數(shù)理邏輯和算法理論 課件 袁相碗 第0-4章 緒論、邏輯的數(shù)學(xué)化-數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成

數(shù)理邏輯和算法理論

——計(jì)算機(jī)科學(xué)與人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)目錄第0章

緒論第1章

邏輯的數(shù)學(xué)化第2章

集合論公理化第3章

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)第4章

數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成第5章

丘奇-圖靈論題的創(chuàng)立和計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)第6章

計(jì)算機(jī)科學(xué)與算法第7章

人工智能與算法1什么是算法化和公理化矛盾統(tǒng)一的數(shù)學(xué)發(fā)展史2什么是數(shù)理邏輯3算法概念的演變4哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼?章緒論什么是算法化和公理化矛盾統(tǒng)一的數(shù)學(xué)發(fā)展史0.10.1什么是算法化和公理化矛盾統(tǒng)一的數(shù)學(xué)發(fā)展史

數(shù)學(xué)史的論述及其分期，可以采取不同的主線(xiàn),如以往有關(guān)于常量與變量的矛盾，代數(shù)和幾何的并峙，以及近年來(lái)以離散數(shù)學(xué)與連續(xù)數(shù)學(xué)的對(duì)立。著名數(shù)學(xué)史學(xué)家李文林在《數(shù)學(xué)的進(jìn)化》中釆用了以算法化與公理化思想的矛盾統(tǒng)一及其交替取得數(shù)學(xué)發(fā)展中的主導(dǎo)地位為主線(xiàn),將數(shù)學(xué)史進(jìn)行分期。

1.自古以來(lái)，數(shù)學(xué)的發(fā)展存在著兩大主流思想

（1）算法化（或機(jī)械化）思想：源于古代中國(guó)與東方的一種數(shù)學(xué)思想。

（2）公理化（或演繹證明）思想：以古希臘歐幾里得公理幾何學(xué)為代表的一種科學(xué)范式。0.1什么是算法化和公理化矛盾統(tǒng)一的數(shù)學(xué)發(fā)展史

2.數(shù)學(xué)史顯示：算法化與公理化總是交替地取得主導(dǎo)地位

（1）原始算法積累時(shí)期（從數(shù)學(xué)萌芽至公元前6世紀(jì)）

（2）古希臘演繹幾何時(shí)期（公元前6世紀(jì)至公元15世紀(jì)）

（3）算法繁榮時(shí)期（15世紀(jì)至18世紀(jì)）

（4）現(xiàn)代數(shù)學(xué)和公理傾向時(shí)期（20世紀(jì)初期至20世紀(jì)40年代）0.1什么是算法化和公理化矛盾統(tǒng)一的數(shù)學(xué)發(fā)展史

2.數(shù)理邏輯和算法理論的進(jìn)化分期

“數(shù)理邏輯和算法理論的進(jìn)化”主要是指20世紀(jì)30年代數(shù)理邏輯主要內(nèi)容形成的過(guò)程中，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明首次提出并定義了原始遞歸函數(shù)的概念之后，數(shù)理邏輯和算法理論的進(jìn)化導(dǎo)致計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，以及計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能算法的創(chuàng)立與繁榮。什么是數(shù)理邏輯0.20.2什么是數(shù)理邏輯

數(shù)理邏輯有兩個(gè)源頭:其一是17世紀(jì)萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化（符號(hào)邏輯）；其二是20世紀(jì)初集合論悖論（第三次數(shù)學(xué)危機(jī)）所引發(fā)的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng),最后形成了由邏輯演算、公理集合論、證明論、遞歸函數(shù)論和模型論等五個(gè)分支所構(gòu)成的數(shù)理邏輯學(xué)科體系。0.2什么是數(shù)理邏輯

1.邏輯演算系統(tǒng)是數(shù)理邏輯的共同基礎(chǔ)

它源于17世紀(jì)萊布尼茨的用方法研究形式（邏輯的數(shù)學(xué)）,19世紀(jì)經(jīng)布爾（Boole,1815—1864,見(jiàn)圖0-3）的邏輯代數(shù)和弗雷格（G.Frege,1848—1925,見(jiàn)圖0-4）的邏輯演算,再經(jīng)羅素等人的完善，基本上實(shí)現(xiàn)了萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化設(shè)想，建立起命題演算和謂詞演算系統(tǒng)。0.2什么是數(shù)理邏輯

2.數(shù)理邏輯主要內(nèi)容是用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的重大成果20世紀(jì)初，數(shù)理邏輯在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的基礎(chǔ)上，經(jīng)用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)踐而逐步形成。（1）有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)（2）用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)踐0.2什么是數(shù)理邏輯

3.數(shù)理邏輯的學(xué)科體系在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的基礎(chǔ)上，經(jīng)用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)踐，形成了數(shù)理邏輯主要內(nèi)容（四大論），如果再加上數(shù)學(xué)化了的邏輯演算（命題演算和謂詞演算系統(tǒng)），則數(shù)理邏輯的學(xué)科體系可用圖表示如下：0.2什么是數(shù)理邏輯

4.數(shù)理邏輯的學(xué)科特征

數(shù)理邏輯是20世紀(jì)用數(shù)學(xué)方法深入探索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的一個(gè)重大數(shù)學(xué)成果。由于數(shù)理邏輯和哲學(xué)、邏輯學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等密不可分，相互交織。所以,它和其他數(shù)學(xué)分支,相比較而言,具有如下的主要特征：

⑴邊緣性

⑵基礎(chǔ)性（3）辯證性算法概念的演變0.30.3算法概念的演變

1.東方算法時(shí)期的算法概念

算法源于數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期來(lái)自人類(lèi)生產(chǎn)與生活經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單算術(shù)、代數(shù)及幾何的公式的求解。在漫長(zhǎng)的中世紀(jì)，東方（中國(guó)、印度和阿拉伯）的算法精神,在中國(guó)稱(chēng)其為“術(shù)”，在印度和阿拉伯則是“數(shù)的運(yùn)算法則”之意。

于是，東方算法精神：

其一,“算法”概念是和“計(jì)算”概念密不可分的；

其二，任何計(jì)算都是在一定的算法的支持下進(jìn)行的；

其三,算法是服從并服務(wù)于計(jì)算的，算法是計(jì)算概念的_部分。0.3算法概念的演變

2.神秘的無(wú)窮小算法數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)時(shí)期之后,17世紀(jì)開(kāi)始的科學(xué)的數(shù)學(xué)化年代,為創(chuàng)立微積分學(xué)，牛頓發(fā)明了以力學(xué)為背景的“流數(shù)術(shù)”，萊布尼茨則以邏輯學(xué)為背景創(chuàng)立了“無(wú)窮小算法”。流數(shù)術(shù)和無(wú)窮小算法的發(fā)明途徑不同,但實(shí)質(zhì)上是相同的。它們將代數(shù)的運(yùn)算關(guān)系從加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方、指數(shù)、對(duì)數(shù)等“八則運(yùn)算”拓展到包含微分與積分的十則運(yùn)算，并發(fā)現(xiàn)了微分和積分之間的互逆關(guān)系。但是,這是一種“正確的結(jié)論基于錯(cuò)誤假設(shè)”的神秘的無(wú)窮小算法。所以,牛頓的流數(shù)術(shù)，被19世紀(jì)創(chuàng)立的“極限法”所代替,而萊布尼茨的無(wú)窮小算法，則在數(shù)理邏輯的“模型論”創(chuàng)立之后，在“非標(biāo)準(zhǔn)分析”中取得了復(fù)活與提升。0.3算法概念的演變

3.算法概念的質(zhì)變以哥德?tīng)柕摹霸歼f歸函數(shù)”為起點(diǎn)，到丘奇一圖靈論題的創(chuàng)立，標(biāo)志著算法已從計(jì)算概念中獨(dú)立出來(lái)。其一，算法是某類(lèi)問(wèn)題求解的計(jì)算方案（計(jì)算程序與計(jì)算過(guò)程）；其二,算法的目標(biāo)是有限步驟內(nèi)獲得問(wèn)題求解的結(jié)果；其三，算法的內(nèi)涵包括：①算法的語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)；②計(jì)算規(guī)則；③計(jì)算過(guò)程。0.3算法概念的演變

計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后,算法便成為計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能的核心，并在其中處于中心地位?！队?jì)算機(jī)科學(xué)概論》將算法的中心地位圖表為:哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?.40.4哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?/p>

經(jīng)20世紀(jì)初的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)，在用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)踐之中,形式公理主義代表人物希爾伯特堅(jiān)持形式主義公理的宗旨（數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備的，數(shù)學(xué)定理是可以證明的），從保護(hù)經(jīng)典數(shù)學(xué)成果出發(fā)，提出了具有創(chuàng)造性的以“命題證明”為研究對(duì)象的“證明論設(shè)想”（希爾伯特規(guī)劃）。當(dāng)時(shí)，年僅23歲的青年學(xué)者哥德?tīng)杽t立足于直覺(jué)主義的“直覺(jué)——可構(gòu)造”宗旨（數(shù)學(xué)系統(tǒng)是不完備的,有的數(shù)學(xué)定理是不可證的），獨(dú)具一格地以判定性與完備性為切入點(diǎn)，對(duì)希爾伯特的證明論設(shè)想作出了否定性的斷言，并給出了具有里程碑意義的哥德?tīng)柌煌耆远ɡ恚孩俑绲聽(tīng)柕谝徊煌耆远ɡ?如果形式理論T是以容納數(shù)論并不矛盾的，則T必是不完全的；②哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ?如果形式算術(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單一致的，則不能用形式化方法證明它。0.4哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?/p>

數(shù)理邏輯的發(fā)展史顯示:哥德?tīng)柌煌耆远ɡ聿粌H在數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成中發(fā)揮了基礎(chǔ)性與關(guān)鍵性的作用，而且不斷地開(kāi)辟了新紀(jì)元，被譽(yù)為在20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上寫(xiě)下了濃重一筆，被列為20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)十大重要成果之首。其歷史性貢獻(xiàn)有：①首次用“真實(shí)性”代替“可證性”,將數(shù)學(xué)的真理性從可證性提升到真實(shí)性；②不僅給希爾伯特的“證明論設(shè)想”（用有窮主義數(shù)學(xué)證明任意形式算術(shù)系統(tǒng)的相容性）以致命一擊，而且首次深刻地揭示了任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)、數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)證明、智能機(jī)器、……都具有不可克服的局限性;③哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明，是一種構(gòu)造性證明（存在必須被構(gòu)造）。他巧妙地借助于“說(shuō)謊者悖論”，構(gòu)造了一個(gè)“真的，但不可證明”的不可判定命題。在求證這一命題的存在性中,引入了“哥德?tīng)枖?shù)”的概念，并用“配碼法”，建立起元理論中的命題和自然數(shù)命題之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，不僅證明了“P是不可證明”命題是存在的，而且還提出并定義了“原始遞歸函數(shù)”（直觀(guān)的可計(jì)算函數(shù)）0這為可計(jì)算函數(shù)理論的創(chuàng)建和計(jì)算機(jī)的問(wèn)世提出了方向，開(kāi)辟了道路。1萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想2布爾的邏輯代數(shù)3弗雷格的邏輯演算4命題演算和謂詞演算系統(tǒng)的完善第1章邏輯的數(shù)學(xué)化萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想1.11.1萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想

