2024-2025學年高考數(shù)學考點第二章不等式一元二次不等式及其解法理

一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??概念方法微思索1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集與其對應的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象有什么關(guān)系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其對應函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分所對應的x的取值范圍．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件是什么？提示明顯a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))1．（2024?天津）設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為__________．【答案】【解析】，將分解因式即有：；；由一元二次不等式的解法“小于取中間，大于取兩邊”可得：；即：；或．故答案為：．2．（2024?B卷模擬）已知方程的兩個根是2，3．（1）求實數(shù)，的值；（2）求不等式的解集．【解析】二次方程的根為2，3，，；，；（2）不等式；；則不等式不等式的解集．1．（2024?河南模擬）已知區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則的最小值是A． B． C． D．3【答案】C【解析】是不等式的解集，，是方程的兩個實數(shù)根且，，，；且，；，當且僅當時“”成立；的最小值為．故選C．2．（2024?重慶模擬）一元二次不等式的解集為A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】不等式對應方程的解為和，所以不等式的解集為，．故選B．3．（2024?江西模擬）若，則不等式成立的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式可化為，解得或，利用幾何概型的概率公式計算所求概率為．故選A．4．（2024?一卷模擬）已知關(guān)于的不等式在，上有解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】，時，不等式可化為；當時，不等式為，滿意題意；當時，不等式化為，則，當且僅當時取等號，所以，即；當時，恒成立；綜上知，實數(shù)的取值范圍是．故選A．5．（2024?乃東區(qū)校級一模）若不等式對一切，成立，則的最小值為A． B．0 C． D．【答案】A【解析】不等式對一切，成立，，．令，，．，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最大值，．的最小值為．故選A．6．（2024?乃東區(qū)校級一模）關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是A．，， B． C． D．，，【答案】A【解析】關(guān)于的不等式的解集是，．關(guān)于的不等式可化為，或．關(guān)于的不等式的解集是或．故選A．7．（2024?漢中二模）對于實數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，那么不等式成立的的范圍是A． B．， C．， D．，【答案】C【解析】由，得，又表示不大于的最大整數(shù)，所以．故選C．8．（2024春?吉安期末）已知不等式的解集為，則不等式的解集為A．，或 B． C．，或 D．【答案】C【解析】由題意，的兩根為3，6．則，解得，則不等式可化為，解得，或．故選C．9．（2024春?宣城期末）關(guān)于的不等式的解集為A． B．或 C．或 D．【答案】A【解析】不等式可化為，，原不等式等價于，且不等式對應的一元二次方程的根為和1；又，原不等式的解集為．故選A．10．（2024春?惠州期末）關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是A． B．，， C．， D．【答案】D【解析】不等式的解集為，所以△，即，解得．故選D．11．（2024春?上饒期末）一元二次不等式的解集是A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式不等式對應方程的解為和，所以不等式的解集為或．故選B．12．（2024春?惠州期末）不等式的解集為A． B． C．，， D．【答案】A【解析】，，解得．用集合表示為．故選A．13．（2024?青島三模）若不等式的解集為實數(shù)集，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】時，不等式化為，解集為實數(shù)集；時，應滿意，所以，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選D．14．（2024?淄博模擬）設(shè)表示不小于實數(shù)的最小整數(shù)，則滿意關(guān)于的不等式的解可以為A． B．3 C． D．【答案】BC【解析】不等式可化為，解得；又表示不小于實數(shù)的最小整數(shù)，且，，，；所以滿意不等式的解可以為、．故選BC．15．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)關(guān)于的不等式，，只有有限個整數(shù)解，且0是其中一個解，則全部不等式的整數(shù)解的和為__________．【答案】【解析】設(shè)，其圖象為拋物線．對于隨意一個給定的值其拋物線只有在開口向下的狀況下才能滿意而整數(shù)解只有有限個，所以．因為0為其中的一個解可以求得，又，所以，，則不等式為和，可分別求得和，為整數(shù)，，，，，0和，，，0，1，2，3全部不等式的整數(shù)解的和為故答案為：．16．（2024春?倉山區(qū)校級期末）已知關(guān)于的不等式，它的解集是，，則實數(shù)__________．【答案】【解析】關(guān)于的不等式，它的解集是，，全部關(guān)于的方程的兩根為1和3，由根與系數(shù)的關(guān)系知，實數(shù)．故答案為：．17．（2024?江蘇一模）若關(guān)于的不等式的解集是，則實數(shù)的值為__________．【答案】4【解析】不等式的解集是，所以方程的解1和3，由根與系數(shù)的關(guān)系知，．故答案為：4．18．（2024?連云港模擬）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是__________．【答案】，，【解析】若，則原不等式等價為，此時不等式的解集為空集．所以不成立，即．若，要使不等式的解集不是空集，則①時，有△，解得．②若，則滿意條件．綜上滿意條件的的取值范圍是，，．故答案為：，，．19．（2024?南通二模）已知關(guān)于的不等式的解集為，且中共含有個整數(shù)，則當最小時實數(shù)的值為__________