1.4 角平分線第2課時(shí)（同步課件）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（北師大版）

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第2課時(shí)第一章三角形的證明4角平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)證明和運(yùn)用“三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等”.(重點(diǎn)）2.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．(難點(diǎn)）復(fù)習(xí)回顧角平分線的性質(zhì)定理：

角的平分線上的點(diǎn)

的距離相等.符號(hào)語(yǔ)言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在

.符號(hào)語(yǔ)言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.到角的兩邊角的平分線上一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知在一個(gè)三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個(gè)學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請(qǐng)?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？ABC做一做：（1）分別畫(huà)出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？銳角三角形直角三角形鈍角三角形二、自主合作，探究新知探究：三角形的內(nèi)角平分線發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).二、自主合作，探究新知（2）分別過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？二、自主合作，探究新知分析：要證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：試試看，你會(huì)寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？AP是∠BAC的平分線BP是∠ABC的平分線PI=PHPG=PIPH=PG點(diǎn)P在∠BCA的平分線上A

B

C

P

F

H

DEIG二、自主合作，探究新知已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.A

B

C

P

N

M

D

E

F

二、自主合作，探究新知知識(shí)要點(diǎn)

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

應(yīng)用格式：∵點(diǎn)P是△ABC角平分線的交點(diǎn)，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC.∴PD=PE，PE=PF∴PD=PE=PF.例1：如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=4cm,AC的長(zhǎng);EDABC二、自主合作，探究新知典型例題（1）解：∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，二、自主合作，探究新知(2)求證:AB=AC+CD.（2）證明：由（1）的求解過(guò)程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD，EDABC∴AB=AE+BE=AC+CD.MABCPOD例2：如圖，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4，求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.二、自主合作，探究新知解：過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BC，OE⊥AB,典型例題EN∵點(diǎn)O在∠BAC，∠ABC的角平分線上，OM⊥AC

，ON⊥BC，OE⊥AB,∴OM=OE,OE=ON,∴OM=OE=ON=4,∴OM+OE+ON=12.l1l2l3例3：如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可選擇的地址有幾處?畫(huà)出它的位置.P1P2P3P4解：有4處，如圖所示.二、自主合作，探究新知典型例題三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()

A．110°B．120°C．130°D．140°A1.如圖，已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（）A.P為∠A，∠B兩角平分線的交點(diǎn)B.P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)C.P為AC，AB兩邊上的高的交點(diǎn)D.P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)B3.如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，O為△ABC角平分線的交點(diǎn)，若△ABO的面積為20，則△ACO的面積為

.ABCO三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)154.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的三條內(nèi)角平分線交于點(diǎn)O，OM⊥AB于M，OM=4，S△ABC=180，則△ABC的周長(zhǎng)是

.CABOM905.如圖所示,某市有一塊由三條公路圍成的三角形綠地,現(xiàn)準(zhǔn)備在綠地上建一噴水池,要求噴水池的中心到三條公路的距離相等,試確定噴水池中心的位置.(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)解:

如圖所示，點(diǎn)O即為所求.O6.如圖所示，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，P是∠BAC,∠ABC的平分線的交點(diǎn),試求點(diǎn)P到AB邊的距離.三、即學(xué)即練，應(yīng)用知識(shí)

四、課堂小結(jié)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等．應(yīng)用：位置的選擇問(wèn)題.1.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A.△ABC

的三條中線的交點(diǎn)B.△ABC

三邊的中垂線的交點(diǎn)C.△ABC

三條角平分線的交點(diǎn)D.△ABC

三條高所在直線的交點(diǎn)2.根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡,可用直尺成功找到到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)的圖形是()五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)CB4.如圖所示，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，則四邊形ABCD的面積是

.ABCD3.如圖所示，△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別是60，70，80，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(

)A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.3∶7∶4D.6∶7∶8五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)30D5.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.求證：CF=EB.CFAEDB五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)證明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90