1.1.1科學(xué)的數(shù)學(xué)化年代大約從15世紀(jì)開(kāi)始，世界科學(xué)與數(shù)學(xué)中心逐步移至文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲。在此之前，古希臘演繹幾何和東方算法精神傳入歐洲。16世紀(jì)之后,歐洲人在代數(shù)研究方面開(kāi)始獲得了超過(guò)前人的數(shù)學(xué)成就?！豆沤駭?shù)學(xué)思想》指出:“截至1600年，歐洲的科學(xué)無(wú)疑注意到數(shù)學(xué)在自然科學(xué)研究中的重要性.Descartes和Galilei兩人針對(duì)科學(xué)活動(dòng)的基本性質(zhì),進(jìn)行革命化,他們選定科學(xué)應(yīng)該使用的概念,重視規(guī)定科學(xué)活動(dòng)的目標(biāo),改變科學(xué)中的方法論。他們這樣做,不僅使科學(xué)得到出乎意料和史無(wú)前例的力量,而且把科學(xué)和數(shù)學(xué)緊密地結(jié)合起來(lái)，他們這個(gè)計(jì)劃實(shí)際上是要把理論科學(xué)歸納到數(shù)學(xué)”。于是，從17世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)“科學(xué)的數(shù)學(xué)化年代”。科學(xué)的數(shù)學(xué)化年代是一個(gè)數(shù)學(xué)與科學(xué)密不可分的、數(shù)學(xué)家與科學(xué)家難以區(qū)分的年代,是一個(gè)以數(shù)學(xué)（歐幾里得幾何）為典范，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法變革科學(xué)方法論的年代。科學(xué)的數(shù)學(xué)化的思維過(guò)程如下圖：1.1萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想單擊此處輸入你的正文1.1萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想

1.1.2萊布尼茨的“普遍邏輯構(gòu)想”在科學(xué)的數(shù)學(xué)化年代，笛卡爾和萊布尼茨都致力于尋找最為一般或普遍的數(shù)學(xué)（科學(xué)）方法論。正如《古今數(shù)學(xué)思想》指出：“在幾何論證的符號(hào)化甚至機(jī)械化中顯示出來(lái)的代數(shù)的威力，感動(dòng)了笛卡爾和萊布尼茨一些人，他們倆人設(shè)想了一種比數(shù)量的代數(shù)更寬廣的科學(xué)。他們?cè)O(shè)計(jì)了一種一般的或抽象的推理科學(xué)，它行使起來(lái)將有點(diǎn)像通常的代數(shù)，但可應(yīng)用于一切領(lǐng)域中的推理……”。1.笛卡爾的“通用數(shù)學(xué)設(shè)想”2.萊布尼茨的“普遍邏輯設(shè)想”3.“普遍邏輯構(gòu)想”的實(shí)質(zhì)是邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想1.1萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想

1.1.3萊布尼茨對(duì)邏輯代數(shù)的初試萊布尼茨不僅首創(chuàng)了邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想，而且對(duì)邏輯代數(shù)進(jìn)行了初試。在1690年左右寫(xiě)成的兩份手稿中,根據(jù)邏輯是一種概念的演算，他引出了相當(dāng)于邏輯“恒等”“蘊(yùn)含”“加”“減”等概念及其符號(hào),并將亞里士多德的三段論推理本身歸納為一種符號(hào)演算。對(duì)此,M.克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》作出了如下評(píng)述：萊布尼茨“開(kāi)始了真正邏輯代數(shù)的工作。其中已直接或間接地有了這樣一些概念,即我們現(xiàn)在所說(shuō)的邏輯加法、乘法、等同、否定和空集，他還注意到需要研究一些抽象關(guān)系，如包含、一一對(duì)應(yīng)、多一對(duì)應(yīng)以及等價(jià)關(guān)系等，他認(rèn)識(shí)到其中有些具有對(duì)稱(chēng)和傳遞的性質(zhì)。萊布尼茨沒(méi)有完成這項(xiàng)工作，他未能超過(guò)三段論的法則,……”。綜上所述，萊布尼茨的邏輯的數(shù)學(xué)化構(gòu)想是17世紀(jì)開(kāi)始的科學(xué)的數(shù)學(xué)化年代的產(chǎn)物,時(shí)隔近200年之后的1901年被人發(fā)現(xiàn)與研究之后,才被公認(rèn)為:這是數(shù)理邏輯的先聲，萊布尼茨則是符號(hào)邏輯的第一奠基者或創(chuàng)始人。布爾的邏輯代數(shù)1.21.2布爾的邏輯代數(shù)

1.2.1傳統(tǒng)邏輯的改進(jìn)與拓展19世紀(jì)以來(lái)，部分邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家雖然仍將傳統(tǒng)邏輯視為完善無(wú)缺的金科玉律，并繼續(xù)采用它的原理進(jìn)行推理，但是有人也發(fā)現(xiàn)了其中的局限與不足。于是，開(kāi)始對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)與拓展。其中值得一提的是哈密爾頓和德?摩根，尤其是德?摩根開(kāi)創(chuàng)的“關(guān)系邏輯”的研究，突破了傳統(tǒng)邏輯的束縛,為邏輯的數(shù)學(xué)化提供了新的動(dòng)力。1.傳統(tǒng)邏輯的局限與不足2.哈密爾頓對(duì)傳統(tǒng)邏輯的改進(jìn)3.德?摩根開(kāi)創(chuàng)的“關(guān)系邏輯”研究1.2布爾的邏輯代數(shù)

