故此選項錯誤；B、一組數(shù)據(jù)6，5，8，8，9的眾數(shù)是8，故此選項正確；C、甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為S甲2＝2.3，S乙2＝1.8．則乙組學(xué)生的身高較整齊，故此選項錯誤；D、籃球運動員易建聯(lián)在CBA聯(lián)賽場均能得到24.2分，因此他下一場比賽的得分不一定會超過20分，故此選項錯誤；故選：B．6．一組數(shù)據(jù)的方差為，將這組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都除以3，所得新數(shù)據(jù)的方差是（

）A． B．3 C． D．9【答案】C【解析】設(shè)原數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為，方差為s2.根據(jù)題意，得新數(shù)據(jù)為，，…，，其平均數(shù)為.根據(jù)方差的定義可知，新數(shù)據(jù)的方差為.故選C.二、填空題7．已知2，3，6，a，b這五個數(shù)據(jù)的方差是3，那么3，4，7，a+1，b+1這五個數(shù)據(jù)的方差是______．【答案】3【解析】解：由題意知，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的每一個數(shù)都加了1，則平均數(shù)變?yōu)?1，則原來的方差S12＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x5﹣）2]＝3，現(xiàn)在的方差S22＝[（x1+1﹣﹣1）2+（x2+1﹣﹣1）2+…+（x5+1﹣﹣1）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x5﹣）2]＝3，所以方差不變．故答案為3．8．若甲、乙兩人射擊比賽的成績（單位：環(huán)）如下：甲：6，7，8，9，10；乙：7，8，8，8，9．則甲、乙兩人射擊成績比較穩(wěn)定的是______________（填甲或乙）；【答案】乙【解析】解：甲乙二人的平均成績分別為：，，∴二人的方差分別為：，∵，乙的成績比較穩(wěn)定．故答案為：乙三、解答題9．我市某中學(xué)舉辦“網(wǎng)絡(luò)安全知識競賽”，初、高中部根據(jù)初賽成績各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學(xué)校決賽，兩個隊各選出的5名選手的決賽成績?nèi)鐖D所示：平均分（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）方差初中部a85b高中部85c100160(1)根據(jù)圖示求出a，b，c的值；(2)結(jié)合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行分析，哪個隊的決賽成績較好？(3)計算初中代表隊決賽成績的方差，并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定．【答案】(1)85，85，80；(2)初中部；(3)初中部.【解析】(1)解：平均分，眾數(shù)，高中5名選手的成績分別為70，75，80，100，100，故中位數(shù)c=80；(2)由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位數(shù)高，故初中部決賽成績較好.(3)，,初中代表隊比較穩(wěn)定.10．為發(fā)展鄉(xiāng)村經(jīng)濟，某村根據(jù)本地特色，創(chuàng)辦了山藥粉加工廠．該廠需購置一臺分裝機，設(shè)定分