1.2.2布爾的邏輯代數(shù)1.布爾邏輯代數(shù)的基本思想2.布爾的類(lèi)代數(shù)3.布爾的二值代數(shù)4.布爾的命題代數(shù)5.布爾及其邏輯代數(shù)的主要貢獻(xiàn)1.2布爾的邏輯代數(shù)1.2.3布爾代數(shù)的拓展布爾創(chuàng)立的邏輯代數(shù)雖然存在著若干局限與不足，但是在邏輯的數(shù)學(xué)化的歷史進(jìn)程中卻起到了承上啟下的重要作用。因此,在布爾代數(shù)的基礎(chǔ)上，眾多數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家致力于對(duì)布爾邏輯代數(shù)的拓展，其中值得一提的有四個(gè)方面：1.杰芳斯建議用相容的邏輯和代替布爾的不相容的邏輯和2.文恩引進(jìn)了類(lèi)代數(shù)的圖解(文恩圖)3.麥柯?tīng)枌⒚}演算從類(lèi)代數(shù)中獨(dú)立出來(lái)4.皮爾斯對(duì)布爾代數(shù)的拓展弗雷格的邏輯演算1.31.3弗雷格的邏輯演算至19世紀(jì)末，針對(duì)傳統(tǒng)邏輯的局限與不足進(jìn)行改進(jìn)、拓展與變革的過(guò)程已取得了如下重大突破：①德?摩根的關(guān)系邏輯突破了亞里士多德的以“是”為中心的三段論；②布爾的邏輯代數(shù)在萊布尼茨邏輯的數(shù)學(xué)化設(shè)想的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了邏輯的代數(shù)化，并首次引進(jìn)了“命題演算“的概念;③弗雷格和皮爾斯獨(dú)立創(chuàng)立的“量詞理論”，為實(shí)現(xiàn)萊布尼茨邏輯的數(shù)學(xué)化（亦即邏輯演算）打下了基礎(chǔ),開(kāi)辟了道路。1.3弗雷格的邏輯演算在此基礎(chǔ)上，法國(guó)著名哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家弗雷格于1879年發(fā)表與出版了《概念語(yǔ)言種按算術(shù)的公式語(yǔ)言構(gòu)成的純思維公式語(yǔ)言》（下稱(chēng)《概念語(yǔ)言》）這一重要著作，其中首次引進(jìn)了函項(xiàng)與量詞的概念,初步建立起命題運(yùn)算和謂詞演算系統(tǒng)。這標(biāo)志著邏輯的數(shù)學(xué)化已基本實(shí)現(xiàn),數(shù)理邏輯的共同基礎(chǔ)已基本形成，弗雷格成為數(shù)理邏輯的第三創(chuàng)始者或奠基人。1.3弗雷格的邏輯演算弗雷格在1869—1871年先后在耶拿大學(xué)與哥丁根大學(xué)學(xué)習(xí)，1873年獲博士學(xué)位,1874年起在耶拿大學(xué)任教，直至1918年退休。他是現(xiàn)代分析哲學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者，邏輯主義學(xué)派主要代表人物之一。其主要著作除《概念語(yǔ)言》外，還有《算術(shù)基礎(chǔ)——對(duì)數(shù)概念的邏輯數(shù)學(xué)研究》（1884）、《算術(shù)的基礎(chǔ)規(guī)律》（第一卷1893,第二卷1903）,以及多篇論文。弗雷格的《概念語(yǔ)言》的主要目的是試圖從邏輯演算推出算術(shù)，進(jìn)而導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)。為此，作為第一步，必須創(chuàng)立邏輯演算。于是,在布爾的邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)上，弗雷格將邏輯和數(shù)學(xué)（算術(shù)）結(jié)合起來(lái)，按邏輯的數(shù)學(xué)化的思路致力于“一種按算術(shù)的公式語(yǔ)言構(gòu)成的純思維公式語(yǔ)言”的研究，創(chuàng)立了邏輯演算。其主要貢獻(xiàn)有三個(gè)方面。1.3弗雷格的邏輯演算1.3.1首次引進(jìn)了命題函項(xiàng)和量詞的重要概念傳統(tǒng)邏輯沒(méi)有量詞的概念，德?摩根突破傳統(tǒng)邏輯以“是”為中心的三段論，開(kāi)創(chuàng)了關(guān)系邏輯的研究，弗雷格則在關(guān)系邏輯的基礎(chǔ)上，首次引進(jìn)了“函項(xiàng)”和“量詞”概念，從而將以“命題”為研究對(duì)象的數(shù)理邏輯，推進(jìn)與深入至以“命題內(nèi)部的關(guān)系與性質(zhì)”（謂詞）為研究對(duì)象。1.關(guān)于函項(xiàng)和變?cè)母拍?.關(guān)于量詞理論的研究1.3弗雷格的邏輯演算1.3.2創(chuàng)造了一種嚴(yán)格的形式語(yǔ)言（概念語(yǔ)言）弗雷格認(rèn)為:為建立邏輯運(yùn)算必須首先創(chuàng)造一種嚴(yán)格的形成語(yǔ)言（以算術(shù)為模型的純思維的符號(hào)語(yǔ)言），從而實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言的符號(hào)化和思維的演算化。因此,他揚(yáng)棄了布爾邏輯代數(shù)及其符號(hào)語(yǔ)言的局限性,提出了他的“概念語(yǔ)言”。1.斷定符號(hào)卜弗雷格最先發(fā)現(xiàn)了一個(gè)命題的敘述和肯定它為真，這二者之間是有區(qū)別的，并指出了:命題總是非真即假的，而“命題的敘述”（命題函數(shù)）則并不如此。于是，他用卜符號(hào)放在命題的前面，表示該命題的敘述是肯定的。據(jù)此，“卜a”表示命題a是一個(gè)肯定的斷言。其中：“丨”稱(chēng)為判斷短線(xiàn)；"—”稱(chēng)為內(nèi)容短線(xiàn)，表示命題。的內(nèi)容表述；“卜”是一個(gè)斷定符號(hào)，如果去掉判斷短線(xiàn)“丨”，那么“一”表示內(nèi)容短線(xiàn)右方的記號(hào)所表達(dá)的內(nèi)容是沒(méi)有加以斷定的。1.3弗雷格的邏輯演算2.蘊(yùn)涵詞和初始聯(lián)結(jié)詞弗雷格所應(yīng)用的命題聯(lián)結(jié)詞僅是蘊(yùn)涵和否定詞。對(duì)此，他分別引進(jìn)了如下符號(hào)："—a”表不命題a；“丁/'表示命題a的否定，即非a；表示命題a蘊(yùn)涵bo然后，由此出發(fā)定義了其他一些初始聯(lián)結(jié)詞,如下：—I———I——b表示“并非a蘊(yùn)涵非6”，亦即“a且b”,方表示“非a蘊(yùn)涵6”，亦即“a或6”。1.3弗雷格的邏輯演算3.符號(hào)三的涵義弗雷格說(shuō):“F（a-6）意為記號(hào)a和記號(hào)6具有同樣的概念內(nèi)容，使得我們總能用6或a換成a,反之亦然”。后來(lái)，他把符號(hào)三改為=。=看成名稱(chēng)的所指之間的關(guān)系，相當(dāng)于等詞，用于命題的所指（其值），相當(dāng)于等值符號(hào)1.3弗雷格的邏輯演算4.函項(xiàng)和量詞在概念語(yǔ)言中,弗雷格將函項(xiàng)表示為人a）;用/（）表示函項(xiàng)運(yùn)算;全稱(chēng)量詞的符號(hào)是： O f（a）表示“凡a都是尸'；存在量詞是建立在全稱(chēng)量詞的基礎(chǔ)上的,其符號(hào)是: 媚丿一|—f（a）表示“并非所有的a都是尸';「一戲丿 犬a(chǎn)）表示“凡a都不是;O一|一大心）表示“并非所有的a都不是尸',亦即“有的a是尸'。1.3弗雷格的邏輯演算1.3.3應(yīng)用公理化方法建立起一階謂詞演算系統(tǒng)在引進(jìn)函項(xiàng)和量詞概念，創(chuàng)立了一種嚴(yán)格的形式語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，弗雷格應(yīng)用數(shù)學(xué)的公理化方法，從少量的最基本、最簡(jiǎn)單的諸如排中律、矛盾律等符號(hào)化了的概念與公理（邏輯真理）出發(fā),建立必要的推理規(guī)則，一步一步地推出新的定理，使他所創(chuàng)立的邏輯演算成為所有這些邏輯規(guī)律（或邏輯真理）所構(gòu)成的形式系統(tǒng)。為此，他做了以下工作:第一，提出了九條公理。第二，給出了四條推理規(guī)則。第三，建立起邏輯演算系統(tǒng)。命題演算和謂詞演算系統(tǒng)的完善1.41.4命題演算和謂詞演算系統(tǒng)的完善在弗雷格創(chuàng)立了邏輯演算系統(tǒng)之后，對(duì)邏輯演算作出進(jìn)一步改進(jìn)與完善的有意大利著名數(shù)學(xué)家兼邏輯學(xué)家皮亞諾（Peano,1858—1932）,英國(guó)杰出哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、國(guó)際知名學(xué)者羅素（Russell,1872—1970，見(jiàn)圖1-5）,以及法國(guó)偉大數(shù)學(xué)家、形式公理主義的鼻祖、國(guó)際數(shù)學(xué)界的領(lǐng)軍人物希爾伯特。其中最為主要的是羅素。1.4命題演算和謂詞演算系統(tǒng)的完善1.4.1皮亞諾的符號(hào)體系皮亞諾獨(dú)立于弗雷格,在數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究方面取得了許多重要成果。其中對(duì)邏輯演算的進(jìn)一步完善作出了如下貢獻(xiàn)：其一，創(chuàng)立了一套簡(jiǎn)單而易懂的符號(hào)體系。其二,公理化的思想方法。其三，將公理化方法應(yīng)用于邏輯的研究1.4命題演算和謂詞演算系統(tǒng)的完善1.4.2羅素進(jìn)一步完善了命題演算系統(tǒng)羅素自少年時(shí)代起就對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，他18歲進(jìn)入劍橋大學(xué),1895年寫(xiě)出了關(guān)于幾何基礎(chǔ)的第一篇論文，因此獲得了在大學(xué)擔(dān)任研究員的資格。他是分析哲學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者之一，是邏輯主義學(xué)派的主要代表人物，他發(fā)現(xiàn)與提出了集合論悖論，在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究邏輯方面的主要成果集中在他與懷特海（Whitehead,1861-1947）合作的巨著《數(shù)學(xué)原理》（1910-1913年出版的關(guān)于哲學(xué)、數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯的三大卷巨著）中。羅素從事數(shù)學(xué)和邏輯密切結(jié)合的數(shù)理邏輯的研究，其主要目的和弗雷格不約而同，都是試圖從邏輯演算出發(fā)，推出算術(shù)，進(jìn)而推出全部數(shù)學(xué)，最終將數(shù)學(xué)化歸為邏輯。羅素的邏輯演算和弗雷格相比較而言,其嚴(yán)密性不及弗雷格,但羅素接受與采納了皮亞諾的符號(hào)體系,克服了弗雷格復(fù)雜而難懂的形式語(yǔ)言與符號(hào)的局限性。所以,《數(shù)學(xué)原理》第一卷第一部分所論述的“命題演算系統(tǒng)”被公認(rèn)是最為完善的。羅素將其稱(chēng)之為演算理論，亦即完全公理化了命題演算系統(tǒng)，其主要內(nèi)容是初始概念、初始命題（公理）、推理規(guī)則和定理構(gòu)成的體系。1.4命題演算和謂詞演算系統(tǒng)的完善1.4.3希爾伯特完善了一階謂詞演算系統(tǒng)羅素不僅進(jìn)一步完善了弗雷格的命題演算系統(tǒng)，而且獨(dú)立地建立起一階謂詞演算系統(tǒng)。但是，羅素和弗雷格分別建立的一階謂詞系統(tǒng)存在著一個(gè)共同的局限:對(duì)謂詞變項(xiàng)的代入沒(méi)有給出明確的規(guī)則。于是，希爾伯特和他的學(xué)生阿克曼（WilhelmAckermann,1896—1962）于1928年在合著的《理論邏輯基礎(chǔ)》中克服了這一局限，并給出了謂詞變項(xiàng)代入的明確而嚴(yán)格的規(guī)則。為此，這里簡(jiǎn)單介紹一下希爾伯特發(fā)展了一階謂詞演算系統(tǒng)。一階謂詞演算系統(tǒng)是在命題演算系統(tǒng)（以命題為研究對(duì)象）的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。它深入到命題的內(nèi)部，將陳述句中的個(gè)體屬性或個(gè)體之間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)等作為自己的研究對(duì)象。1古典集合論的創(chuàng)立2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)(集合論悖論)的引發(fā)3集合論的公理化第2章集合論公理化古典集合論的創(chuàng)立2.12.1古典集合論的創(chuàng)立2.1.1康托爾的實(shí)無(wú)窮集合及其造集原則對(duì)于什么是“無(wú)窮集合”？康托爾拒絕自古以來(lái)只承認(rèn)潛無(wú)窮的偏見(jiàn)，自稱(chēng)自己置于“關(guān)于無(wú)窮大的流行觀(guān)點(diǎn)以及關(guān)于數(shù)的性質(zhì)公認(rèn)意見(jiàn)的對(duì)立面”，旗幟鮮明地宣稱(chēng):“無(wú)窮集合是一個(gè)實(shí)在的整體”01.集合是一個(gè)實(shí)在的“被人的心智思考的整體”2.康托爾的概括原則3.集合的概念及其類(lèi)別是由它的元素決定的4.集合的簡(jiǎn)單運(yùn)算2.1古典集合論的創(chuàng)立2.1.1應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)原則引進(jìn)了“勢(shì)”的概念在提出實(shí)無(wú)窮集合概念和造集的概括原則之后,為建立起兩個(gè)集合之間的“等價(jià)”和“大小”等概念，康托爾將“一一對(duì)應(yīng)”的原則應(yīng)用于無(wú)窮集合,首次提出了集合論中的“勢(shì)”（后改為“基數(shù)”）這個(gè)重要而關(guān)鍵的概念。2.1古典集合論的創(chuàng)立2.1.3集合論觀(guān)點(diǎn)下的實(shí)數(shù)集1873年11月29日，康托爾在給戴德金的信中提出:全體正整數(shù)集合N和全體實(shí)數(shù)集合R之間能否建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？他認(rèn)為:對(duì)此不能過(guò)分地相信直覺(jué)，而應(yīng)給出數(shù)學(xué)的證明。為此，他利用對(duì)無(wú)窮集合的分類(lèi)，得到了如下出乎意料的結(jié)論。1.有理數(shù)的集合是可列的2.代數(shù)數(shù)集合也是可列的3.實(shí)數(shù)集是不可列的2.1古典集合論的創(chuàng)立2.1.4超限基數(shù)和超限序數(shù)根據(jù)實(shí)數(shù)集是不可列的,而有理數(shù)集合代數(shù)數(shù)集是可列的?？低袪枖嘌?不僅無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)一定大大地超過(guò)有理數(shù),而且必存在更大的超限數(shù)。于是,他開(kāi)始思考與猜想正整數(shù)N和實(shí)數(shù)集R之間是否存在更大的“無(wú)窮數(shù)”o1874年到1877年他證明了有悖于直覺(jué)的n級(jí)空間的點(diǎn)集和直線(xiàn)上的點(diǎn)是可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并開(kāi)始在其中用“基數(shù)”取代“勢(shì)”的概念。據(jù)此，他確信集合論的核心是把數(shù)或量的概念從有限數(shù)拓展至無(wú)限數(shù)。在此基礎(chǔ)上,康托爾試圖從無(wú)窮集合出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的運(yùn)算法則導(dǎo)出新的非實(shí)數(shù)“超限數(shù)”。于是，他首次引進(jìn)了超限基數(shù)和超限序數(shù)的概念。對(duì)此，他在1883年發(fā)表的關(guān)于線(xiàn)性集合的第五篇文章中講到:“這一重要的一步，其目的在于擴(kuò)展或推廣實(shí)數(shù)的整數(shù)序列到無(wú)窮大以外,……”2.1古典集合論的創(chuàng)立1.集合的基數(shù)和序數(shù)為了將數(shù)的概念與性質(zhì)拓展到實(shí)的整數(shù)序列到無(wú)窮大以外，他開(kāi)始把集合的“勢(shì)”改稱(chēng)為“基數(shù)”，并聲稱(chēng):對(duì)于有限集合，基數(shù)表示集合的元素個(gè)數(shù);對(duì)于無(wú)窮集合,基數(shù)則需要引進(jìn)新的“數(shù)”及其符號(hào)。為此，他用符號(hào)X（阿托夫）表示無(wú)窮集合的元素個(gè)數(shù)；用符號(hào)X0（阿托夫零）表示自然數(shù)集合的基數(shù);用c（連續(xù)統(tǒng)Continum的第一個(gè)字母）表示實(shí)數(shù)集合的基數(shù)，并且有C>Koo然后，進(jìn)一步定義了兩個(gè)基數(shù)之間的“和”、“乘積”和“乘辯”等概念，以及任一無(wú)窮集合A的“幕集”的概念。接著,又發(fā)現(xiàn)與證明了集合論中的一個(gè)重要定理:“任何集合A的賽集的基數(shù)大于該集合的基數(shù)”（人稱(chēng)康托爾定理）。關(guān)于集合的序數(shù)概念，康托爾指出:對(duì)于某集合A而言，如果能給出一種排列的規(guī)則屮，按照W能使集合A的元素處于某種順序之中，則稱(chēng)該集合A是有序的，并用記號(hào)（A,p）表之。2.1古典集合論的創(chuàng)立2.超限基數(shù)和超限序數(shù)根據(jù)上述集合的基數(shù)和序數(shù)的定義，康托爾將無(wú)窮集合（良序集）的基數(shù)和序數(shù)分別稱(chēng)為超限基數(shù)和超限序集（統(tǒng)稱(chēng)“超限數(shù)”），然后為了在X。和/的基礎(chǔ)上確切地定義更大的超限基數(shù)和超限序數(shù)。2.1古典集合論的創(chuàng)立3.連續(xù)統(tǒng)猜想的發(fā)現(xiàn)康托爾在古典集合論中提出了康托爾定理:“任何集合A的冨集的基數(shù)大于該集合的基數(shù)”。這對(duì)于有限集而言，是顯示成立的。例如:任何含有4個(gè)元素的有限集可構(gòu)出24個(gè)子集,因此，其冨集的基數(shù)為2二且24>4。但是，對(duì)于無(wú)窮集合而言，康托爾指出:如果給定集合的基數(shù)是X0，則該集合的全體子集所構(gòu)成的賽集應(yīng)具有基數(shù)2，。。他用符號(hào)C表示實(shí)數(shù)集的基數(shù)，則有C>X。,為此，他試圖證明超限數(shù)X。的后繼基數(shù)跖=2恥。如果能給出證明測(cè)表示：自然數(shù)集的基數(shù)X。和實(shí)數(shù)集基數(shù)C=X］之間一定沒(méi)有別的超限基數(shù)了。但是,他證明N1<2K°卻無(wú)法證明心=2恥。于是，他大膽地提出了Xi=2'。的這一猜想或假設(shè)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

（集合論悖論）的引發(fā)2.22.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（集合論悖論）的引發(fā)古典集合論的創(chuàng)立意味著數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)從有限性的實(shí)數(shù)論進(jìn)入了以實(shí)無(wú)窮集合論為理論基礎(chǔ)的新時(shí)代。因此,古典集合論的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一個(gè)具有劃時(shí)代意義的數(shù)學(xué)成果，但是，它不可避免地存在著一定的歷史局限與不足,其主要點(diǎn)是:其一，康托爾的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)是:“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”“數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域的區(qū)別在于它的自由創(chuàng)造自己的概念，而無(wú)需顧及是否存在”O(jiān)因此，他的實(shí)無(wú)窮集合和超限數(shù)是心智或心靈自由創(chuàng)造（非邏輯思維）出來(lái)的，難免存在著一些不嚴(yán)密與不精確之處。其二，它的造集原則是外延原則和概括原則,是外延（一個(gè)集合由它的元素唯一的確定）基礎(chǔ)上的概括（每一具有性質(zhì)P產(chǎn)生一個(gè)集合）。由于他對(duì)概括原則未作任何的限制，只給出了一個(gè)描述性的定義。這種借助于一個(gè)“總體”（或“整體”）來(lái)定義“集合”的重言式定義方式，其中隱含了諸如“一切集合是集合”的悖論。其三，在引進(jìn)超限基數(shù)和超限序數(shù)等深?yuàn)W莫測(cè)、難以捉摸的抽象概念中，反復(fù)使用了“不斷延伸原則”和“相對(duì)窮竭原則”，背離與揚(yáng)棄了傳統(tǒng)的極限論及其潛無(wú)窮的立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)。2.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（集合論悖論）的引發(fā)2.2.1不同立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)的對(duì)立康托爾是站在“關(guān)于無(wú)窮大的流行觀(guān)點(diǎn)和關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的公認(rèn)意見(jiàn)的對(duì)立面”上創(chuàng)立了古典集合論。由于自古以來(lái)對(duì)于數(shù)學(xué)的無(wú)窮觀(guān)一直存在著潛無(wú)窮和實(shí)無(wú)窮的對(duì)立，并以潛無(wú)窮觀(guān)占據(jù)著主導(dǎo)地位，因此，古典集合論剛誕生便受到堅(jiān)持潛無(wú)窮觀(guān)的一批數(shù)學(xué)家的諷刺與否定，尤其是康托爾的老師、構(gòu)造主義和潛無(wú)窮觀(guān)的重要代表人物克羅內(nèi)克，一開(kāi)始就反對(duì)康托爾的實(shí)無(wú)窮集合的立場(chǎng)和拒絕非實(shí)數(shù)的超限數(shù)。他具有學(xué)霸作風(fēng)，不僅歷來(lái)嫉妒并與康托爾交惡，而且攻擊康托爾是騙子,致使康托爾于1884年精神失常。著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊（H.Poincare,1854-1912）則批評(píng)康托爾說(shuō):“……某些明顯矛盾的事情已經(jīng)發(fā)生了,這將使愛(ài)利亞學(xué)派的芝諾等人高興,……重要之點(diǎn)在于:切勿引進(jìn)有限個(gè)文字會(huì)完全定義好東西”，他認(rèn)為無(wú)窮集合論是“邪氣與病態(tài)的墳?zāi)埂?，“后一代將把（康托爾的）集合論?dāng)作疾病”。著名數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl,1885-1955）則稱(chēng)康托爾的超限數(shù)X的等級(jí)是“霧中之霧”……2.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（集合論悖論）的引發(fā)但是，國(guó)際數(shù)學(xué)界的領(lǐng)軍人物,形式公理化的鼻祖希爾伯特則肯定與贊賞康托爾創(chuàng)立的古典集合論，他在1926年稱(chēng)贊說(shuō):“這對(duì)我來(lái)說(shuō)是最值得敬佩的數(shù)學(xué)理智之花,也是純粹理性范疇中人類(lèi)活動(dòng)所取得的最高成就之一”，并聲稱(chēng):“沒(méi)有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂(lè)園中驅(qū)逐出去”。另一位學(xué)術(shù)權(quán)威，杰出的邏輯學(xué)家兼數(shù)學(xué)家羅素則稱(chēng)贊康托爾是19世紀(jì)最偉大的智師之一，贊揚(yáng)他“解決了先前圍繞著數(shù)學(xué)無(wú)限的難題，可能是我們這個(gè)時(shí)代值得夸躍的最偉大的工作”。由此可見(jiàn)，古典集合論創(chuàng)立不久,便呈現(xiàn)了贊賞實(shí)無(wú)窮觀(guān)和堅(jiān)持潛無(wú)窮觀(guān)的對(duì)立。面對(duì)這一對(duì)立,康托爾則宣稱(chēng):“我的理論堅(jiān)如磐石,每支射向它的箭都會(huì)迅速?gòu)椈?射向那些射手自己”。2.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（集合論悖論）的引發(fā)2.2.2集合論悖論的最初發(fā)現(xiàn)前已指出:康托爾利用外延原理和概括原理描述的集合定義，由于對(duì)概括原則未作任何限制，所以其中必隱含著“一切集合的集合”的悖論,前又指出:集合論的嚴(yán)密與統(tǒng)一的定義是可以和集合論的創(chuàng)立與發(fā)展并行不悖的，所以集合論悖論的發(fā)現(xiàn)都是古典集合論創(chuàng)立之后，在其發(fā)展與深入的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，最初發(fā)現(xiàn)的是：1.布拉利一福蒂的最大序數(shù)悖論2.康托爾的最大基數(shù)悖論2.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（集合論悖論）的引發(fā)2.2.3羅素正式而明確地提出集合論悖論（羅素悖論）1900年之前，應(yīng)該說(shuō)人們已發(fā)現(xiàn)了古典集合論中存在著“一切集合的集合”的悖論。但是人們對(duì)此未加重視，也未感到不安。即使意識(shí)到了，也只是將其視為僅僅是古典集合論本身存在著專(zhuān)門(mén)術(shù)語(yǔ)或某種技術(shù)性的問(wèn)題。然而,1902年羅素在研究康托爾悖論的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)與提出了一個(gè)數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)相結(jié)合的集合論悖論（人稱(chēng)“羅素悖論”），并將此通知了弗雷格。1903年,羅素在《數(shù)學(xué)原理》中，將集合分成兩種:一種是本身分子集，如“一切集合所組成的集合”是一個(gè)本身分子集;另_種是非本身分子集,如自然數(shù)集合N決不是某一自然數(shù)n。這樣，任給一個(gè)集合,它或者是本身分子集，或者是非本身分子集,不應(yīng)有其他例外。集合論的公理化2.32.3集合論的公理化羅素悖論的提出和第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的引發(fā)，使數(shù)學(xué)處于一種邏輯和理論基礎(chǔ)突然崩塌的悲慘境地。它給全體貫注于數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化的數(shù)學(xué)家潑了一盆冷水，對(duì)于接受與贊賞集合論的數(shù)學(xué)家，則給了他們回顧與分析悖論的成因以及尋找消除這一悖論途徑的動(dòng)力。在這種探索中，數(shù)學(xué)家們比較普遍地認(rèn)識(shí)到不能像弗雷格那樣用概念的外延去定義類(lèi)（或集合），必須揚(yáng)棄康托爾應(yīng)用不加限制的概括原則對(duì)集合作出直觀(guān)性與描述性的定義，而應(yīng)遵循以往數(shù)學(xué)的公理化方法解決這些領(lǐng)域中的邏輯問(wèn)題，將古典集合論加以公理化。對(duì)此,1906年羅素立足于哲學(xué)和邏輯學(xué)提出了一個(gè)以邏輯公理為基礎(chǔ)的“分支類(lèi)型論”方案。1908年，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家策梅洛（德語(yǔ)：ErnstFriedrichFerdinandZermelo,1871-1953，見(jiàn)圖2-4）則提出了一個(gè)以非邏輯的數(shù)學(xué)公理為基礎(chǔ)的“集合論公理化”的方案。2.3集合論的公理化2.3.1羅素的分支類(lèi)型論弗雷格和羅素都是邏輯主義的代表人物,他們應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究邏輯的最終目的不是“邏輯的數(shù)學(xué)化”，而是“數(shù)學(xué)的邏輯化（將數(shù)學(xué)化歸為邏輯）”。因此，羅素的分支類(lèi)型論是立足于哲學(xué)與邏輯學(xué)，將集合論定位在邏輯學(xué)范疇之內(nèi)，并將其建立在純邏輯公理之上。因此他的分支類(lèi)型論是一種非數(shù)學(xué)的，用哲學(xué)與邏輯學(xué)思想及其語(yǔ)言加以表述的。1.羅素對(duì)集合論成因的分析2.提出了分支類(lèi)型論2.3集合論的公理化2.3.2策梅洛的集合論公理化德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅洛在1908年發(fā)表的論文《集合論的基礎(chǔ)研究》的開(kāi)頭說(shuō):“集合論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,其任務(wù)是數(shù)學(xué)地研究“數(shù)”、“次序”和“函數(shù)”這些概念……現(xiàn)受到某些矛盾或悖論的威脅……我們只能反其道而行之,從歷史上給定的集合論出發(fā)，尋求為確立這門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)所需要的原理。另一方面,在解決問(wèn)題時(shí)，我們必須使用這些原理充分地限于排除一切悖論……以保留這一理論中的一切有價(jià)值的東西”。由此可見(jiàn),與羅素的分支類(lèi)型論不同，他是立足于數(shù)學(xué),用集合論公理化的思想,來(lái)排除集合論悖論。1.策梅洛的集合論公理化思想2.ZFC系統(tǒng)的建立3.有關(guān)選擇公理的必要性與獨(dú)立性的爭(zhēng)論4.忽視了ZFC系統(tǒng)的相容性問(wèn)題,更未加以證明1邏輯主義2直覺(jué)主義3形式主義4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述第3章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)單擊此處添加標(biāo)題內(nèi)容從古典集合論的創(chuàng)立到集合論的公理化,在數(shù)學(xué)發(fā)展史中具有重要的地位。這不僅意味著集合論取代實(shí)數(shù)論成為整個(gè)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，標(biāo)志著數(shù)理邏輯的第一分支——“公理集合論”的誕生,而且這一演變過(guò)程,顯示了有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的不同立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)的分歧早在1900年之前就已經(jīng)出現(xiàn)。比如：其一，羅素立足于哲學(xué)和邏輯學(xué),其從事邏輯的數(shù)學(xué)化的主要宗旨是將數(shù)學(xué)化歸為邏輯。所以他的分支類(lèi)型論是建立在純邏輯公理基礎(chǔ)上的，他的集合論是屬于邏輯學(xué)范疇的；其二，持潛無(wú)窮觀(guān)和直覺(jué)主義立場(chǎng)的數(shù)學(xué)家，對(duì)古典集合論的創(chuàng)立,一開(kāi)始便采取了否定、諷刺與攻擊的態(tài)度；其三，希爾伯特倡導(dǎo)數(shù)學(xué)的公理化思想,策梅洛將非邏輯的實(shí)無(wú)窮引入公理系統(tǒng),提出了公理集合論思想。單擊此處添加標(biāo)題內(nèi)容由此可見(jiàn)，有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的不同立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)的對(duì)立，早已“冒了煙”。20世紀(jì)初,在消除集合論悖論的過(guò)程中，又出現(xiàn)了ZFC系統(tǒng)相容性危機(jī)。在面臨“羊圈里是否有狼”不得而知的背景下，數(shù)學(xué)既不能保證由ZFC系統(tǒng)出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)的數(shù)學(xué)命題是正確與可靠的,又不能保證今后又會(huì)出現(xiàn)什么新的矛盾或悖論。因此，有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題再次引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注,并提出了問(wèn)題，諸如：①集合論的“真實(shí)無(wú)窮集合”是不是一個(gè)合理的概念？②邏輯本身和數(shù)學(xué)的關(guān)系究竟是什么？③公理化及其相容性證明是否是數(shù)學(xué)真理性的唯一標(biāo)準(zhǔn)？大約到1910年左右，在眾多具有影響力與知名度的哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家的直接參與下,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的諸流派展開(kāi)了有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的激烈爭(zhēng)論，其主題是“數(shù)學(xué)本質(zhì)及其推理的確定性與真理性問(wèn)題”，其主要學(xué)派有邏輯主義、直覺(jué)主義和形式公理主義。邏輯主義3.13.3邏輯主義邏輯主義是一批立足于哲學(xué)和邏輯學(xué),應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究形式邏輯的邏輯學(xué)家兼數(shù)學(xué)家,其主要代表人物是羅素和弗雷格。他們致力于在邏輯的數(shù)學(xué)化（邏輯演算系統(tǒng)）基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯化，亦即試圖從邏輯公理出發(fā)，推導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)，從而將數(shù)學(xué)化歸為邏輯，使數(shù)學(xué)成為邏輯學(xué)的一個(gè)分支。為此，他們?cè)诠诺浼险搫?chuàng)立之后,實(shí)現(xiàn)了邏輯的數(shù)學(xué)化（命題演算和謂詞演算系統(tǒng)），在集合論悖論發(fā)現(xiàn)之前，在邏輯的數(shù)學(xué)化基礎(chǔ)上開(kāi)始了數(shù)學(xué)的邏輯化。邏輯主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)及其主要宗旨集中發(fā)表與記載在弗雷格的重要著作《算術(shù)基礎(chǔ)》（1885年），羅素的《數(shù)學(xué)的原理》（1903年），以及羅素和懷特海合著的具有權(quán)威性的《數(shù)學(xué)原理》中。3.3邏輯主義3.1.1邏輯主義:數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是邏輯邏輯主義者是古希臘柏拉圖主義的“數(shù)存在于理念世界”的信奉者與支持者，于是，他們贊賞康托爾的實(shí)在的無(wú)窮集及其超限數(shù)，以及數(shù)學(xué)的公理化方法。在數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)及其邏輯本身和數(shù)學(xué)的關(guān)系上,他們堅(jiān)持如下兩條原理：第一，數(shù)學(xué)的概念可以從邏輯的概念出發(fā)作出定義；第二，數(shù)學(xué)的定理可以從邏輯的定理或命題出發(fā)獲得證明。于是，全部數(shù)學(xué)可以從邏輯及其法則出發(fā)推導(dǎo)出來(lái),而且邏輯法則的真理性保證了數(shù)學(xué)的真理性。其理論體系是:“邏輯——集合——數(shù)學(xué)”,亦即:數(shù)學(xué)是以集合論為基礎(chǔ)的，而集合論（分支類(lèi)型論）則是建立在邏輯公理系統(tǒng)之上的。據(jù)此，弗雷格從邏輯外延原則出發(fā),引進(jìn)類(lèi)的概念,將“數(shù)”定位于一種對(duì)象而不是概念。然后，應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)的原則,將概念“自己不是自己”的外延確定為空集，由空集組成的類(lèi)稱(chēng)為0。3.3邏輯主義3.1.2從邏輯出發(fā)能否推出數(shù)學(xué)邏輯主義的思想萌芽于邏輯是先于一切科學(xué)的先驗(yàn)真理。因此，羅素與弗雷格確信從他們提出的公理系統(tǒng)出發(fā),不需任何數(shù)學(xué)所持有的任何公理便可推導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)。為此,弗雷格用了近20年把算術(shù)化歸為邏輯。羅素的《數(shù)學(xué)原理》則致力于從第1章1.4所給出的公理系統(tǒng)和推理規(guī)則出發(fā)，推導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)。但是,只有純邏輯公理，沒(méi)有非邏輯的數(shù)學(xué)公理,只能用邏輯術(shù)語(yǔ)對(duì)類(lèi)的概念作出適當(dāng)?shù)囟x，要對(duì)自然數(shù)、實(shí)數(shù)及超限數(shù)等涉及無(wú)窮基數(shù)和無(wú)窮序數(shù)的概念作出數(shù)學(xué)地定義是不可能的。為此，羅素為了堅(jiān)持從邏輯推出數(shù)學(xué)的立場(chǎng)，將相當(dāng)于無(wú)窮公理和相乘公理（選擇公理）不列入他的邏輯公理系統(tǒng)之中，當(dāng)必須用到這兩條公理才能推出或證明某定理時(shí)，一律將它們作為“假設(shè)”。3.3邏輯主義3.1.3分支類(lèi)型論能否推出數(shù)學(xué)羅素和邏輯主義者聲稱(chēng)他的全部數(shù)學(xué)是建立在集合論（分支類(lèi)型論）的基礎(chǔ)上的，而集合論（分支類(lèi)型論）是屬于邏輯范疇的。因此,從已給出的邏輯公理（不需另外的公理）出發(fā)，通過(guò)分支類(lèi)型論便可推出實(shí)數(shù)系、復(fù)數(shù)系和全部數(shù)學(xué)。既然分支類(lèi)型論是屬于邏輯范疇的，那么從邏輯范疇的分支類(lèi)型論出發(fā),不需別的非邏輯公理，如何能夠推出非邏輯的全部數(shù)學(xué)呢？于是,邏輯主義批評(píng)者指出：①羅素的分支類(lèi)型論本質(zhì)上是由某各命題函數(shù)（謂詞）的東西（元素）所組成的“類(lèi)”（class）,“關(guān)系relation）是滿(mǎn)足二元命題函數(shù)的偶所組成的類(lèi)。②類(lèi)和集合是既有聯(lián)系,又有區(qū)別的兩個(gè)不同概念。類(lèi)是由邏輯外延概括出來(lái)的概念;集合是由滿(mǎn)足某一性質(zhì)的所有元素構(gòu)成的整體。集合可以屬于其他集合，而類(lèi)不能屬于更大的類(lèi);所有的集合都是類(lèi),但不是所有類(lèi)都是集合。3.3邏輯主義3.1.4約化公理之爭(zhēng)羅素和邏輯主義者引進(jìn)的惡性循環(huán)原則，雖然可以避免集合論悖論，但是徹底排斥非直謂定義法卻拋棄了眾多有用的數(shù)學(xué)概念與定理;分支類(lèi)型論雖然可以消除集合論悖論,但是它既顯得語(yǔ)言表述上復(fù)雜,邏輯上支離破碎,又難以實(shí)現(xiàn)邏輯主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)。因此，羅素一度處于堅(jiān)持惡性循環(huán)原則（可排除集合論悖論）還是放棄惡性循環(huán)原則（放棄消除悖論的努力）的兩難境地之中，他試圖引進(jìn)“約化公理”來(lái)取代惡性循環(huán)原則。所謂“約化公理”是“任何（廣義）的公式都可以和一個(gè)直謂（廣義）公式相等價(jià)”。或者說(shuō):一個(gè)非直謂的函項(xiàng)都有一個(gè)形式上等值的直謂函項(xiàng)（所謂形式上等值就是它們對(duì)每一可能變?cè)型瑯拥恼嬷担?有了這個(gè)公理之后,就可用直謂函項(xiàng)替代非直謂函項(xiàng)，并且可將任一類(lèi)中較高級(jí)別的性質(zhì)化歸為同一類(lèi)中較低級(jí)別的性質(zhì)，以此類(lèi)推,剩下的就是沒(méi)有惡性循環(huán)的簡(jiǎn)單類(lèi)型論了。直覺(jué)主義3.23.2直覺(jué)主義針對(duì)古典集合論的創(chuàng)立及其悖論的引發(fā)以及邏輯主義的“數(shù)學(xué)化歸為邏輯”的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)，一群早期持直覺(jué)主義和潛無(wú)窮觀(guān)的知名數(shù)學(xué)家采取了截然不同和全然相反的立場(chǎng)，如克羅內(nèi)克（Kronecker,1823-1891）的名言:“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余的一切都是人造的”，并否定無(wú)理數(shù)與實(shí)無(wú)窮的存在。龐加萊堅(jiān)持潛無(wú)窮觀(guān)，認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法是一種直觀(guān)的思想方法，他拒絕非直謂定義的思想，明確提出：“數(shù)學(xué)的所有定義和證明都必須是構(gòu)造性的”……但是，在當(dāng)時(shí)所有類(lèi)似于這些的觀(guān)點(diǎn)都是零散的、片段的、不系統(tǒng)的。真正提出與堅(jiān)持直覺(jué)主義數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)的主要代表人物是荷蘭的著名哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家布勞維爾(Brower,1881—1966)。布勞維爾于1897年進(jìn)入阿姆斯特丹大學(xué)學(xué)習(xí)，1907年獲博士學(xué)位,1909年任該校講師,1912年任副教授,1913年任教授。他于1907年開(kāi)始從事數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，發(fā)表了一系列的論文:《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(1907)，《邏輯規(guī)則的不可靠性＞(1908)，《論幾何學(xué)的性質(zhì)》(1909)，《直覺(jué)主義和形式主義》(1912)。在這些論文中，布勞維爾通過(guò)哲學(xué)性的思考,接受與發(fā)展了德國(guó)著名哲學(xué)家康德(Kant,1724-1804)的“數(shù)學(xué)概念源于心智的直覺(jué)，而獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)”及“數(shù)是心智創(chuàng)造的抽象實(shí)體”等直覺(jué)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)，提出了以可信性、能行性與可構(gòu)造性為根本出發(fā)點(diǎn)的“直覺(jué)一可構(gòu)造”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)，并采用了較為激進(jìn)的態(tài)度,排斥康托爾的實(shí)無(wú)窮集合及其超限數(shù)理論，批判邏輯主義的邏輯原理和公理化的經(jīng)典數(shù)學(xué)。3.2直覺(jué)主義3.2.1直覺(jué)主義:直覺(jué)——可構(gòu)造以布勞維爾為主要代表人物的直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)是:“數(shù)學(xué)對(duì)象的存在是被心靈構(gòu)造出來(lái)的”0布勞維爾賦予“構(gòu)造”這個(gè)概念的哲學(xué)涵義:“直覺(jué)是人心對(duì)于它所構(gòu)造的東西的清晰理解”，亦即把“構(gòu)造”同直覺(jué)和人的心智連在一起。直覺(jué)主義在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的主要立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)是：①數(shù)學(xué)概念必須來(lái)自直覺(jué)。這種“直覺(jué)”不是對(duì)外部世界某事物的抽象概括，而是人腦思維的一種內(nèi)省的心智的創(chuàng)造，是一種明白的易于被人接受的“原始直覺(jué)”；②數(shù)學(xué)的概念和方法必須是在有限步驟內(nèi)有序地構(gòu)造出來(lái)的；③“存在必須被構(gòu)造”。3.2直覺(jué)主義3.2.2排斥實(shí)在的無(wú)窮集合和超限數(shù)理論一批堅(jiān)持直覺(jué)主義及其潛無(wú)窮論的知名學(xué)者,在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的三大派之爭(zhēng)中,聲稱(chēng):實(shí)在的無(wú)窮集合及其超限數(shù)是不可構(gòu)造的，攻擊集合論是神秘主義,不是數(shù)學(xué)而是玄學(xué)；非直謂定義和悖論的出現(xiàn)都來(lái)源于對(duì)實(shí)無(wú)窮的肯定，諷刺集合論悖論是整個(gè)數(shù)學(xué)感染的疾病的一個(gè)征兆;公理化及其相容性這一個(gè)魔鬼沒(méi)有任何的意義,……其正確性只可以通過(guò)直覺(jué)來(lái)判定;……3.2直覺(jué)主義3.2.3批判邏輯主義及其經(jīng)典邏輯直覺(jué)主義不僅堅(jiān)持自然數(shù)和潛無(wú)窮論，排斥實(shí)在的無(wú)窮集,而且反對(duì)邏輯主義的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)及其邏輯理論。1.數(shù)學(xué)先于邏輯2.邏輯原理是不可靠的3.2直覺(jué)主義3.2.4批判經(jīng)典數(shù)學(xué)，重建構(gòu)造性數(shù)學(xué)直覺(jué)主義不僅批評(píng)邏輯原理是不可靠的，必須構(gòu)建直覺(jué)主義邏輯,而且批判經(jīng)典數(shù)學(xué)的非構(gòu)造性,主張重建構(gòu)造性數(shù)學(xué)。1.否認(rèn)排中律2.限制反證法3.“存在必須被構(gòu)造”4.重建構(gòu)造性數(shù)學(xué)形式公理主義3.33.3形式公理主義針對(duì)邏輯主義和直覺(jué)主義者有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、國(guó)際數(shù)學(xué)界的領(lǐng)軍人物、形式公理化的創(chuàng)始者希爾伯特則提出了形式公理主義的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)。希爾伯特于1862年1月23日出生于德國(guó)東普魯士的哥尼斯堡。1880年秋,18歲的希爾伯特進(jìn)了著名的哥尼斯堡大學(xué)。他的數(shù)學(xué)研究的主攻方向是代數(shù)不變量理論。1892年，他任哥尼斯堡大學(xué)副教授，決定“離開(kāi)不變量的領(lǐng)域”，向一個(gè)新的領(lǐng)域——代數(shù)數(shù)論進(jìn)軍。1885年3月，他任哥延根大學(xué)教授。從此,希爾伯特開(kāi)始了黃金時(shí)代，1898年開(kāi)始他從數(shù)論領(lǐng)域轉(zhuǎn)向幾何基礎(chǔ),1899年出版的《幾何基礎(chǔ)》這一名著,給出了一個(gè)完整的幾何公理系統(tǒng)，將幾何公理化方法在歐幾里德的“實(shí)體公理化”和非歐幾何公理化的基礎(chǔ)上,發(fā)展到形式公理化的新階段，不僅提出了形式公理化的結(jié)構(gòu),而且給出了公理系統(tǒng)必須滿(mǎn)足完備性、獨(dú)立性和相容性的邏輯要求。人稱(chēng)其是形式公理學(xué)派的鼻祖。希爾伯特自1904年開(kāi)始從事數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，當(dāng)時(shí)的動(dòng)機(jī)是:給數(shù)提供一個(gè)不用集合論的基礎(chǔ)。因?yàn)楫?dāng)時(shí)他已將幾何的相容性約化成算術(shù)的相容性，從而使算術(shù)相容性成為一個(gè)沒(méi)有解決的具有前沿性與關(guān)鍵性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。為此，他試圖直接證明算術(shù)相容性，并戰(zhàn)勝直覺(jué)主義者克羅內(nèi)克的拋掉無(wú)理數(shù)的觀(guān)點(diǎn)。1917年開(kāi)始，面對(duì)直覺(jué)主義和邏輯主義發(fā)表的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn),尤其是直覺(jué)主義提出的數(shù)學(xué)哲學(xué)及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)，引起了希爾伯特的警覺(jué)，他決定予以抨擊。3.3形式公理主義3.3.1形式公理主義:形式公理化及其相容性希爾伯特在1927年的論文中宣稱(chēng):“為了奠定數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),我們不需要克羅內(nèi)克的上帝，也不需要龐加萊的與數(shù)學(xué)歸納法原理相應(yīng)的特殊理解力或布勞維爾的基本直覺(jué)，最后，我們也不需要羅素和懷特海的無(wú)限性、歸納性以及完備性公理。這些公理是切實(shí)的基礎(chǔ)的命題，但是不能通過(guò)相容性的證明來(lái)建立”O(jiān)于是，形式公理主義或形式公理化的基本立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)是：1.肯定實(shí)無(wú)窮集合及其超限論2.反對(duì)邏輯主義將“數(shù)學(xué)還原于邏輯”的宗旨3.拒絕直覺(jué)主義的立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)4.提出數(shù)學(xué)的真理性是形成公理化及其相容性3.3形式公理主義3.3.2數(shù)學(xué)的形式公理化希爾伯特的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)源于柏拉圖主義的“數(shù)學(xué)研究的對(duì)象盡管是抽象的，但卻是客觀(guān)存在的”“數(shù)學(xué)家提出的概念不是創(chuàng)造，而是對(duì)某種客觀(guān)存在的描述”。1926年，他在一篇文章中說(shuō):“數(shù)學(xué)思維的對(duì)象就是符號(hào)本身，符號(hào)就是本質(zhì),它們并不代表理想的物理對(duì)象;公式可能蘊(yùn)涵著直觀(guān)上有意義的敘述，但是這些涵義并不屬于數(shù)學(xué)”。因此,希爾伯特指出:“數(shù)學(xué)的形式公理化”就是要純化掉數(shù)學(xué)對(duì)象的一切與形式無(wú)關(guān)的內(nèi)容和解釋,使數(shù)學(xué)能從一組符號(hào)化了的公理出發(fā)，構(gòu)成一個(gè)純形式的演繹系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)中，那些作為出發(fā)點(diǎn)而不加證明的命題被稱(chēng)為公理或基本假設(shè)，而其余的一切命題或定理都能遵循某些設(shè)定的形式規(guī)則和符號(hào)邏輯法則逐個(gè)地依次地推演出來(lái)。所謂公理系統(tǒng)的相容性（無(wú)矛盾性）指的是這個(gè)演繹系統(tǒng)中不能同時(shí)包含一個(gè)命題和它的否命題O于是,數(shù)學(xué)的形式公理化是從一組符號(hào)化了的公理出發(fā)，推理或證明本質(zhì)上是從公理或某已知的符號(hào)公式通過(guò)設(shè)定的推理規(guī)則,推出另一個(gè)新的符號(hào)公式的符號(hào)操作。數(shù)學(xué)本身是一連串或一堆符號(hào)化了形式系統(tǒng),相容性的證明只須證明該系統(tǒng)永遠(yuǎn)不會(huì)得出諸如“1=0”這個(gè)形式的語(yǔ)句。于是，對(duì)于數(shù)學(xué)的形式公理化，希爾伯特在1925年的文章中說(shuō):“在我們?cè)?jīng)歷過(guò)的兩次悖論中,頭一次是微積分悖論，第二次是集合論悖論，我們不會(huì)再經(jīng)歷第三次，而且永遠(yuǎn)也不會(huì)”。3.3形式公理主義3.3.3希爾伯特規(guī)劃及其證明論設(shè)想1.希爾伯特規(guī)劃及其證明論設(shè)想的核心希爾伯特試圖直接證明“形式算術(shù)系統(tǒng)是相容的”，其目的是:將全部數(shù)學(xué)建立在形式公理化的基礎(chǔ)之上。2.證明論設(shè)想的核心思想有鑒于形式公理化及其相容性所需要的“模型”是不能取自感性世界或物理世界的，希爾伯特創(chuàng)造性地提出了一種將“命題證明”作為研究對(duì)象的，用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究“命題證明”的元數(shù)學(xué)或證明論（有的學(xué)者稱(chēng)其是“用數(shù)學(xué)的方法研究數(shù)學(xué)”）。3.元數(shù)學(xué)或證明論的數(shù)學(xué)思想方法希爾伯特在設(shè)計(jì)元數(shù)學(xué)或證明論的總體思想時(shí)，處于兩難的狀態(tài)之中。一方面希望保存經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念和經(jīng)典邏輯的推理原則,特別是那些與實(shí)無(wú)窮有關(guān)的概念與方法，如實(shí)的無(wú)窮集合,以及排中律等在無(wú)限論域上的使用;另一方面，又不得不承認(rèn)或接受直覺(jué)主義的可信性與構(gòu)造性只存在于有限之中的宗旨。3.3形式公理主義3.3.4圍繞形式公理化之爭(zhēng)在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的三大派之爭(zhēng)中,最為集中而激烈的是關(guān)于形式公理化及其數(shù)學(xué)真理性問(wèn)題。其一，什么是形式公理？其二，相容性與真理性之爭(zhēng)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述3.43.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述由羅素發(fā)現(xiàn)與提出的集合論悖論以及集合論公理化中發(fā)現(xiàn)與提出的ZFC系統(tǒng)相容性證明危機(jī)所引發(fā)的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的三大派之爭(zhēng)，事關(guān)“數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其推理的確定性與真理性問(wèn)題”，于是吸引了數(shù)學(xué)界、哲學(xué)界、邏輯學(xué)界和語(yǔ)義學(xué)界及其具有重大影響力的領(lǐng)軍人物的關(guān)注與參與。在這場(chǎng)激烈的爭(zhēng)論中，雖然分歧很大,相互對(duì)立，各說(shuō)各的,依然沒(méi)有取得一致的答案。但是歷史表明:它不僅為數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成和發(fā)展提供了契機(jī)與動(dòng)力，而且促進(jìn)了數(shù)學(xué)、哲學(xué)、邏輯學(xué)與語(yǔ)義學(xué)的創(chuàng)新與繁榮。這一場(chǎng)有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)，從1902年開(kāi)始大約到1928年左右逐漸地平息下來(lái)。現(xiàn)對(duì)這場(chǎng)有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的爭(zhēng)論、探索與研究作一簡(jiǎn)要的評(píng)述與小結(jié)。3.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述3.4.1關(guān)于三大派數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)的簡(jiǎn)要評(píng)述三大派的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)和自古以來(lái)數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)之間有著密切的關(guān)系?？低袪栕裱乩瓐D主義，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)概念是獨(dú)立于人類(lèi)思維活動(dòng)的客觀(guān)存在”“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的自由”。邏輯主義認(rèn)為“算術(shù)是從邏輯出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)的”，不需要引進(jìn)特別的假定，而邏輯則是一切科學(xué)的先驗(yàn)真理。直覺(jué)主義繼承康德的先驗(yàn)主義，提出了數(shù)學(xué)是由人的心靈構(gòu)造出來(lái)的。形式公理主義則堅(jiān)持柏拉圖主義，認(rèn)為:“公理及其符號(hào)語(yǔ)言是任意的,是可自由選擇的”。3.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述3.4.1關(guān)于三大派數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)的簡(jiǎn)要評(píng)述其一，忽視了數(shù)學(xué)研究的對(duì)象與內(nèi)容的客觀(guān)實(shí)在性,不承認(rèn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象與題材的真正源泉是物質(zhì)世界。所以他們遺忘了數(shù)學(xué)首先是研究自然而做出的最精致的發(fā)明，“科學(xué)一直是維持?jǐn)?shù)學(xué)生命力的血液”。其二，數(shù)學(xué)仿佛是獨(dú)立于自然和物質(zhì)世界的“人腦思維的自由創(chuàng)造物”，是“理性給自然制定規(guī)律，而不是自然給我們制定規(guī)律”0其三，強(qiáng)調(diào)語(yǔ)言的符號(hào)化，思維的演算化，崇尚數(shù)學(xué)的抽象化、一般化、嚴(yán)密化和公理化，致力于抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式化摹寫(xiě),其結(jié)果是數(shù)學(xué)的定義與內(nèi)容消失了，剩下的只是一些符合所編列成一連串公式演算。這樣一來(lái)，不僅和面向自然和現(xiàn)實(shí)世界需求的“應(yīng)用數(shù)學(xué)”分道揚(yáng)鐮，而且推進(jìn)了20世紀(jì)為數(shù)學(xué)本身需要而研究數(shù)學(xué)的“純粹數(shù)學(xué)”進(jìn)一步在數(shù)學(xué)發(fā)展中的主導(dǎo)地位。3.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述3.4.2否定了邏輯主義的將“數(shù)學(xué)化歸為邏輯”的宗旨在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的過(guò)程中，羅素和邏輯主義者提出的將數(shù)學(xué)化歸為邏輯的宗旨，不僅遭到直覺(jué)主義、形式公理主義和廣大數(shù)學(xué)家們的反對(duì)與否定,而且他們自己也最終承認(rèn)這是“一個(gè)令人迷惑的迷宮”，并最后放棄了這一宗旨。其原因不僅是過(guò)于夸張了數(shù)學(xué)和邏輯在演繹結(jié)構(gòu)上的同一性,抹殺了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)之間的質(zhì)的差異性。而且其根本原因在于邏輯主義是立足于哲學(xué)和邏輯學(xué),其出發(fā)點(diǎn)與目的是將“數(shù)學(xué)化歸為邏輯”，他們應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法研究與變革亞里士多德（Aristotle,公元前384-322）的傳統(tǒng)邏輯（邏輯的數(shù)學(xué)化）的最終目標(biāo)，是為了創(chuàng)立與發(fā)展他們的邏輯學(xué)（數(shù)學(xué)的邏輯化）。3.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述但是，我們不能因?yàn)檫壿嬛髁x的宗旨被否定而忽視或抹殺了羅素和邏輯主義者對(duì)數(shù)學(xué)所作出的以下歷史性貢獻(xiàn)。1.創(chuàng)立與完善了邏輯演算，為數(shù)理邏輯學(xué)奠定了共同基礎(chǔ)弗雷格最早引進(jìn)函項(xiàng)與量詞理論,并創(chuàng)立了邏輯演算。羅素和懷特海合作的巨著《數(shù)學(xué)原理》則進(jìn)一步完善了命題演算和謂詞演算系統(tǒng)。從而為數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成奠定了共同基礎(chǔ)。而且命題演算和謂詞系統(tǒng)的公理化方法,雖然其公理系統(tǒng)是純邏輯的，但是邏輯演算這樣的工作卻成為公理化方法在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)重要起點(diǎn)。2.羅素肯定與贊賞康托爾古典集合論的實(shí)無(wú)窮觀(guān)羅素稱(chēng)贊康托爾工作“可能是這個(gè)時(shí)代所能夸躍的最偉大的工作,康托爾的超限算術(shù)是“數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物”。他和邏輯主義者提出了“邏輯——類(lèi)（集合）——數(shù)學(xué)”的理論體系，雖然誤認(rèn)為集合論是屬于邏輯范疇的，而且集合論是又分類(lèi)又分級(jí)的支離破碎的分支類(lèi)型論。但是畢竟指出并堅(jiān)持認(rèn)為:整個(gè)數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)之上的。3.發(fā)現(xiàn)了集合論悖論，提出了分支類(lèi)型論的解決方案3.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)中，立足于哲學(xué)和邏輯學(xué)的“將數(shù)學(xué)化歸為邏輯”的邏輯主義宗旨，雖然以失敗告終，但是羅素和邏輯主義者在其中堅(jiān)持了如下立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)：①贊賞康托爾的實(shí)無(wú)窮集合；②接受全部數(shù)學(xué)必須建立在集合論的基礎(chǔ)上；③推崇數(shù)學(xué)的公理化方法；④堅(jiān)持保存經(jīng)典數(shù)學(xué)和邏輯原理。3.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的簡(jiǎn)要評(píng)述很顯然，上述立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)和形式公理主義的立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)存在著的共同點(diǎn)或相似點(diǎn)，因此，如果立足于數(shù)學(xué)本質(zhì),那么有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)的結(jié)果，是形成了直覺(jué)主義和形式公理主義的對(duì)立。其主要分歧為：(1)立足點(diǎn)各異(2)無(wú)窮觀(guān)的對(duì)立(3)數(shù)學(xué)推理方法的差異(4)數(shù)學(xué)推理規(guī)則的不同1希爾伯特的四個(gè)中心問(wèn)題和哥德?tīng)柕淖吭截暙I(xiàn)2數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成3哥德?tīng)柾耆远ɡ?哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼?章數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼臍v史意義5哥德?tīng)柕臄?shù)學(xué)思想6希爾伯特的四個(gè)中心問(wèn)題和

哥德?tīng)柕淖吭截暙I(xiàn)4.14.1希爾伯特的四個(gè)中心問(wèn)題和哥德?tīng)柕淖吭截暙I(xiàn)4.1.1希爾伯特提出了四個(gè)中心問(wèn)題希爾伯特是形式公理主義的鼻祖，在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)中提出了“證明論設(shè)想（希爾伯特規(guī)劃）”，這是一種用數(shù)學(xué)方法研究“數(shù)學(xué)證明”的全新數(shù)學(xué)理論。其目的是試圖一勞永逸地消除對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可靠性的懷疑，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立在公理集合論和他的證明論之上。1928年,在意大利波倫那舉辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特針對(duì)當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的現(xiàn)狀，將其中最為關(guān)鍵的問(wèn)題從混亂之中分離出來(lái)，提出了數(shù)理邏輯（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）急需解決的四個(gè)中心問(wèn)題：①用有窮論方法證明分析的相容性；②把相容性證明推廣，特別是證明選擇公理的相容性;③數(shù)論和分析的形式系統(tǒng)的完全性（完備性）;④_階邏輯的完全性。4.1希爾伯特的四個(gè)中心問(wèn)題和哥德?tīng)柕淖吭截暙I(xiàn)4.1.2哥德?tīng)柕淖吭截暙I(xiàn)哥德?tīng)栣槍?duì)希爾伯特提出的四個(gè)中心問(wèn)題，立足于直覺(jué)主義的宗旨，將判定性與完全性作為切入點(diǎn)，不僅在短期內(nèi)解決了希爾伯特的四個(gè)中心問(wèn)題，而且給出了不同于希爾伯特的答案。①1929年，哥德?tīng)栭_(kāi)始分析與研究一階邏輯的完全性問(wèn)題（希爾伯特提出的第④個(gè)中心問(wèn)題），對(duì)其作出肯定性結(jié)論，提出并證明了“哥德?tīng)柾耆远ɡ怼?②1930年,哥德?tīng)栭_(kāi)始沖擊與研究希爾伯特的第①個(gè)和第③個(gè)問(wèn)題，對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題都給出了否定性結(jié)論,1931年提出并證明了哥德?tīng)柌煌耆远ɡ恚虎?938年，哥德?tīng)栕C明了廣義連續(xù)統(tǒng)和選擇公理對(duì)于集合論其他公理（ZF系統(tǒng)）的相容性，對(duì)希爾伯特提出的第②個(gè)問(wèn)題作出了另外一種相對(duì)的解決。由此可見(jiàn)，哥德?tīng)柕淖吭截暙I(xiàn)遍及數(shù)理邏輯的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成與發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著基礎(chǔ)性與關(guān)鍵性的作用,而且在如此短的時(shí)間內(nèi),一個(gè)人解決了具有世界前沿性的四個(gè)中心問(wèn)題,這在數(shù)學(xué)和科學(xué)史上都是罕見(jiàn)的。4.1希爾伯特的四個(gè)中心問(wèn)題和哥德?tīng)柕淖吭截暙I(xiàn)4.1.3希爾伯特和哥德?tīng)柤嫒萘斯砘退惴ɑ枷胂柌靥岢鏊膫€(gè)中心問(wèn)題的立足點(diǎn)是堅(jiān)持形式公理主義的宗旨,其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)是:數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完全的,數(shù)學(xué)定理是可證的;而哥德?tīng)栐诮鉀Q這四個(gè)中心問(wèn)題時(shí)，則立足于心靈的直覺(jué)主義。其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)是:數(shù)學(xué)系統(tǒng)是不完全的（不完備的），有的數(shù)學(xué)定理是不可證明的。希爾伯特的數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)形式化，堅(jiān)持從公理系統(tǒng)出發(fā)，通過(guò)演繹推理證明數(shù)學(xué)定理,其關(guān)注點(diǎn)是數(shù)學(xué)連續(xù)性與嚴(yán)密性;而哥德?tīng)杽t將判定性與完備性作為切入點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)被證明其存在的例證,并以此進(jìn)行證明定理（構(gòu)造性的證明方法），其著力點(diǎn)是算法的概括。由此可見(jiàn)，在用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題中，希爾伯特堅(jiān)持形式公理主義的公理化思想，而哥德?tīng)杽t立足于“直覺(jué)一可構(gòu)造”的算法化思想。但是,難能可貴的是這兩位杰出而偉大的世界級(jí)數(shù)理邏輯大師，在堅(jiān)持各自數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀(guān)的同時(shí)，卻對(duì)公理化思想和算法化思想采取了兼容的立場(chǎng)。希爾伯特的證明論設(shè)想采用“有窮主義數(shù)學(xué)”作為元理論是承認(rèn)或接受直覺(jué)主義的結(jié)果;而哥德?tīng)柌粌H在數(shù)學(xué)實(shí)踐中兼而用之，他的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀(guān)還明確地表示理想化與無(wú)限性的集合論、公理化、自然數(shù)集合等數(shù)學(xué)抽象概念是客觀(guān)存在的，理應(yīng)加以接受與應(yīng)用。所以，他們認(rèn)為:公理化和算法化雖有質(zhì)的差別，但不應(yīng)絕對(duì)地對(duì)立起來(lái),而應(yīng)兼容起來(lái),在必要時(shí)兼而用之。數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成4.24.2數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成數(shù)理邏輯主要內(nèi)容是在集合論創(chuàng)立之后，在集合論悖論所引發(fā)的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)基礎(chǔ)上,應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)踐中，以邏輯演算為共同基礎(chǔ)依次形成了“公理集合論”“證明論”“遞歸函數(shù)論”“模型論”四個(gè)分支。4.2數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成4.2.1公理集合論公理集合論是在排除集合論悖論的可能性方案的探索中，以策梅洛提出的集合論的公理化方案為基礎(chǔ)形成與發(fā)展起來(lái)的。由于以策梅洛為主提出的ZFC系統(tǒng)的相容性至今難以證明和選擇公理的必要性與獨(dú)立性存在著不同立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)的爭(zhēng)論。所以，數(shù)學(xué)家們普遍關(guān)注ZFC系統(tǒng)的改進(jìn)與新的公理系統(tǒng)的尋找，更多的則首先關(guān)注康托爾提出的連續(xù)性假設(shè)在公理集合論中的地位,以及連續(xù)統(tǒng)假設(shè)能否由給出的公理系統(tǒng)出發(fā),形式地得到被證明或被證否，于是,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)能否得到證明便成為公理集合論進(jìn)一步深化與發(fā)展的主要?jiǎng)恿蛑鞴シ较颉?.2數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成4.2.2證明論在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題三大派之爭(zhēng)中，希爾伯特提出了公理形式主義的立場(chǎng)與觀(guān)點(diǎn)，并宣布了他的元數(shù)學(xué)或證明論的設(shè)想（詳見(jiàn)第3章的3.3）。1.提出“證明論設(shè)想”的過(guò)程2.哥德?tīng)柌煌耆远ɡ斫o證明論設(shè)想以致命一擊3.證明論從設(shè)想變成科學(xué)4.2數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成4.2.3遞歸函數(shù)論（遞歸論）在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，最早作為一整類(lèi)可計(jì)算函數(shù)的實(shí)例是原始遞歸函數(shù)。在哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明過(guò)程中，不僅第一次給出了原始遞歸函數(shù)的精確定義，而且為可計(jì)算函數(shù)的探索與研究奠定了基礎(chǔ)，提供了動(dòng)力。1.遞歸函數(shù)論創(chuàng)立的兩大動(dòng)因2.“遞歸函數(shù)論”創(chuàng)立的過(guò)程3.遞歸函數(shù)論的拓展4.2數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成4.2.4模型論模型論是數(shù)理邏輯主要內(nèi)容形成中最后創(chuàng)立的一個(gè)獨(dú)立的分支。它源于1920至1930年間的句法學(xué)與語(yǔ)義學(xué)的研究。1929年，哥德?tīng)柕囊浑A邏輯完全性定理的證明,為模型論提供了_個(gè)基本定理：“一個(gè)可以形式化的命題集在邏輯上是無(wú)矛盾的，當(dāng)且僅當(dāng)該命題集有一個(gè)模型”。由此,又可推出模型論的另一個(gè)基本定理（駱文海-斯科倫定理,人稱(chēng)緊致性定理）：“在任一特定的形式語(yǔ)言系統(tǒng)中的任何語(yǔ)言集T,如果T的任意有限語(yǔ)句集是相容的,則整個(gè)語(yǔ)句集T必是無(wú)矛盾的”。4.2數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成4.2.5數(shù)理邏輯主要內(nèi)容是用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的重大成果由上所述，數(shù)理邏輯主要內(nèi)容的形成過(guò)程可用圖4-3表示。由此可見(jiàn)：①數(shù)理邏輯的主要內(nèi)容是由邏輯演算、公理集合論、證明論、遞歸函數(shù)論和模型論等五個(gè)部分構(gòu)成的，其中邏輯演算是公共基礎(chǔ),“四論”則是數(shù)理邏輯的核心內(nèi)容；②數(shù)理邏輯是建立在集合論基礎(chǔ)上的，用數(shù)學(xué)方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的第二塊基石，是徹底數(shù)學(xué)化了的符號(hào)邏輯的集合論；③數(shù)理邏輯首次兼容了公理化和算法化這兩大數(shù)學(xué)主流思想，確認(rèn)了算法化思想是數(shù)學(xué)相對(duì)真理性的模式之一。哥德?tīng)柾耆远ɡ?.34.3哥德?tīng)柾耆远ɡ砀ダ赘竦摹陡拍钫Z(yǔ)言》及羅素和懷特海合著的《數(shù)學(xué)原理》都已較為完整地建立了命題演算和謂詞演算系統(tǒng),分別是永真式和普遍有效公式構(gòu)成的形成系統(tǒng)。但是，其相容性和完全性是未加證明的。關(guān)于命題演算系統(tǒng)的完全性定理已由邏輯學(xué)家波斯特（PostEmilLeon,1897—1954）于1921年證明，而一階邏輯（謂詞演算）尚未得到證明。4.3哥德?tīng)柾耆远ɡ?.3.1一階邏輯的哥德?tīng)柾耆远ɡ硇问焦碇髁x認(rèn)為形式公理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)真理性是由其相容性、獨(dú)立性和完備性所決定的。其中完備性是要求從公理系統(tǒng)能確保推導(dǎo)出所論的數(shù)學(xué)某分支的全部命題或定理。因此,必要的公理不能省略，否則它將得不到所能推出的結(jié)果O據(jù)此，如果_階邏輯演算系統(tǒng)是完全的,則其必須滿(mǎn)足:①如果命題A為真，則A必是邏輯演算系統(tǒng)內(nèi)的形式定理（亦即該系統(tǒng)包含了所有得到了證明的普遍有效公式，無(wú)一遺漏）；②如果命題A是邏輯演算系統(tǒng)內(nèi)的形式定理，則A必為真。于是,哥德?tīng)栆耘卸ㄐ耘c完備性為切入點(diǎn)，對(duì)希爾伯特提出的一階邏輯的完全性問(wèn)題作出了肯定性的結(jié)論,并提出了如下哥德?tīng)柾耆远ɡ恚骸叭绻浑A邏輯中的任一公式A是普遍有效的，則A是可證的”，或者“一階邏輯中的任一公式A,或者是可證的，或者「A是可滿(mǎn)足的（或A不是普遍有效公式）”。4.3哥德?tīng)柾耆远ɡ?.3.2哥德?tīng)柾耆远ɡ淼淖C明思想哥德?tīng)柺且耘卸ㄐ耘c完備性作出切入點(diǎn),對(duì)一階邏輯完全性作出肯定性結(jié)論的。于是，他根據(jù)構(gòu)造主義的“存在必須被構(gòu)造”的原則,采用了構(gòu)造主義的證明方法，首先尋找或構(gòu)造一個(gè)能證明其存在的例證，然后，應(yīng)用這一例證去證明哥德?tīng)柾耆ɡ硎浅闪⒌?。為此：其?必須應(yīng)用謂詞演算中的范式（一階謂詞的一種規(guī)范化的標(biāo)準(zhǔn)形式）；其二，將一種稱(chēng)為斯科倫范式作為證明的一階邏輯完全性的例證（一階邏輯中的范式有前束性范式和斯科倫范式兩種）；其三,證明斯科倫范式是存在的；其四，用證明了的斯科倫范式去證明一階邏輯的完全性。4.3哥德?tīng)柾耆远ɡ?.3.3哥德?tīng)柾耆远ɡ淼淖C明過(guò)程根據(jù)《數(shù)理邏輯發(fā)展史》的介紹，哥德?tīng)柺沁x擇了“一階邏輯演算的任一公式A，或者是可證的,或者是T是可滿(mǎn)足的”來(lái)加以證明的。4.3哥德?tīng)柾耆远ɡ?.3.4哥德?tīng)柾耆远ɡ淼囊饬x哥德?tīng)柾耆远ɡ碜C明了：普遍有效n在自然數(shù)域（可數(shù)無(wú)窮域）有效=>可證其中“n”表示推出。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?.44.4哥德?tīng)柌煌耆远ɡ磲槍?duì)希爾伯特提出的第③個(gè)問(wèn)題（數(shù)論和分析的一致性）和第①個(gè)問(wèn)題（用有窮論方法證明分析的一致性）,1931年,哥德?tīng)柊l(fā)表了《論〈數(shù)學(xué)原理〉及其相關(guān)系統(tǒng)的形式不可判定命題》。1934年春，他在普林斯頓高等研究院發(fā)表了題為《論形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)的不可判定命題》的講演，對(duì)1931年的論文作了改進(jìn)、補(bǔ)充和發(fā)展。4.4哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?.4.1哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼奶岢龈绲聽(tīng)柌煌耆远ɡ淼奶岢鍪轻槍?duì)希爾伯特規(guī)劃及其證明論設(shè)想的，它將判定性與完全性作為切入點(diǎn)，對(duì)其給出了否定性的結(jié)論，先后提出了兩個(gè)任意形式算術(shù)系統(tǒng)不完全性定理。①哥德?tīng)柕谝徊煌耆远ɡ?如果形式理論T是以容納數(shù)論并不矛盾的，則T必是不完全的；②哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ?如果形式算術(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單一致的，則不能用系統(tǒng)內(nèi)的形式化方法證明它。4.4哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?.4.2哥德?tīng)柕谝徊煌耆远ɡ淼淖C明思想有鑒于哥德?tīng)柕谝徊煌耆远ɡ硐喈?dāng)于:如果系統(tǒng)中存在某一真命題A,則A和它的否定「A在系統(tǒng)內(nèi)是皆不可證明的，或簡(jiǎn)言之“A是真的，但不可證明”。于是,哥德?tīng)柕谝徊煌耆远ɡ淼淖C明思想是: